B 415074 OF University of Michigan Libraries 1817 ARTES SCIENTIA VERITAS 10 16 Alexander Finex DIE LEHRE VON DER AUFSTELLUNG EMPIRISCHER FORMELN MIT HILFE DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE FÜR MATHEMATIKER, PHYSIKER, TECHNIKER BEARBEITET VON 1802-1890 ANTON STEINHAUSER, K. K. PROFESSOR IN WIEN. MIT 15 FIGUREN. LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 1889. 3.5 sw Math QA 275 5822 ÜBERSETZUNGSRECHT VORBEHALTEN. Vorwort. Bei Gelegenheit der Verfassung eines Lehrbuches der Physik kam ich im ersten Stadium der Arbeit auf das Wesen der empirischen. Formeln zu sprechen. Von dem unbezwingbaren Wunsche erfasst, dieses Thema ausführlicher besprechen zu können, legte ich die begonnene Arbeit zur Seite, in der Absicht, eine etwa ein bis zwei Bogen starke Abhandlung über die Aufstellung empirischer Formeln zu schreiben. Doch die Arbeit schwoll an unter der Feder, und ich sah mich bald genöthigt mir Beschränkung aufzuerlegen, um der Arbeit keine allzugrosse Ausdehnung zu geben. So gieng denn ein Jahr vorüber, bis das vorliegende Buch zu Ende gebracht war. Es möge mir hier gestattet sein zu sagen, dass ich an keine andere meiner vielen literarischen Arbeiten mit solcher Lust gieng wie an diese, keine aber hat mir eine so grosse Mühe wie diese verursacht. Die zahlreichen Beispiele gaben eine gar arge Rechenarbeit zu bewältigen, und doch wollte und konnte ich sie nicht missen, da sie mir nach verschiedenen Seiten hin als sehr nützlich erschienen. Sie gaben einerseits Anlass zu zahlreichen Bemerkungen, welche ohne Beispiel kaum zu besprechen, verstehen und würdigen gewesen wären, und gestatten andererseits, sich ein Urtheil über die Grösse der in jedem speciellen Falle zu bewältigenden Rechenarbeit zu bilden. Ueber die Wichtigkeit der in allen mathematischen, naturwissen- schaftlichen und technischen Fächern unentbehrlichen empirischen For- meln zu sprechen, halte ich für überflüssig, bemerken aber will ich, dass die selbst in günstigen Fällen sehr umständliche. Aufstellung empi- rischer Formeln ganz wesentlich erleichtert werden kann, wenn man die zu lösende Aufgabe gehörig anzufassen versteht. Eine vollkommen selbstständige Anleitung hiezu ist in vorliegender Arbeit gegeben, deren Kenntniss namentlich vor mühsamen, zeitrau- 386912 a* IV Vorwort. benden und doch nicht zum Ziele führenden Versuchen in vielen Fällen zu bewahren wird vermögen. Bei der Ableitung gewisser Formeln konnten die Lehren der höheren Mathematik sowie die der Methode der kleinsten Quadrate nicht um- gangen werden. Trotzdem ist die vorliegende Anleitung so geschrieben, dass an der Hand der abgeleiteten Formeln auch Derjenige in den Stand gesetzt wird, empirische Formeln aufstellen zu können, der die Kenntniss dieser Lehren entbehrt, umso mehr als ich mich möglichster Klarheit zu befleissigen suchte. Die relative Einfachheit, mit der man auf Grund der vorgetragenen Lehren empirische Formeln aufzustellen vermag, tritt unter Anderem ganz besonders auffallend hervor bei der verhältnismässig ganz geringe Mühe verursachenden Berechnung der Constanten der von Regnault verwendeten Biot'schen Formel. Ich habe nur mehr den innigen Wunsch auszusprechen, dass die grosse Mühe, welche ich auf die Arbeit verwendete, gelohnt werde durch Erreichung des Zweckes und ein zustimmendes Urtheil der Kritik. Wien, im Juli 1888. S1C888 A. Steinhauser. Inhaltsverzeichniss. Vorwort. Einleitung · I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form Aufstellung empirischer Formeln nach der Form: y = a + bx + cx²+... Die Ausgleichsrechnung oder Methode der kleinsten Quadrate. Anhang. Seite III 1 6 • 14 17 76 Aufstellung empirischer Formeln von der Form: y=a+bx+cx²+..., welche: . a) alle Versuchswerthe genau wiederzugeben vermögen. b) nur gewisse Versuchswerthe genau wiederzugeben vermögen c) gewisse Versuchswerthe genauer wie andere zu geben vermögen Die Berechnung von Tabellen nach empirischen Formeln • 79 85 94 . 100 103 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form . Die Grundgesetze: erstes Grundgesetz zweites 29 drittes 99 viertes 99 fünftes 29 sechstes 99 siebentes achtes 19 neuntes 99 zehntes 29 elftes zwölftes 97 dreizehntes 99 vierzehntes 99 fünfzehntes,. sechzehntes Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 1) Durch die Verbesserung der Constantenwerthe 2) Durch die Vermehrung der Glieder der Formel Zerlegung von Reihen in Reihen. • · 3) Durch Substitution einer Function von x für x oder für eine oder mehrere der Constanten. 108 146 147 150 152 154 170 172 178 181 192 198 214 219 223 225 229 229 230 235 260 . • Empirische Formeln, welche trigonometrische Functionen enthalten 266 Schlussbemerkungen 291 • Zusammenstellung der abgeleiteten Grundformeln 291 · • Berichtigungen. Seite 5 Zeile 6 von oben lies: 99 27 99 17 29 39 62 93 93 97 19 19 7 13 33 וי 4 99 99 22 24 5 12 29 99 22 39 19 64 19 19 99 19 — 0,33 statt 0,33 notwendig gleich Null statt: gleich Null. +0,00141 statt + 0,001412 im Nenner: tt statt t — - t c (tt) statt + c(t + t₂) beziehungsweise die einzelnen Beobachtungsresul- tate statt: beziehungsweise Beobachtungsresultate. 120 soll in den Zeilen 10, 12, 14, 16, 17 und 18 von oben überall vor 8 das Zeichen - stattstehen. 131 Zeile 12 von oben lies: &+ By statt & - By وو 19 unten 27 99 99 99 99 2 Dy = statt 2 Dy = q (y-bx) statt (y₁ + bx) y = y'r + xy'd statt y=y'r + ry's Gleichung statt Normalgleichung. 4 und 5 von oben lies: log y statt y 139 3 — 29 29 99 99 99 148 7 99 99 158 2 99 165 1 99 23 183 99 193 29 99 8, 12 und 29 von oben lies: a1 - statt + a₁ e 1 e. - 1 195 99 11 von oben lies: - - a₁ e 1 statt + α₁ e - 1 225 99 99 228 ε. 247 9 99 99 99 250 99 263 19 97 1, 2 und 4 von oben lies beziehungsweise: x1, x2 und x statt x 2 von oben lies: 8. C2x { c²x (y')} {c (y')} statt: 8. Σ{a.c. (y')*} n Bestimmungsstücke statt Bedingungsstücke. ,, 11, 13 und 15 von unten lies im Exponenten: bx statt b.log x 2 von oben lies: x statt y 272 99 3 وو وو وو 275 17 29 unten 99 وو Formel hier statt Formel x hier. 274 statt 273 29 292 bei Nr. 15 lies: y = (a + bx)m statt y = (a + bx) Einleitung. Sind irgend zwei einer Veränderung fähige Grössen, sogenannte Veränderliche oder Variable, von einander abhängig und ist die Art und Weise dieser gegenseitigen Abhängigkeit bekannt, so kann letztere immer durch eine Gleichung oder Formel in mathematischer Form zum Ausdruck gebracht werden. So genügt es beispielsweise sich darüber klar geworden zu sein, dass bei der gleichförmigen Bewegung der Weg s, welchen das Beweg- liche in der Zeit t zurücklegt, mit t proportional wachsen müsse, um die gegenseitige Abhängigkeit der Grössen s und t durch die Formel: s=cXt ausdrücken zu können, in welcher die Constante c offenbar den in der Zeiteinheit zurückgelegten Weg (d. i. die Geschwindigkeit) bedeutet, da sc für t 1 wird. = Die die gegenseitige Abhängigkeit der Veränderlichen zum Aus- druck bringende mathematische Formel ermöglicht es sodann, jede der beiden Veränderlichen durch die andere in allgemeiner Form aus- zudrücken, sowie auch zu jedem beliebigen Werth der Einen Ver- änderlichen den zugehörigen der anderen zu berechnen. S C So ergibt sich aus scxt auch t= und wird aus der ersten beider Formeln für: t₁ = 1, t₂ = 2, t3 etc. als zugehörig, beziehungsweise: S1 C, S₂ = 2c, Sg3c etc., aus der zweiten für: S₁ = 1, S2, S3 etc. hingegen als zugehörig, beziehungsweise: 07/1 t₁ = 1, t2 с = = 2 97 c' 3 = etc. C Die allgemeine Formel bildet daher die Grundlage und können aus ihr alle jene Paare zusammengehöriger Werthe der Veränder- Steinhauser, empirische Formeln. 1 2 Einleitung. lichen aufgestellt werden, welche für einen gewissen Zweck zu wissen nöthig sind. Wegen des leichteren Ausdruckes in der Folge möge bemerkt werden, dass in einer Formel wie beispielsweise s=cXt zwischen den beiden Veränderlichen (hier s und t) in soferne ein wesentlicher Unterschied besteht, als der jeweilige Werth der Einen (hier t) ein- fach angenommen wird, während der der Anderen (hier s) zufolge ihrer Abhängigkeit erst aus dem der Ersteren berechnet werden muss. Man unterscheidet daher die sogenannte abhängig Veränderliche (hier s) und die unabhängig Veränderliche (hier t). Schreibt man die bezügliche Formel aber in der Form: t = S с so spielt s die Rolle der unabhängig und t die der abhängig Veränder- lichen, da jetzt die Formel für t aufgelöst, also offenbar zur Berech- nung der Werthe von t aus denen von s bestimmt ist. Ist es nun zufolge Unkenntniss von allgemeinen mathematischen Beziehungen zwischen den beiden Veränderlichen, trotzdem selbe von einander als zweifellos abhängig erkannt werden, unmöglich, unmittel- bar oder directe, nämlich durch blosse mathematische Ableitung eine die Art der Abhängigkeit ausdrückende Formel aufzustellen, so sucht man vorerst durch innerhalb eines gewissen Umfanges angestellte, meist mühsame und zeitraubende Versuche, Beobachtungen oder Messungen für eine Reihe ganz bestimmter specieller Fälle die ent- sprechenden zusammengehörigen Werthe der Veränderlichen ausfindig zu machen, um aus denselben, also von rückwärts, zu einer die gegenseitige Abhängigkeit der Veränderlichen mehr oder weniger genau ausdrückenden Näherungsformel zu gelangen, welche empirische Formel oder Gleichung genannt wird. Es lassen beispielsweise Versuche zweifellos erkennen, dass die Temperatur t eines gewissen Gases und der Minimaldruck p, welcher bei dieser Temperatur die Verflüssigung bewirkt, zwei von einander abhängige Veränderliche darstellen, indem im Allgemeinen zu irgend einer Temperatur t ein ganz bestimmter Werth von p oder umgekehrt zu irgend einem Drucke p ein ganz bestimmter Werth von t gehört, überhaupt ein Wachsen oder Abnehmen von t gleichzeitig ein Wachsen beziehungsweise Abnehmen von p zur Folge hat. Trotz der wie gesagt durch Versuche gewonnenen Erkenntniss, dass Druck und Temperatur im vorliegenden Falle zwei von einander abhängige Grössen sind, ist es aber doch bis nun nicht gelungen, irgend eine bestimmte mathematische Beziehung zwischen denselben Einleitung. 3 zu entdecken, also auch nicht möglich geworden, die Abhängigkeit von Temperatur und Druck für ein bestimmtes zu verflüssigendes Gas durch eine genaue mathematische Formel zum Ausdruck zu bringen. Man hat daher hier sogleich einen Fall vorliegen, in welchem zur Aufstellung einer empirischen Formel geschritten werden müsste, wenn sich das Bedürfniss nach einer (wenigstens annähernd) die Abhängig- keit der beiden besprochenen Grössen darstellenden Formel ergäbe. Um auf die Sache näher eingehen zu können, möge angeführt werden, dass zum Beispiel in Bezug auf die Verflüssigung des Ammo- niakgases durch Versuche die nachfolgende Reihe zusammengehöriger Werthe von p und t gefunden wurde, aus welcher vorerst die Zu- nahme des erforderlichen Druckes (p) beim Wachsen der Temperatur (t) ganz deutlich erhellet. JP3 JP3 = 7,00 JP₁ = 8,00 [P₁ = 2,48 JP₂ = 5,00 Atmosphären \t₁ = -17,8' \t₂ =+4,2' (t =+ 16,3' (t+20,3 Grade Celsius. Es dürfte nun in diesem Falle unter Anderem interessiren zu erfahren, bei welcher Temperatur das Gas durch den Druck Einer At- mosphäre, oder durch welchen Druck dasselbe bei der Temperatur Null verflüssiget werden kann. Ja es könnte sogar der Wunsch rege werden, auf Grund der in der Versuchsreihe enthaltenen Werthe eine Tabelle aufstellen zu können, welche entweder für nach einer arithmetischen Reihe wachsende Temperaturen die zugehörigen Drücke, oder für nach einer eben solchen Reihe wachsende Drücke die zugehörigen Temperaturen enthielte. Die Beantwortung der gestellten Fragen oder die Erfüllung des zuletzt geäusserten Wunsches wird auf dem minder umständlichen, nämlich rechnenden Wege nur dann in befriedigender Weise ermög- lichet werden, wenn es gelingt aus den in der Versuchsreihe enthal- tenen Werthen der Veränderlichen, welche der Kürze wegen in der Folge immer Versuchswerthe genannt werden mögen, eine (empirische) Formel aufzustellen, welche ihre Brauchbarkeit dadurch erweist, dass sie bei successiver Substitution der Einen Reihe der Versuchswerthe (z. B. t, to, ts etc.) die Reihe der Anderen nämlich zugehörigen (das sind p₁ beziehungsweise P2, P3 etc.) mit einem gewissen erforderlichen oder überhaupt gewünschten Grade der Genauigkeit gibt. Man wird dann aus einem allerdings erst später näher auszu- führenden und anschaulich zu machenden Grunde annehmen können, dass die Formel, welche die Versuchswerthe genügend genau wieder- gibt, auch im Stande sein wird, die zwischen denselben liegenden Werthe nicht minder genau zu geben. 1* 4 Einleitung. Dass aber überhaupt eine empirische Formel die Versuchswerthe, mit Ausnahme eines später zu besprechenden Falles, nicht vollkommen genau, sondern nur annähernd wird zu geben vermögen, dies findet in unmittelbar und später Nachfolgendem seine Begründung. Das zwischen den beiden Veränderlichen bestehende Gesetz der gegenseitigen Abhängigkeit ist weder von vornherein bekannt, noch sind zur directen Auffindung desselben aus den Versuchswerthen im Allgemeinen genügende Anhaltspunkte vorhanden. Es kann daher die Aufstellung einer empirischen Formel, welche eben das Gesetz der gegenseitigen Abhängigkeit blos angenähert zum Ausdruck oder zur Anschauung bringen wird, nur dadurch bewerk- stelliget werden, dass man versucht: entweder mit mehr weniger günstigem, jedenfalls aber unverbürg- tem Erfolg das factisch bestehende doch unbekannte Gesetz einfach in eine der Hauptsache nach willkürlich gewählte Form zu zwängen, oder die Form ausfindig zu machen, welche jenes nur angenähert zwischen den Veränderlichen bestehende Gesetz zum Ausdrucke bringt, das zufolge genauer und systematischer Untersuchung der zweifellos mit Fehlern behafteten Versuchswerthe als mehr weniger roher Umriss des thatsächlich zwischen den Veränderlichen be- stehenden unbekannten Gesetzes erforscht werden kann. In beiden Fällen stellt die empirische Formel nur eine mehr weniger gelungene Näherungsformel dar, wenn nicht etwa, was sicher nur äusserst selten geschieht, der Zufall eine Rolle spielt, nämlich auf das thatsächlich bestehende Gesetz führt. Man stellt sich nun aus später zu erörternden Gründen mit einer empirischen Formel zufrieden, wenn sie die Versuchs-, also auch die übrigen Werthe mit jenem Grade der Genauigkeit gibt, mit welchem die Versuchs- werthe selbst, zufolge der angewendeten Messungswerkzeuge und Methoden erhalten wurden. Für den schon erwähnten Fall der Verflüssigung des Ammoniak- gases kann nach einer später auseinanderzusetzenden Methode unter Anderen aus den bereits bekannten Versuchswerthen folgende empirische Formel aufgestellt werden: p = 4,809 +0,141t, in welcher p den zu der in Graden Celsius ausgedrückten jeweiligen Temperatur t gehörigen Atmosphärendruck bedeutet. Diese Formel gibt für die folgenden Werthe der Temperatur t: t₁ = 17,8, to +4,2, t = +16,3, t₂+ =+ als beziehungsweise zugehörigen Druck p: des t+20,3 Einleitung. 5 CT statt: P₁ = 2,30, p = 5,40, p = 7,10, p = 7,67 Pi= P₁ = 2,48, 2,48, p₂ = 5,00, P3 5,00, p = 7,00, p₁ = 8,00. Es zeigen sich daher folgende Abweichungen, Differenzen oder Fehler der Rechnungswerthe: d₁ = - 0,18, d₂+0,40, d=0,10, +0,10, 80,33 Atmosph. Wäre anzunehmen, dass zufolge der angewendeten Messungs- methode und Werkzeuge die Versuchswerthe p auf nahezu Atmo- sphäre unsicher seien, ihnen daher ein Fehler von nahezu einer halben Atmosphäre anhaften könne, so würde obige Formel als geeignet erscheinen zur relativ einfachen Vervollständigung der durch die Ver- suche gefundenen Werthreihe, also zur entsprechenden Ausfüllung der Lücken, beziehungsweise Aufstellung einer Tabelle (aus später zu erörternden Gründen aber nur innerhalb des Bereiches der Versuchs- reihe), da die durch die Formel erhaltenen Werthe dann nicht fehler- hafter wie die durch die Versuche gefundenen sind. Aus dem bereits Gesagten ist klar zu ersehen, dass die Haupt- schwierigkeit bei der Aufstellung empirischer Formeln in der Wahl einer geeigneten Form besteht, durch welche man sucht die gegen- seitige Abhängigkeit der Veränderlichen zum Ausdruck zu bringen, weil hiefür in den meisten Fällen von vorne herein genügende Anhalts- punkte mangeln, und solche im günstigsten Falle nur durch mühsame sowie zeitraubende Untersuchungen der Versuchswerthe gefunden werden können. So wurde im oben angeführten Beispiele das Gesetz der gegen- seitigen Abhängigkeit der Grössen p und t ohne bestimmenden Grund in die Form: p=a+bt gekleidet, wo a und b Constante bedeuten, welche in später zu er- örternder Weise aus den Versuchswerthen berechnet worden sind. Von der Wahl der Form hängen ab: die mehr weniger umständ- liche Berechnung der in der Formel enthaltenen Constanten aus den Versuchswerthen, die Bequemlichkeit der Formel beim Gebrauch, sowie die Genauigkeit ihrer Resultate, endlich die Eigenschaft der Formel, auch noch ausserhalb des Versuchsbereiches brauchbare Werthe zu geben oder nicht. Von diesen Punkten sind besonders wichtig: die Genauigkeit der Formel und die Bequemlichkeit derselben beim Gebrauche, welcher sich ja vielfach wiederholt. Etwas weniger fällt in die Wagschale die mehr weniger grosse 6 Einleitung. Umständlichkeit der Formelaufstellung, nachdem letztere eine ein für alle mal zu leistende Arbeit repräsentirt. Die nicht leicht controllirbare Eigenschaft der Formel, ausserhalb der Versuchsreihe brauchbare Werthe zu geben, spielt nur in gewissen Fällen eine wichtigere Rolle. Es ist wohl klar, dass die Bequemlichkeit beim Gebrauche mög- lichste Einfachheit der Formel bedingt. Diese kann aber, wie später mehrfach zu ersehen sein wird, nicht immer mit der Genauigkeit der Formel vereint werden. In Bezug auf die Aufstellung empirischer Formeln können nun nach dem Vorhergehenden vor Allem zwei Hauptfälle unterschieden werden: 1) Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form, wo die Form vorwiegend mit Rücksicht auf die Bequemlichkeit der Aufstellung, sowie beim Gebrauche der Formel, also mit Umgehung einer eingehenden ziffermässigen Untersuchung der Versuchswerthe gewählt wird. 2) Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form, wo die Form, im Streben nach möglichster Genauigkeit der Formel, auf Grund der Ergebnisse gewählt wird, welche die eingehende ziffer- mässige Untersuchung der Versuchswerthe zu Tage fördert. Es folgt daher vorerst: I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Schreibt man eine ganz willkürlich geformte, nur die beiden Ver- änderlichen x und y, sowie eine oder mehrere constante Grössen ent- haltende Gleichung nieder, so stellt selbe offenbar ein Gesetz gegen- seitiger Abhängigkeit der Veränderlichen und zwar so lange in allgemeiner Form dar, als die Constanten in der Form von allge- meinen, nämlich Buchstabengrössen erscheinen. Sobald aber für die Constante darstellenden Buchstabengrössen specielle Zahlenwerthe ein- gesetzt werden, wird die Gleichung zur Zifferngleichung und gestattet zu jedem speciellen Werth der Einen Variablen den zugehörigen der anderen zu berechnen. Die Aufgabe der Aufstellung einer empirischen Formel nach einer willkürlich gewählten Form besteht sodann der Hauptsache nach in der Aufsuchung jener speciellen Zahlenwerthe, welche man den Con- stanten der gewählten Formel beizulegen hat, damit letztere die Ver- suchswerthe so gut, als es überhaupt unter den obwaltenden Umständen möglich ist, wiederzugeben vermag. doladoward) Wollte man beispielsweise für den schon mehrfach besprochenen I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 7 speciellen Fall eine empirische Formel nach der willkürlich gewählten, anscheinend einfachen Form: 1 a+x y b + x aufstellen, in welcher y und x die abhängig resp. unabhängig Ver- änderliche, a und b aber Constante bedeuten, so handelt es sich, wie oben gesagt wurde, darum, die Constanten a und b und zwar aus den Versuchswerthen so zu bestimmen, dass die Formel die Versuchswerthe so gut als möglich wiedergibt. Wären nun nur die Werthe von zwei Versuchen bekannt, so machte die Bestimmung der Constanten keine Schwierigkeit, da man nur je zwei zusammengehörige specielle Werthe der Veränderlichen in die Formel einzusetzen hätte, also zwei Gleichungen erhielte, aus welchen a und b berechnet werden könnten. Nachdem aber, und zwar wie später ersehen wird, zum Vortheil für die Sache die Resultate von mehr als zwei Versuchen vorliegen, so liessen sich durch Sub- stitution von je zwei zusammengehörigen Werthen der Veränder- lichen offenbar so viele Gleichungen, welchen gleichzeitig entsprochen werden soll, zwischen a und b aufstellen, als Paare zusammengehöriger Versuchswerthe vorliegen. Da a und b jedoch nur den von zwei Gleichungen gestellten Bedingungen gleichzeitig zu entsprechen vermögen, so wäre es blos ein Zufall, wenn sie auch den durch die übrigen Gleichungen aus- gedrückten Bedingungen entsprächen, es wird daher im Allgemeinen die Formel von der willkürlich gewählten Form nicht im Stande sein die sämmtlichen Versuchswerthe genau zu geben und zwar, um den Grund hievon noch in etwas anderer Form auszudrücken, deshalb nicht, weil die Gleichung weniger Constante enthält als Paare von Versuchswerthen vorliegen oder, was dasselbe ist, weil mehr Paare von Versuchswerthen vorliegen, als Constante in der Formel erscheinen. Es ergibt sich zunächst hieraus die wichtige Thatsache, dass eine jede beliebig geformte Formel befähigt ist, sämmtliche Versuchswerthe voll- kommen genau wiederzugeben, wenn sie gerade so viele Constante enthält, als Paare von Versuchswerthen vorhanden sind. Nachdem aber, wie schon angedeutet wurde, die Art und Weise der Abhängigkeit beider Variablen um so besser erforscht ist, also auch offenbar um so besser erkannt werden kann, je mehr Paare zu- sammengehöriger Werthe durch Versuche, Beobachtungen oder Mes- sungen aufgesucht wurden, so ist es ebensowohl wünschenswerth als zweckdienlich, empirische Formeln aus möglichst vielen Versuchswerthen abzuleiten. 8 1. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 100 Sollte eine empirische Formel von willkürlich gewählter Form aber sodann die grosse Zahl sämmtlicher Versuchswerthe genau wieder- zugeben im Stande sein, so müsste sie eine ebenso grosse Anzahl von Constanten enthalten und würde in Folge dessen wegen Mangel an Einfachheit beim Gebrauche sehr unbequem. Man wird daher im Allgemeinen, um möglichste Einfachheit der Formel zu erzielen, auf eine grosse Anzahl von Constanten, folglich auch auf die genaue Wiedergabe der Versuchswerthe verzichten und sich begnügen müssen, letztere nur mit einem gewissen Grade der Genauigkeit zu erhalten. Um das Gesagte noch klarer zu machen, möge jetzt auf die Auf- stellung einer empirischen Formel bezüglich der Verflüssigung des Ammoniakgases auf Grund der schon bekannten Versuchswerthe: [t=-17,8 [t₂ = +4,2 [ts=+16,3 [t=+20,3 Grade Cels. P₂ = 5,00 ps = 7,00 P3 P₁ = 2,48 9 " p=8,00 Atmosphären etwas näher eingegangen werden und zwar unter der Bedingung, dass dieselbe die schon angeführte, willkürlich gewählte, also eigentlich durch nichts begründete Form: erhalte. y = 1 a + x b+x Soll die Formel zur Berechnung der Atmosphärendrücke aus den Temperaturen dienen, so müssen die Werthe von p als abhängig Ver- änderlicher dem y und die von t als unabhängig Veränderlicher dem x entsprechen. Setzt man nun je zwei zusammengehörige Werthe von p und t statt y resp. x in die allgemeine Gleichung ein, so erhält man folgende vier Zahlengleichungen, welche die von den Constanten a und b gleich- zeitig zu erfüllenden Bedingungen ausdrücken: 1) 2) 3) 2,48 = 5,00 = a - 17,8 b- 17,8 a + 4,2 b+ 4,2 a + 16,3 4) 7,00 = b+ 16,3 8,00 = a + 20,3 b+20,3 Combinirt man jetzt je zwei der vorstehenden Gleichungen mit einander, um die Werthe von a und b zu erhalten, so gelangt man zu den nachfolgend aufgeführten Resultaten, und zwar Gleichungen: aus den I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 6 1 3, 99 1 und 2, zu 18 a a= 68,8031, b = - 17,1206, - 66 a= 94,4584, b = 27,4655, 46 a = دو 102,0217, b = -30,5152, 22 α = وو 29 185,7000, b = - 40,5000, a = وو 27 192,0333, b = - 41,7666, a= - 1 3 4, 3, 4, 4, 212,3000, b = -44,3000. Die Betrachtung dieser von einander ganz wesentlich abweichen- den Zahlenwerthe, welche die verschiedenen Versuchswerthe von den Constanten a und b fordern, von den letzteren aber gleichzeitig nicht angenommen werden können, lässt wohl jetzt schon erkennen, dass die Wahl der Form, welche man der empirischen Formel gab, keine glückliche war. Behielte man beispielsweise die aus der 1sten und 2ten Gleichung erhaltenen, beziehungsweise von dem 1sten und 2ten Paare der Versuchs- werthe geforderten Constantenwerthe bei, so würden von der Formel wohl p, und p₂ genau, dafür aber p, und p, um so fehlerhafter wieder- P3 gegeben werden, da letztere zwei Werthe nur jene Formel genau wiedergeben würde, welche die aus der 3ten und 4ten Gleichung resul- tirenden Constantenwerthe enthielte. Es würde nun zweifellos am zweck- mässigsten sein, wenn möglich die Constantenwerthe so zu wählen, dass aus der Formel alle Versuchswerthe mit annähernd gleich grossen an und für sich möglichst kleinen Fehlern behaftet, also auch mit annähernd gleichem Genauigkeitsgrade erhalten werden. Wie dies am besten erreicht wird, dies wird später erörtert, vorläufig möge zu einem sehr einfachen Mittel Zuflucht genommen werden, welches den ausgesprochenen Wunsch wenigstens einigermassen annähernd erfüllt. Nimmt man nämlich von allen für a und für b erhaltenen Werthen die arithmetischen Mittel, so wird im Ganzen jedenfalls besser wie früher allen gleichzeitig geforderten und von einander abweichenden Bedingungen entsprochen. Da nun diese Mittel folgende Werthe besitzen: am = 142,55275 und bm = - 33,61131, so ergibt sich die nachstehende Formel, wenn noch, was den Verhält- nissen entspricht, p statt y und t statt x geschrieben wird: t- 142,55275 33,61131 p = t Aus derselben werden für die in der Versuchsreihe enthaltenen Tem- peraturen t folgende zugehörige Zahlenwerthe von p erhalten, und zwar als gehörig zu: 10 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. t₁ = 17,8, t₂ =+ 4,2, beziehungsweise: t = 16,3, t₁ = +20,3 P₁ = 3,119, p2 = 4,704, p = 7,293, P= 9,184 statt: P1 2,480, P2 5,000, P = 7,000, P₁ = 8,000. Die den einzelnen aus der Formel berechneten Werthen anhaftenden Fehler sind: d₁ = 0,639, 82 - 0,296, d = +0,293, §₁ = + 1,184 3 und beträgt ihre algebraische Summe: s = d₁ + d₂ + d + d₁ = + 1,820. 2 3 4 Da aus letzterer nun zu ersehen ist, dass die Formel die Werthe vorwiegend zu gross gibt, weil die positiven Fehler überwiegen, an- dererseits wohl kein Zweifel darüber bestehen dürfte, dass es geeignetere als die benutzten Constantenwerthe geben wird, so kann man trachten, wenn auch vorläufig nur versuchsweise, die Constanten zu verbessern, sie nämlich so zu ändern, dass sich die Rechnungswerthe den Ver- suchswerthen gleichförmiger anschliessen. So soll namentlich der so besonders hervortretende positive Fehler 84 verringert werden, wenn dadurch auch unter Anderem eine ent- sprechende numerische Vergrösserung des relativ geringen negativen Fehlers d hervorgerufen würde. Ueberlegt man, dass zufolge der Form der Formel offenbar eine numerische Verkleinerung der Constanten a, ebenso eine Vergrösse- rung von b eine Verkleinerung der Formelwerthe zur Folge hat, so kann man in diesem Sinne eine Aenderung der Formel versuchen. Setzt man beispielsweise: p = t- 135 - t-35 " so werden für: t₁ = — 17,8, t₂ = + 4,2, beziehungsweise: t = 16,3, t₁ = +20,3 P₁ = 2,949, P₂ = 4,389, p = statt: P1 = P = 6,706, P₁ = P₁ = 8,372 7,000, P4 = 8,000; 2,480, P2 = 5,000, P3 die jetzt resultirenden Fehler sind: 1 d₁ = und ihre algebraische Summe beträgt: +0,469, 8=-0,611, d= - 0,611, d= - 0,294, 0,294, 84+0,372 s = d₁ + d₂ + d + d₁ = 0,064. - I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 11 Man ersieht aus dem nunmehr erreichten, wenn auch nicht vollständig befriedigenden Erfolg, dass eine jedenfalls günstige Wirkung erzielt wird, wenn man durch eine geeignete Aenderung der speciellen Con- stantenwerthe zu bewirken sucht, dass die Fehler ebensowohl positiv als negativ in angenähert gleicher numerischer Grösse auftreten, also an- nähernd Null zur algebraischen Summe erhalten, da dann ein bedeuten- deres Ueberwiegen einzelner Fehler vermieden wird. Man dürfte im vorliegenden Falle so ziemlich erreicht haben, was mit der gewählten Formelform überhaupt erreichbar ist; ausgeschlossen erscheint allerdings nicht die Möglichkeit einer (sicher nur mehr ge- ringfügigen) numerischen Verkleinerung der Fehler, da ja bei der ver- suchweisen Verbesserung der Constantenwerthe weder bekannt war, ob nur a oder nur b oder endlich gleichzeitig a und b im früher an- gedeuteten Sinne geändert werden sollen, noch wie im letzteren Falle die gleichzeitig vorzunehmende Aenderung auf a und b zu vertheilen ist, damit die geeignetsten Werthe der Constanten erhalten werden. Das besprochene Beispiel genügt, um erkennen zu lassen, was in der Folge bei der Aufstellung empirischer Formeln nach der Wahl der Form die Hauptaufgabe bilden wird, offenbar die Aufsuchung der besten Werthe der Constanten, welche vorläufig als jene definirt werden mögen, mit welchen die Formel von der gegebenen Form Rechnungs- werthe gibt, deren sich aus dem Vergleich mit den analogen Ver- suchswerthen ergebende Fehler bezüglich ihrer numerischen Grösse möglichst gleich und klein sind. Es wird sich demnach im Nachfolgenden zu beschäftigen sein: 1) mit der Wahl der Form; 2) mit der Aufsuchung der besten Werthe der Constanten empirischer Formeln. Wenngleich vorerst von den Formeln nach willkürlich gewählter Form die Rede sein wird, so ist doch auch hier die Wahl der Form eine in Betracht zu ziehende Frage, da die Bezeichnung willkürlich", wie aus Vorhergehendem zu ersehen, nicht im engsten Sinne des Wortes aufzufassen ist. Man hat ja, wie schon gesagt wurde, die Form solcher Formeln so zu wählen, dass in erster Linie sich dieselben beim Gebrauche als bequem erweisen, in zweiter die Aufsuchung der besten Constanten- werthe mit keiner all zu grossen Mühe verbunden ist. Ueberdies wird es nothwendig sein, bei der Wahl der Form der Formel auch noch aus anderen Gründen mit Bedacht vorzugehen, um nicht von vornherein einen günstigen Erfolg auszuschliessen. Ist nämlich, was wohl fast immer der Fall sein wird, aus der 12 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Natur der Sache oder aus den Versuchswerthen irgend eine Eigen- schaft der abhängig Veränderlichen ohne nähere Untersuchung zu er- kennen, beispielsweise um nur Einiges zu erwähnen, dass selbe Null, nur positiv, positiv und negativ werden kann, oder mit der unab- hängig Veränderlichen wächst oder abnimmt etc. etc., so wird es noth- wendig, doch wenigstens dieser Einen leicht erkennbaren Bedingung gerecht zu werden. Man würde daher aus der unendlich grossen Anzahl möglicher Formelformen eine solche auszuwählen haben, welche der zu erfüllen- den Bedingung zu entsprechen vermag. Wird endlich auch die eventuell zu erzielende Genauigkeit der aufzustellenden Formel in Betracht gezogen, so darf die bereits be- kannte Thatsache nicht vergessen werden, dass eine Formel wird im Allgemeinen die Versuchswerthe um so leichter annähernd zu geben ver- mögen, je mehr sich die Anzahl ihrer Constanten der Anzahl der zu berücksichtigenden Paare der Versuchswerthe nähert. Abgesehen davon, dass vorläufig schon wegen Unkenntniss der in jedem einzelnen Fall bei der Aufsuchung der besten Constanten- werthe etwa auftretenden Schwierigkeiten kein richtiges Urtheil in Bezug auf eine zweckmässige Wahl der Formelform gefällt werden kann, ist es doch bereits möglich einzusehen, dass, trotz der im un- mittelbar Vorhergegangenen gemachten allgemeinen Andeutungen und ausgesprochenen sowie womöglich zu erfüllenden Wünsche, die Arbeit der Aufstellung einer empirischen Formel nach willkürlicher Form noch immer eine äusserst willkürliche und in Folge dessen oft unfrucht- bare werden wird, wenn man nicht versucht in dieselbe ein System zu bringen, weil mathematische Formen ja einer unendlichen Mannig- faltigkeit fähig sind. Eine willkommene Handhabe bietet hiezu ein gewisser Satz der Mathematik, auf welchen nun im Folgenden näher eingegangen werden wird. Zwischen zwei von einander abhängigen veränderlichen Grössen y und x besteht immer, jenachdem y oder x die Rolle der abhängig Veränderlichen spielt, in allgemeinster Form ausgedrückt die Gleichung: y = f(x) beziehungsweise x = f(y), welche nichts anderes besagt, als dass y eine von x, oder x eine von y - abhängige Grösse oder Function ist, also über die Art der gegen- seitigen Abhängigkeit noch keinen weiteren Aufschluss zu geben vermag. Nach den Lehren der höheren Mathematik kann nun jede Func- tion einer Grösse in eine nach den ganzzahligen Potenzen der letzteren I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 13 fortschreitende Reihe aufgelöst, also durch eine solche dargestellt werden, welche eine endliche möglicherweise auch eine unendliche An- zahl von Gliedern enthält, wenn durch diese Reihe der Werth der Function mit voller Schärfe zum Ausdruck gebracht werden soll. Man kann daher ohne weitere Rücksichtnahme auf die Natur der Function beispielsweise: y = f(x) = a + bx + cx² + dx² + · setzen, in welchem Ausdrucke aber dann vom jeweilig vorliegenden Fall abhängig sind eben sowohl die an und für sich unveränderlichen, also constanten Grössen a, b, c, d etc., als auch die Anzahl der zur Darstellung der Function erforderlichen Glieder der Reihe. Nachdem also durch die vorstehende Reihe eine jede Function, also auch eine etwa zwischen den Veränderlichen x und y bestehende, durch Versuchswerthe annähernd und indirect gegebene Beziehung aus- gedrückt werden kann, so ist es naheliegend empirische Formeln in der Art aufzustellen, dass man die abhängig Veränderliche y eben gleich setzt einer nach den ganzzahligen Potenzen der unabhängig Veränderlichen fortschreitenden Reihe. In Bezug auf die dann in jedem einzelnen Falle hierbei erforder- liche Anzahl der Glieder kann nur gesagt werden, dass dieselbe im Maximum also höchstens gleich sein kann der bei der Aufstellung der Formel zu berücksichtigenden Anzahl der Paare von Versuchswerthen, da dann gerade eine dieser gleiche Zahl von Constanten (a, b, c etc.) in der Reihe erscheinen, also nach Früherem die derart beschaffene, wie auch jede andere eben soviele Constante enthaltende, im Uebrigen ganz beliebig geformte Formel, die Versuchswerthe genau zu geben im Stande sein muss. Da hiebei aber offenbar auch der Fall nicht ausgeschlossen ist, dass möglicherweise eine weit geringere Anzahl von Gliedern genügt, um so mehr, als ja, wie schon besprochen, nicht die genaue, sondern nur in gewissem Grade angenäherte Wiedergabe der Versuchswerthe von Seiten der Formel verlangt wird, so wird es am zweckmässigsten sein, selbst beim Vorhandensein relativ vieler Versuchswerthe mit ver- hältnissmässig wenigen, etwa nur zwei oder drei Gliedern bei der Formel- aufstellung zu beginnen und die Zahl derselben erst dann successive zu vergrössern, wenn sich aus den Resultaten der Formel die Unzu- länglichkeit der Gliederzahl ergibt.d dogs ang asm of Die Folge wird überdies lehren, dass bei derartig geformten For- meln ebensowohl die Aufsuchung der besten Constantenwerthe als auch der eventuell nöthig werdende successive Uebergang auf sonst 14 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. gleichartige nur eine grössere Anzahl von Gliedern enthaltende For- meln mit einer relativ geringen Mühe verbunden ist, wenigstens im Vergleich mit anderen Formeln, welche oft anscheinend einfach, bei der Constantenberechnung ganz bedeutende Mühe verursachen, und nach etwaigem Erweis der Unbrauchbarkeit keinen einfachen, nämlich zum Theil unter Benutzung schon berechneter Zahlenwerthe durch- führbaren Uebergang auf andere, eine grössere Zahl von Constanten enthaltende Formeln, gestatten. Da sich endlich die Formeln von der besprochenen Form: y= a + bx + cx² + dx³ +... auch beim practischen Gebrauch, nämlich bei der Berechnung der zu gewissen Werthen von x gehörigen Werthe der abhängig Veränder- lichen y als nicht sonderlich unbequem erweisen, selbst dann wenn drei oder vier Glieder der Reihe vorhanden sind, so ist man zu einer Form gelangt, welche den früher im Allgemeinen ausgesprochenen Wünschen und Anforderungen möglichst entspricht und namentlich in allen jenen Fällen mit Vortheil benutzt werden kann, in denen man die Mühe scheut, welche die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form, das ist auf Grund eingehender und zeitraubender Untersuchungen der Versuchswerthe zum Zwecke annähernder Erfor- schung des Abhängigkeitsgesetzes verursacht. Es folgt nun die nähere Besprechung der Aufstellung empirischer Formeln nach der Form: y = a + bx + cx² + dx³ + ·· Es wurde bereits erwähnt, dass es im Allgemeinen zweckmässig erscheint, bei der Aufstellung empirischer Formeln nach vorstehender Form, anfänglich nur etwa zwei Glieder der Reihe beizubehalten und erst dann (unter theilweiser Benutzung bereits erhaltener Rechnungs- werthe) successive auf drei- oder viergliedrige Formeln überzugehen, wenn aus den nicht befriedigenden Resultaten der zweigliedrigen Formel die Unzulänglichkeit der geringen Gliederzahl gefolgert werden kann. Desgleichen ist bereits bekannt, dass die zum Behufe der Auf- stellung einer empirischen Formel gegebenen Versuchswerthe, nach Fest- stellung der derselben zu gebenden Form, ausschliesslich nur mehr zur Berechnung der in der Formel erscheinenden Constanten zu dienen haben. Wie man nun vorzugehen hat, um in vorliegenden Fällen aus den Versuchswerthen zu den besten Werthen der Constanten zu gelangen, dies wird im Verlaufe des Folgenden an einem speciellen Beispiele gezeigt werden. I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 15 Es sei aus den bezüglich der Verflüssigung des Ammoniakgases bereits mehrmals angeführten Versuchswerthen: [t=-17,8 (t=+4,2 (t=+16,3 {t=+16,3 t₁-+20,3 Grade Cels. P₁ = 2,48' \p₂- 5,00' (p. 7,00' p 8,00 Atmosph. = = - vorläufig nach der Form: y = a + bx eine empirische Formel: p=a+bt aufzustellen, welche zur Berechnung der zur Verflüssigung des Ammo- niakgases erforderlichen Atmosphärendrücke p aus den jeweilig herr- schenden Temperaturen t zu dienen hätte. Setzt man, wie in einem schon vorhergegangenen Falle, je zwei zusammengehörige Werthe von p und t in die Formel ein, so gelangt man zu folgenden vier Gleichungen: 1) 2) 2,48= a - 17,8b, 5,00= a + 4,2b, 7,00 = a + 16,3b, 3) 4) 8,00 = a + 20,3b, aus welchen die sodann in die obige allgemeine Gleichung einzusetzen- den Werthe der Constanten a und b zu berechnen sind. Da, wie bekannt, zur zweifellosen Berechnung von zwei Un- bekannten (a und b) nur zwei Gleichungen gehören, weil mehr als zwei, einander widersprechende, nämlich solche Bedingungen ausdrücken können, welchen gleichzeitig zu genügen die beiden Unbekannten nicht vermögen, so wird es sich alsbald herausstellen, ob die zwischen den Grössen p und t zufolge der Versuchswerthe bestehende Beziehung durch die der Hauptsache nach denn doch willkürlich oder unbegründet angenommene Form zum Ausdrucke gebracht werden kann. Verbindet man, ähnlich wie dies schon in einem früheren Falle geschah, zum Zwecke der Berechnung der Constantenwerthe a und b je zwei der obigen also in überschüssiger Anzahl vorhandene Bedingungs- gleichungen miteinander, so erhält man die nachfolgenden Zahlen- werthe, und zwar aus der Combination der Gleichungen: 1 und 3, 1 und 2, a 4,5191, b = 0,1145, α= 4,8402, b = 0,1325, = 5,0606, b = 0,1448, b = 0,1652, 1 und 4, 2 und 3, α= a = 4,3062, = a = 4,2180, b = 0,1862, 2 und 4, 3 und 4, a = 2,9250, b 1 0,2500. 16 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Der Mangel an Uebereinstimmung bei den aus den sechs mög- lichen Combinationen der zu berücksichtigenden Gleichungen hervor- gegangenen Zahlenwerthen beweist nun allerdings, dass von Seite der Gleichungen an die Constanten a und b als Unbekannte eine Reihe von einander abweichenden und daher nicht gleichzeitig zu erfüllenden Anforderungen gestellt werden. Die relativ geringe Verschiedenheit der für a und für b erhaltenen Zahlenwerthe hingegen lässt es wenigstens als möglich erscheinen, dass durch eine zweckmässigere Wahl der Werthe der Constanten allen an sie gestellten, wie ersichtlich nicht allzusehr von einander ab- weichenden Anforderungen gleichzeitig möglichst gleichmässig ange- nähert wird entsprochen werden können. Nimmt man vorläufig, wegen Mangel an Kenntniss einer besser zum Ziele führenden Methode, wie in dem schon früher behandelten. Beispiel, die arithmetischen Mittel (am und bm) von allen für a und für b erhaltenen Werthen, so gelangt man, da am = 4,3115 und bm 0,1655, zu folgender empirischen Formel: - p = 4,3115 +0,1655 t, welche jetzt noch in Bezug auf ihre Brauchbarkeit dadurch zu prüfen ist, dass man untersucht, ob sie die Versuchswerthe mit dem etwa gewünschten Genauigkeitsgrade zu geben vermag. Sie gibt für die in der Reihe der Versuchswerthe enthaltenen Temperaturen, das ist für: t₁=-17,8, t=+4,2, t=+16,3, t+20,3 als zugehörig: P₁ = 1,36, p= 5,01, p= 7,01, p= 7,67 statt: P₁= 2,48, p₂- 5,00, p= 7,00, P= 8,00 Atmosphären. Es sind daher die durch Rechnung erhaltenen Werthe bezüglich mit folgenden Fehlern behaftet: d₁ = 1,12, d₂+0,01, dg - = +0,01, 84 - 0,33 und beträgt die algebraische Summe derselben: s = d₁ + d₂ + d₂+ d₁ = 4 - - 1,43. = Die nicht unwesentliche numerische Verschiedenheit zwischen den sich ergebenden Fehlern, der zufolge einzelne der Rechnungswerthe mehr als genügend mit den analogen Versuchswerthen übereinstimmen, andere hingegen von denselben bereits in entschieden unzulässiger Weise abweichen, sowie das aus der algebraischen Summe der Fehler ersicht- liche Vorwiegen der negativen, lassen auch hier erkennen ebensowohl die Nothwendigkeit einer kleinen Aenderung der Constantenwerthe, als I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 17 auch die Art, in welcher dieselbe der Hauptsache nach vorzunehmen sein wird. Aendert man nämlich, vorläufig versuchsweise, die Constantenwerthe so, dass dadurch etwas grössere Werthe für die zu den gewissen Tem- peraturen t gehörigen p erhalten werden, so wird dies eine numeri- sche Verkleinerung der unzulässig grossen negativen, zugleich aber auch eine numerische Vergrösserung der unnöthig kleinen positiven Fehler, also im Ganzen ein gleichmässigeres Anpassen der Rechnungswerthe an die Versuchswerthe bewirken. Da aber eine Vergrösserung der aus der Formel für p zu erhal- tenden Werthe (allerdings wenn nur positive Temperaturen zu berück- sichtigen wären) ebensowohl erreicht werden kann durch eine nume- rische Vergrösserung Einer der Constanten a oder b als auch durch eine gleichzeitige von a und b, so ist man noch immer nicht im Klaren darüber, wie man zweifellos zu den besten oder geeignetsten Werthen der Constanten gelangt. Jedenfalls aber hat sich wieder gezeigt, dass die arithmetischen Mittel am und bm nicht die besten Werthe der Constanten darstellen, weil sie nicht allein der Verbesserung bedürftige, sondern auch fähige Grössen sind. Zu den besten Werthen der Constanten gelangt man nun und zwar in vielen Fällen unmittelbar, in anderen durch successive methodische Verbesserung von Näherungswerthen mittelst der auf der Wahrschein- lichkeitsrechnung beruhenden sogenannten Ausgleichsrechnung, oder was dasselbe ist mittelst der Methode der kleinsten Quadrate, welche unter An- derem lehrt, die Constanten als Unbekannte der in überschüssiger Anzahl vorhandenen, aus den Beobachtungs-, Messungsresultaten oder Versuchs- werthen abgeleiteten Bedingungsgleichungen so zu bestimmen, dass sie den von sämmtlichen dieser Gleichungen gestellten, mehr weniger von einander abweichenden Bedingungen gleichzeitig möglichst gleichmässig angenähert entsprechen. Die vorstehend genannte, in selbstständigen Werken abgehandelte Methode wird hier aus naheliegenden Gründen nicht durchwegs strenge bewiesen doch aber derart nutzbringend verwerthet werden, dass in allen principiell verschiedenen Fällen mindestens die Angabe erfolgt, welche Rechnungsmanipulationen nach den Lehren der Ausgleichs- rechnung der Reihe nach vorzunehmen sind, damit man zu den besten Werthen der Constanten gelangt. Da die Ausgleichsrechnung, wie schon erwähnt, auf der Wahr- scheinlichkeitsrechnung beruht, so nennt man zumeist und zwar mit Recht jene Werthe, welche sie für die als Unbekannte der in über- Steinhauser, empirische Formeln. 2 18 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. schüssiger Anzahl vorhandenen Gleichungen erscheinenden Constanten gibt, die wahrscheinlichsten Werthe derselben. Wäre eine in irgend einer allgemeinen Form niedergeschriebene empirische Formel thatsächlich der wahre oder richtige allgemeine Aus- druck für die zwischen den Veränderlichen bestehende Beziehung, so würden beim Vorhandensein einer Anzahl von diesbezüglichen Ver- suchswerthepaaren, welche die Zahl der in der Formel erscheinenden Constanten überschreitet, also bei dem hieraus nothwendig folgenden Vorhandensein einer überschüssigen Anzahl von Gleichungen, die in diesen enthaltenen Widersprüche oder die durch dieselben ausgedrückten, von einander mehr weniger abweichenden Bedingungen, nur auf Rech- nung der den Versuchswerthen anhaftenden, unvermeidlichen Fehler ge- setzt werden können. Würde man nun aus der Formel, nachdem sie die mit Hilfe der Ausgleichsrechnung aus den Versuchswerthen gefundenen wahrschein- lichsten Constantenwerthe erhielt, die der unabhängig Veränderlichen zukommenden, den Versuchswerthen analogen Zahlenwerthe berechnen, so stellten selbe dann nach dem Sinne der Ausgleichsrechnung jene Werthe dar, welche sich bei den Versuchen wahrscheinlich ergeben haben würden, wenn diese fehlerfrei ausgeführt worden wären. Dieser Ausspruch wird näher begründet werden nach Voraus- schickung folgender für das Spätere wichtigen Bemerkung. Ist durch Versuche oder Beobachtungen etc. für irgend eine Grösse w ein mit dem Fehler + f behafteter Werth v erhalten worden, so be- steht offenbar die Gleichung: v=w+f oder w=v-f, aus welcher man ersieht, dass, sobald (+ f) den Fehler darstellt, welcher einem Werthe (v) anhaftet, (f) die Verbesserung bedeutet, welche an demselben zum Zwecke der Richtigstellung anzubringen ist. Da, wie bereits gesagt wurde, unter der gemachten Annahme (dass die allgemeine Formel die zwischen den Veränderlichen bestehende allgemeine Beziehung richtig zum Ausdruck bringe), die Widersprüche, welche in den aus den Versuchswerthen nach der allgemeinen Formel abgeleiteten, in überschüssiger Anzahl vorhandenen Gleichungen auf- treten, nur von den den Versuchswerthen anhaftenden unvermeidlichen Fehlern herrühren können, so folgt, dass, sofern an den Versuchswerthen Verbesserungen oder Correcturen angebracht würden, welche den immer- hin nicht bekannten Fehlern entsprächen, sämmtliche Widersprüche all- sogleich verschwinden müssten. Suchte man nun, wenn möglich, auf irgend eine Weise solche Correcturwerthe zu finden, welche der Reihe nach in den Versuchs- I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 19 werthen angebracht, die Widersprüche verschwinden machten, so wären dieselben umgekehrt offenbar nichts anderes, als die an den Versuchs- werthen anzubringenden Verbesserungen, oder mit geänderten Zeichen die denselben anhaftenden Fehler, aber nur dann, wenn nur eine einzige Reihe solcher zum gewünschten Ziel führender Correcturenwerthe gefunden werden könnte. Nachdem aber dies durchaus nicht der Fall ist, andererseits aber angenommen werden kann, dass Versuchswerthe wohl immer mit mög- lichster Sorgfalt aufgesucht, denselben also nur sehr kleine unvermeid- liche Fehler anhaften werden, so ist es am wahrscheinlichsten, dass von allen die Widersprüche hebenden Correcturreihen jene den Ver- besserungen resp. Fehlern entspricht, welche die geringfügigsten Aende- rungen der Versuchswerthe bedingt. Es sind demnach höchstwahrscheinlich die kleinsten der gleichzeitig vorzunehmenden Correcturen, welche die Widersprüche zu beheben vermögen, die an den Versuchswerthen zum Zwecke ihrer Richtigstellung vorzunehmenden Verbesserungen oder mit entgegengesetzten Zeichen gedacht, die den Versuchs- werthen anhaftenden unvermeidlichen Fehler. Durch die die Constanten noch als Buchstabengrössen enthaltende Formel wird das zwischen den Veränderlichen bestehende Abhängig- keitsgesetz in allgemeiner Form ausgedrückt und lässt dasselbe be- kanntlich sodann noch eine nähere Specialisirung oder innerhalb ge- wisser Grenzen eine verschiedene Formulirung dadurch zu, dass eben verschiedene Zahlenwerthe für die Constanten eingesetzt werden können. Je nach den Werthen, welche nun den Constanten beigelegt werden, weichen selbstverständlich die aus der specialisirten Formel erhältlichen Rechnungswerthe von den analogen Versuchswerthen in mehr weniger bedeutender Weise ab. Denkt man aus den Versuchswerthen jene Zahlenwerthe für die Constanten der Formel abgeleitet, mit Hilfe deren die Differenzen zwischen den Versuchs- und den aus der Formel berechneten analogen Werthen sowohl im Ganzen als im Einzelnen so klein als möglich ausfallen, oder, was dasselbe nur in besser verwerthbarer Weise aus- gedrückt, sagt: die Zahlensumme dieser Differenzen sowie deren eigene numerische Unterschiede möglichst klein werden, so erhält man aus der Formel Rechnungswerthe, welche sämmtlich ohne Widerspruch dem durch die Formel ausgesprochenen Gesetz gehorchen und dabei von den analogen Versuchswerthen möglichst wenig abweichen, also offenbar jene Werthe, welche man auch aus den Versuchswerthen mittels der be- sprochenen kleinsten Correcturen als Verbesserungen erhalten könnte, wenn diese, was aber nicht der Fall ist, bekannt wären. 2* 20 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Man erhält mithin aus der Formel, wenn sie die soeben näher bezeichneten Constantenwerthe enthält, Rechnungswerthe, welche wie die ihnen gleichen verbesserten Versuchswerthe unter den obwaltenden Umständen als die wahrscheinlichsten Werthe der unabhängig Ver- änderlichen anzusehen sind. Stellen Veinen Versuchs- und R den aus der Formel erhaltenen analogen Rechnungswerth dar, so ist die Differenz dieser Werthe: δ 8=R-V offenbar die an dem Versuchswerth zum Behufe seiner Richtigstellung wahrscheinlichst anzubringende Verbesserung, sowie (-8) der demsel- ben wahrscheinlichst anhaftende Fehler, und würde es demnach möglich sein zur Kenntniss dieser Verbesserungen resp. Fehler zu gelangen, wenn es gelänge, jene Werthe der Constanten zu finden, welche die vor Kurzem ausgesprochene Bedingung erfüllen. Dies ist aber thatsächlich erreichbar durch die Ausgleichsrechnung, deren Bezeichnung nun in dem Umstande begründet erscheint, dass selbe einerseits ermöglicht, durch die Verbesserung der Versuchswerthe sämmtliche Widersprüche auszugleichen, andererseits in gewissen Fällen lehrt, den sogenannten Fehlerausgleich vorzunehmen, d. i. die der Wahr- scheinlichkeit entsprechende Vertheilung einer bekannten Summe von Fehlern auf die einzelnen fehlerhaften Versuchs-, Beobachtungs- oder Messungsresultate. Unter der schon vor Längerem gemachten, wiederholt angeführten und bis auf weiteres beizubehaltenden Annahme, dass die allgemeine Formel der richtige allgemeine Ausdruck für das zwischen den Ver- änderlichen bestehende Abhängigkeitsgesetz sei, kann nach dem Vorher- gegangenen auch der nachstehende Satz ausgesprochen werden: Die Differenzen zwischen den Versuchs- und den aus der Formel erhaltenen analogen Werthen können als die den ersteren wahr- scheinlich anhaftenden unvermeidlichen Fehler angesehen werden. Es ist endlich jetzt auch möglich, unter Bezug auf das bereits Gesagte sich über das Wesen der Ausgleichsrechnung bestimmter aus- zudrücken und zwar wie folgt: Die Ausgleichsrechnung lehrt (unter Anderem) die Constanten einer Formel so zu bestimmen, dass numerisch oder der Zahl nach einer- seits die Summe der Fehler (Differenzen in den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen) möglichst klein wird, andererseits die ein- zelnen Fehler unter einander möglichst gleich werden. Da die früher durchgeführten Beispiele sehr deutlich gezeigt haben, dass die Fehler oder Differenzen bezüglich der numerischen I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 21 Grösse nur dann einander nahe kommen, gleichzeitig aber möglichst klein werden können, wenn sie ebensowohl positiv als negativ in an- nähernd gleicher Grösse auftreten, so ergibt sich als nothwendige Folge der Constantenberechnung nach der Ausgleichsrechnung, dass sich die Fehler oder Differenzen in ihrer algebraischen Summe zum grossen Theile aufzuheben oder auszugleichen streben, welcher Fehlerausgleich aber nicht mit dem oben näher besprochenen verwechselt werden darf. Es entsteht nun zunächst die Frage, wie man im Allgemeinen nach der Ausgleichsrechnung vorzugehen habe, um zu jenen Werthen der Constanten zu gelangen, mittelst denen der Zahl nach eine mög- lichst kleine Fehlersumme und möglichst kleine Fehler erhalten werden. Der Lösung dieser Aufgabe kommt nun, wie gleich gezeigt wird, zu Gute, dass es möglich ist, die beiden ausgesprochenen Bedingungen in Eine zu verschmelzen. Stellen d1, d2, dg etc. bis dn eine Reihe veränderlicher Grössen dar, deren numerische Summe: sei, und ist q s = (+ d₁) + (+ d₂) + (+ £3) + ··· + (+ dn) 2 q = d₁² + d₂² + d²² + ··· + dn² 2 die Summe der Quadrate dieser Grössen, so ist leicht einzusehen, dass ein Minimum, also der Zahl nach möglichst klein wird, wenn d₁ = d₂ = d3 S = бл = ท und s selbst möglichst klein ist. Wendet man dieses Ergebniss auf den vorliegenden Fall an, indem man unter & die Werthe der Fehler oder die bekannten Diffe- renzen begreift, so ergibt sich, dass die beiden oben ausgesprochenen Bedingungen gleichzeitig in der Einen enthalten sind: die Summe der Fehlerquadrate solle ein Minimum sein. Man kann daher auch sagen: Nach der Ausgleichsrechnung sind die Constanten einer Formel so zu bestimmen, dass die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum wird. Hierin aber findet die Bezeichnung dieser Rechnungsmethode als Methode der kleinsten Quadrate ihre volle Erklärung. Es möge allerdings nicht verschwiegen werden, dass die beiden vor Kurzem ausgesprochenen Bedingungen auch dann in Eine zusammen- gezogen werden könnten, wenn statt der Quadrate gewisse andere Po- tenzen eingeführt worden wären. Aber abgesehen davon, dass nur bei geraden Potenzen der Ein- fluss der den Fehlern zukommenden Zeichen verschwindet, und noch andere Gründe für die Beibehaltung des Quadrates sprechen, ist es schon klar, dass die niederste, folglich den Zweck am einfachsten erfüllende Potenz: das Quadrat, der Praxis am besten entspricht. 22 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Von der aus dem Vergleich der analogen Versuchs- und Rechnungs- werthe leicht abzuleitenden Summe der Fehlerquadrate: 2 3 q = d₁² + 8₂² + d₂³ + ··· + dn² .. 2 wird oft eine in vielen Fällen sehr wichtige Anwendung gemacht, indem zufolge der Ausgleichsrechnung der bei jedem einzelnen Versuchs-, Beobachtungs- oder Messungswerth zu befürchtende auch sogenannte mittlere Fehler m, das ist die mittlere Abweichung von der Wahrheit, nach der Formel: m = V q n -k - = ±f berechnet werden kann, in welcher q die Summe der Fehlerquadrate und n die Anzahl der Versuchswerthepaare bedeuten, die bei der Be- rechnung der k Constanten berücksichtigt wurden. Nimmt man hingegen von den sich ergebenden Differenzen als Fehler, ohne deren Zeichen zu beachten, das arithmetische Mittel, so erhält man nach Wastler den den Versuchswerthen anhaftenden durch- schnittlichen Fehler. Auf die nähere Begründung der oben für den mittleren Fehler angegebenen Formel kann hier nicht näher eingegangen werden. Die Betrachtung derselben aber lehrt, dass die Möglichkeit des Vor- kommens von (k) zufälligerweise fehlerfreien Versuchswerthen berück- sichtigt wurde, in Folge dessen die constatirbaren Fehler nur auf die dann übrig bleibenden (n-k) fehlerhaften Versuchswerthe gleichmässig zu vertheilen waren. Die Folge hiervon aber ist, dass der mittlere Fehler den durch- schnittlichen an Grösse überragt. = Da wenn nk, nothwendig q O wird, weil die Rechnungswerthe genau mit den Versuchswerthen übereinstimmen, wenn letztere nicht in überschüssiger Anzahl vorhanden sind, so folgt als mittlerer Fehler: m 0 0 unbestimmt, was heisst: Der den Versuchswerthen wahrscheinlich anhaftende mittlere Fehler kann nur berechnet werden, wenn überschüssige Versuchswerthe vorliegen. Es ist jetzt an der Zeit, die bis nun beibehaltene Annahme be- züglich der Richtigkeit der allgemeinen Formel fallen zu lassen, da bei den hier zu lösenden Problemen von vornherein nicht bekannt ist, ob also auch nicht ohne weiteres angenommen werden kann, dass die nach irgend einer Form aufgestellte empirische Formel wirklich dem zwischen den Veränderlichen bestehenden Abhängigkeitsgesetz ent- spricht. Dies hat aber dann zur Folge, dass weder die aus der Formel I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 23 erhältlichen Rechnungswerthe unbedingt als die der abhängig Ver- änderlichen wahrscheinlichst zukommenden Werthe, noch die Diffe- renzen zwischen den analogen Rechnungs- und Versuchswerthen als die an letzteren anzubringenden oder denselben anhaftenden (wahr- scheinlichen) Verbesserungen resp. Fehler angesehen werden können. Denkt man sich in einem bestimmten, vorliegenden Falle bekannt, welcher (ebensowohl positiv als negativ mögliche) Maximalfehler (f) den Versuchswerthen anzuhaften vermag, und bringt man mit der somit bekannten Fehlergrenze die zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen auftretenden Differenzen zum Vergleich, so kann sich nur ergeben, dass dieselben sämmtlich oder theilweise diese Grenze überschreiten oder nicht. Würden nun thatsächlich sämmtliche oder auch nur einzelne dieser Differenzen die bekannte Fehlergrenze überschreiten, so könnte die Ursache hievon nur in einer ungeeigneten oder unrichtigen Wahl der Formelform erblickt werden, weil nach dem Früheren bei richtig geformten For- meln, wenn die Constanten derselben nach der Ausgleichsrechnung be- stimmt wurden, die sodann die Fehler wahrscheinlichst darstellenden Differenzen sich offenbar nur innerhalb der Fehlergrenze zu bewegen vermöchten. Würden hingegen sämmtliche Differenzen sich innerhalb der be- kannten Fehlergrenze befinden, so wäre die dieselben zu Tage fördernde Formel unter den angenommenen Verhältnissen nothwendig als der wahrscheinliche Ausdruck für das zwischen den Veränderlichen be- stehende Abhängigkeitsgesetz anzusehen. Es sind demnach, was sich übrigens auch schon aus Früherem ergibt, die besten Werthe der Constanten gleichbedeutend mit jenen, welche sich durch die Ausgleichsrechnung unter dem Namen der wahr- scheinlichsten Werthe der Constanten ergeben. Man kann zufolge des Vorhergehenden nur dann mit möglichster Sicherheit in Erfahrung bringen, ob eine Formel ihrer Form nach geeignet ist, das besagte Abhängigkeitsgesetz mit genügendem Grade der Genauigkeit auszudrücken, wenn die Constanten derselben nach der Ausgleichsrechnung berechnet wurden, weil nur in diesem Falle aus der Ueberschreitung der Fehlergrenze durch die besprochenen Differenzen ohne Weiteres auf die Nichteignung der Formelform geschlossen werden kann. Würden nämlich die Constanten der Formel aus den in über- schüssiger Anzahl vorhandenen Gleichungen auf irgend eine andere Art und Weise berechnet worden sein, so bliebe man darüber offenbar im Unklaren, ob die Ueberschreitung der Fehlergrenze durch die 24 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Differenzen Folge der Nichteignung der Formelform oder der Ein- führung von Constantenwerthen ist, welche etwa nicht so gut als möglich entsprechen. Ist, was vorkommen kann, die Fehlergrenze nicht bekannt, und für dieselbe nur eine mehr weniger zutreffende vermuthungsweise An- nahme gemacht worden, so hat dies nur zur Folge, dass im Falle der Nichtüberschreitung der angenommenen Fehlergrenze durch die Diffe- renzen die Formel nur so lange als der wahrscheinlichste Ausdruck des Abhängigkeitsgesetzes anzusehen ist, als keine neue, die Fehlergrenze einengende Annahme gemacht wird. Es hat jetzt auch der früher gemachte Ausspruch, dass man sich nur dann mit einer empirischen Formel zufriedenstellt, wenn die Differenzen innerhalb der (wahren oder angenommenen) Fehlergrenze liegen, seine volle Erklärung gefunden, da nur unter dieser Bedingung die Formel als der wahrscheinliche Ausdruck des Abhängigkeitsgesetzes angenommen werden kann. Weiter dürfte jetzt klar sein, dass eine Formel wegen Nicht- eignung der Form trotz Berechnung der Constanten durch die Aus- gleichsrechnung nicht zu entsprechen vermag, dies aber gleichzeitig viele andere verschieden geformte sowie im Gebrauche mehr weniger bequeme Formeln zu thun vermögen und zwar um so mehr, je weiter die Fehlergrenze gesteckt ist. Dass es immer zweckmässig sein wird, die Constanten einer em- pirischen Formel nach der Ausgleichsrechnung zu bestimmen, ob die Formel nun nach willkürlicher oder begründeter Form aufgestellt wird, erhellet schon aus dem kurz vorher Gesagten, da nur in diesem Falle mit möglichster Sicherheit auf die Eignung oder Nichteignung der Formelform geschlossen werden kann. Es wird jetzt nöthig anzugeben, wie der gestellten Bedingung entsprechend, dass die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum werde, die Constanten einer empirischen Formel zu berechnen sind, und zwar vorläufig unter der Annahme, dass die zwischen den Veränderlichen bestehende und durch die Formel ausgedrückte Beziehung in Rück- sicht auf die Constanten eine sogenannte lineare Function darstelle, nämlich einen Ausdruck, welcher nur die einzelnen ersten Potenzen derselben und diese nur in den eventuellen Zählern seiner Glieder enthält. Mit dieser letzteren Annahme steht beispielsweise nicht im Widerspruche die Gleichung: x2 y = a++ " с I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 25 da selbe allsogleich in: übergeht, wenn man d und 1 = - 1 b y=a+dx+ex² C =e also wieder Constanten gleich- setzt, nach deren Berechnung sich b und c sehr leicht ergeben. Bestünde angenommenermassen zwischen der unabhängig und abhängig Veränderlichen y beziehungsweise x die Beziehung: y=af(x) + bf'(x) + cf" (x) +···, worin a, b, c etc. die Constanten, f(x), f'(x), f'(x) aber verschiedene, im Uebrigen beliebige Functionen von x bedeuten mögen, so sind vor Allem dem Vorhergehenden zufolge aus den vorhandenen n Versuchs- werthepaaren: X1 X2 [X3 y Y2 Y3 [ xn Yn 9 nach der vorstehenden allgemeinen empirischen Formel die n speziellen Bedingungsgleichungen aufzustellen, welche offenbar, wie folgt, lauten: Y₁ = af(x₁) + bf'(x₁) + ef" (x₁) +... Y₂ = af (x2) + bf' (x2) + cf" (x2) + Y3 = af(x3) + bf' (x3) + cf" (x3)+ Yn=af(xn) + bf'(xn) + cf" (xn) + ··· da man ja nichts anderes zu thun hat, als der Reihe nach für y die Werthe 91, 92, ys etc. bis yn und entsprechend für x beziehungs- weise x1, x2, x etc. bis xn zu setzen. Diese Gleichungen dienen jetzt bekanntlich zur Berechnung der Constanten, da sie ja nur diese mehr als Unbekannte enthalten. Sind in der Formel nun k Constante enthalten und ist k>n, so können dieselben in Folge Mangels der erforderlichen Anzahl von Versuchswerthen resp. Gleichungen einfach nicht berechnet werden. Wäre hingegen kn, so ist die Zahl der Gleichungen gerade hinreichend zur Berechnung der Constanten durch gewöhnliche Auf- lösung der Gleichungen. Wäre endlich, was ja nur wünschenswerth ist, k ist, 4c b2 4.) دو a und c allein negativ sind und überdies a< ist, 4 c I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 57 b2 4 c b2 ist, b und c positiv sind und überdies a > ist; 4 c 5.) wenn a, b und c negativ sind und überdies a< 6.) 99 a, n negativ werden: 1.) wenn a allein negativ ist, 2.) 3.) 4.) 5.) 6.) وو "" 29 a und c allein negativ sind und a> a und b allein negativ sind, b2 b allein negativ und überdies a< ist, 4 c b2 ist, 4 c b2 ist, 4c b2 ist. 4 c a, b und c negativ sind und a> a, b und c positiv sind und a< Weitere Fälle können nicht mehr vorkommen, weil: n nicht positiv werden kann, wenn a allein negativ ist, oder gleich- zeitig a und b negativ sind, n nicht negativ werden kann, wenn c allein negativ ist, oder gleich- zeitig b und c negativ sind. Auch diese Ergebnisse können zum ferneren Gebrauch in folgender übersichtlicher Weise zusammengestellt werden: (+ n) wenn: [+ a, b, 33 36 وو [+ a, [+ a, + - — — - - c], ohne weitere Bedingung ist, b, c), „ b, + c] und numerisch a> 29 b2 4 c b2 [-a, b, - c] „ a< 4 c b2 ― [— a, b, c] „ - a< 27 4 c b2 [+a, + b, + c] ” a> 29 4 c 33 و" 336 د" و" (-n) 27 [-a, + b, + c], ohne weitere Bedingung,„, - و" [- a, b, c), „ 36 و" "" [+ a, b, + c] und numerisch a< - b2 4c و" b2 [ a,b,c] „ a> وو 4 c 27 b2 [ a,b,c]", a> " 4c دو b2 [+a, + b, + c] " a< وو 4 c و" Stellt man jetzt, wie dies Figur 4 zeigt, alle Fälle zusammen, welche überhaupt, also vorläufig ohne besondere Rücksicht auf das unmittelbar Vorhergehende, in Bezug auf die Lage des Scheitels und 58 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. die Seite, nach welcher sich die Parabel erstreckt, möglich sind, so sieht man alsogleich, dass zufolge der Figur: Fig. 4. Im Falle I: m, n und e positiv sein müssen, und zwar letzteres deshalb, weil sich die Parabel nach aufwärts erstreckt. Da nun für ein positives m, wenn gleichzeitig c positiv sein soll, nach obiger Zusammen- stellung nothwendig b negativ werden. muss, so ergibt sich für den vor- liegenden Fall auch folgende Bedin- gung: (+n, b, c). Sucht man jetzt unter den oben zusammengestell- ten Fällen für (+ n) jene etwa vor- findlichen heraus, in denen b negativ und c positiv erscheint, so findet sich nur ein dieser Bedingung ent- sprechender Fall vor, in welchem: + m +n -n +n2 III V I VII +m -n m -m 14 +72 + m +n -n IV + m II VI -m -m VILL -n -- b2 [+ a, b, + c] und a> ist. -- 4c Man hat daher die Bedingungen ge- funden, welche die Constanten der empirischen Formel zu erfüllen haben, wenn die derselben entsprechende Parabel jene Lage im Coordinaten- system annehmen soll, welche aus der Figur beim Falle I ersichtlich ist. (Parabel nach aufwärts gekehrt, Scheitel im ersten Quadranten.) Im Falle II müssen: m und n positiv, c jedoch negativ sein. Da nach oben, wenn m positiv und gleichzeitig e negativ sein soll, nothwendig b positiv sein muss, so geht die für den vorliegenden Fall aus- gesprochene Bedingung: (+m, +n, c) in (+n, + b, c) über. - - Sucht man jetzt in den für (+ n) zusammengestellten Fällen jene heraus, in denen b positiv und c negativ er- scheint, so findet man: - c] ohne weitere Bedingung und [+ a, + b, b2 - [-a, b, c] wenn a< ist. 4c I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 59 Es vermögen daher die Constanten der empirischen Formel auf zwei verschiedene Arten zu bewirken, dass bei nach abwärts gekehrter Parabel der Scheitel derselben in den ersten Quadranten zu liegen kommt. Im Falle III müssen m negativ, n und c hingegen positiv sein. Auf Grund ähnlicher Schlussfolgerungen, wie sie vorstehend gemacht wurden, gelangt man zur Erkenntniss, dass die hier angeführte Be- dingung nur erfüllt wird, wenn nach der gekürzten Ausdrucksweise: [+a, + b, +c] und a> ist. b2 4 c - c), Im Falle IV wird die Bedingung gefordert: (—m, +n, welche wieder auf zwei Arten erfüllt werden kann, nämlich da- durch, dass: - [+ a, b, — c] ohne weitere Bedingung, oder 12 4 c [-a, b, c) und a< wird. Im Falle V wird die Bedingung gefordert: (-m, - n, + c), welche erfüllt werden kann, wenn: [-a, + b, + c] ohne weitere Bedingung, oder [+a, + b, + c] und a< b2 4 c ist. Im Falle VI wird die Bedingung gefordert: (-m, welche nur erfüllt werden kann, wenn: [ b2 a,b,c] und a> ist. 4 c Im Falle VII wird die Bedingung gefordert: (+m, welche erfüllt werden kann, wenn: [ - - n, - c), - n, + c), a,b,c] ohne weitere Bedingung, oder [+ a, b, + c] und b2 a< ist. 4 c Im Falle VIII wird die Bedingung gefordert: (+m, welche nur erfüllt werden kann, wenn: - n, - c), b2 [ a, b, c] und a> ist. 4 c Für den praktischen Gebrauch ist es nun ungleich geeigneter, die soeben erhaltenen Resultate in folgender übersichtlicher Weise zusammenzustellen. 60 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Zusammenstellung der Beziehungen, welche zwischen den Constanten der empirischen Formel y = a + bx + cx2 und der Lage besteht, welche die dieser Formel entsprechende Parabel im Coordinatensysteme einnimmt. Der Parabelscheitel Numerische Die Parabel ist ge- liegt in folgendem wendet nach: Zeichen der Constanten a, b, c Bedingung Quadranten: b2 [+a, + b, + c] a> aufwärts 2 4 c b2 a< 3 27 27 22 4 c وو [+a, + b,c] keine abwärts 1 b2 - [+ a, b, + c] a> aufwärts 1 4 c b2 a< 4 وو 4 c و" [-a, + b, + c] keine دو - [+ a, b, — c] keine abwärts 32 b2 [-a, b, - c] a> 4 4c " b2 a< 1 دو وو دو 4 c [ [ - a, a, - - b, + c] b, - - keine aufwärts 4 b2 c] a> abwärts 3 2 27 وو ” 4 c b2 a < 4 c Specielle Fälle, welche noch vorkommen können, sind: 1) Der Parabelscheitel liegt in der Abscissenaxe. In diesem Falle muss n a - b2 4c - 0 O werden, was a = b2 4c oder 4ac -- b2 bedingt. y = 11 Es geht sodann die empirische Formel: y = a + bx + cx² in: b2 4 c + bx + cx² über. 2) Der Parabelscheitel liegt in der Ordinatenaxe. In diesem Falle muss m = b2 2 c O werden, was b=0 oder c=∞ bedingt. Für b 0 geht die empirische Formel in ya+cx2 über. Für c∞ in y=a+∞, was einer geradlinigen von der Abs- cissenaxe unendlich entfernt liegenden, daher nicht weiter in Betracht zu ziehenden Parabel entspricht. I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 61 3) Der Parabelscheitel liegt im Ursprung. In diesem Falle muss m = n = 0, mithin b 2c = b2 O und a- = 4 c O werden, was, sobald wieder von der geradlinigen Parabel abgesehen wird, welche für c=∞ 0 resultirt, a = b = 0 bedingt. Die empirische Formel nimmt dann die Form: y cx² an. und a = - In Bezug auf das Nullwerden einer oder mehrerer Constanten können folgende Fälle unterschieden werden: [a = 0], [b = 0], [c = 0], [a = b = 0], [a = c = [b= c = 0], [a b c = 0]. = 0], = Es nimmt dann denselben entsprechend die empirische Formel nach- stehende Formen an und zwar: Für a = 0, die Form: y = bx + cx². Es schneidet in diesem Falle die Parabel die Ordinatenaxe im Ursprung, da aus der Formel für x=0 auch y=0 erhalten wird. Für b= 0, die Form: y = a + bx². Der Parabelscheitel liegt somit nach Früherem in der Ordinatenaxe. Für c= 0, die Form: y = a + bx. Diese Gleichung entspricht nach Früherem einer gegen beide Coordinatenaxen geneigten Geraden und kann auch als die Gleichung einer (geradlinigen) Parabel angesehen werden, deren Parameter weil c = 0, unendlich ist. 1 с Für a=b= 0, die Form: y = cx². Der Parabelscheitel liegt hierbei im Ursprung. Für a=c=0, die Form: y = bx. Diese Gleichung entspricht einer Geraden, welche durch den Ursprung geht (weil für x=0 auch y=0 wird), und kann auch als die Gleichung einer (geradlinigen) Parabel an- gesehen werden, deren Parameter, weil c = 0, unendlich ist. Für b= c = 0, die Form: y = a. a. Diese Gleichung entspricht, weil unabhängig von x, also für jeden Werth desselben y =a wird, einer zur Abscissenaxe im Abstande a parallel laufenden Geraden, die wieder wegen c=0 als geradlinige Parabel angesehen werden kann. Für abc = 0, die Form: y -0. Diese Gleichung entspricht, weil unabhängig von x, also für jeden Werth desselben y O wird, der Abscissenaxe und kann gleichfalls wegen c = 0 als Gleichung einer geradlinigen Parabel angesehen werden. = = Es mögen jetzt, um die Verwerthung des Vorhergehenden zu zeigen, die von der allgemeinen Formel y a + bx + cx² gewonnenen geometrischen Vorstellungen auf jene beiden speciellen Formeln über- tragen werden, welche in Bezug auf die Verflüssigung des Ammoniak- 62 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. gases aus fünf zusammengehörigen Versuchswerthepaaren aufgestellt wurden. Sie lauteten: p =+ 4,439 +0,1412 t + 0,00141 t2, t = · -54,61 +16,367 p-0,8835.p². Setzt man darunter die Gleichung: y = a + bx + cx², so ersieht man wohl leicht, welche Grössen in jeder der obigen zwei Gleichungen die Rolle der Ordinaten y, der Abscissen x, sowie der Con- stanten a, b und c übernehmen. Es lässt jetzt vor allem der einfache Vergleich der beiden Glei- chungen erkennen, dass denselben sehr wesentlich verschiedene Para- beln entsprechen, weil die die Grösse der Parameter bestimmenden Zahlenwerthe der Constanten c (nämlich + 0,001412 und -0,8835) ganz wesentlich verschieden sind. Es steht dies im vollen Einklang mit früher Gesagtem, dem- zufolge beide Gleichungen nicht eine und dieselbe Gleichung unter ver- schiedenen Formen darzustellen vermögen. - Man erhielt auch deshalb für Einen und denselben Werth von t, (nämlich 54,61) aus beiden Gleichungen verschiedene Werthe des zu- gehörigen Druckes p (nämlich 0,93 beziehungsweise 18,52 und 0,00), was sich jetzt geometrisch ganz einfach dadurch erklärt, dass im Allgemeinen zu gleichen Abscissen verschiedene Ordinaten verschiedener Parabeln gehören. Nachdem aber von jeder der beiden Parabeln, zufolge der Auf- stellung ihrer Gleichungen, nach der Methode der kleinsten Quadrate, ein Stück mit dem aus den Versuchswerthen erhaltenen begrenzten Stück der Beziehungscurve nahezu zusammenfallen soll, so werden auch beide, im Uebrigen von einander verschiedene Parabeln inner- halb dieses Stückes mit einander nahezu zusammenfallen. also bei gleichen Abscissen nahezu einerlei Ordinaten besitzen müssen, wenn man sie in eine und dieselbe Figur mit der Beziehungscurve einzeichnet. Da aber in der einen Gleichung die p, in der anderen die t die Rolle der abhängig Veränderlichen, also auch die der Ordinaten spielen, so können beide Parabeln gleichzeitig nur dann in ein und dasselbe Coordinatensystem (dessen eine Axe die Temperatur- als Abscissen- ахе dessen andere die Druck- als Ordinatenaxe bildet) eingezeichnet werden, wenn man die Abscissenaxe der einen Parabel immer als die Ordinatenaxe der anderen betrachtet, also beide Parabeln auf zwei verschiedene Coordinatensysteme bezieht, deren ungleichnamige Axen aufeinander fallen. I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 63 Da aber, wie bekannt, die Axe einer jeden in der Gleichung y=a+bx + cx2 eingeschlossenen Parabel der Ordinatenaxe jenes Syste- mes parallel läuft, auf welches die Parabel bezogen erscheint, so kommen die beiden hier in Betracht zu ziehenden Parabeln offenbar so gegen einander zu stehen, dass sich ihre Axen rechtwinklig durchschneiden. Aus dem Vergleich der beiden Gleichungen kann noch entnommen werden, dass der ersteren die (am Scheitel) flachere Parabel entspricht, weil diese wegen 0,001411 <0,8835 den grösseren Parameter besitzt. Unterzieht man noch jede der beiden Gleichungen einzeln für sich einer näheren Betrachtung, so lässt sich, und zwar vorerst aus der ersten derselben entnehmen, dass, nachdem sämmtliche Constanten positiv sind, also der Fall [+a, + b, + c] vorliegt, zufolge der früheren Zusammenstellung, der Scheitel der wegen des positiven Werthes von c nach aufwärts gekehrten Parabel im zweiten oder dritten Quadranten liegt, je nachdem beziehungsweise a Weil a = 4,439, b = 0,1412 und hieraus b2 4 c b2 4c = b2 4 c ist. 3,50..., also der Zahl nach a> ist, so liegt der Parabelscheitel im zweiten Qua- dranten und findet dies auch noch eine Bestätigung dadurch, dass die Coordinaten desselben nachfolgende Werthe erhalten: b m = — = — - 50,0... und n = = a — 2 c b2 4 c = +0,94... = Stellt man jetzt, die Werthe auf Seite 48 berücksichtigend, so wie dies Fig. 5 zeigt, ein Stück der Verflüssigungscurve als Beziehungscurve y 7- I 8+ M 6+M₂ 5 M Ma -40-35,-30,-25,-20,-15,-10-5, M Fig. 5. I M 8+ M p 7-3 6+M₂ st 47 M 3 M 2+ t I +5+10, +15,+20+25, -50-45-40-35,-30-25-20,-15-10-5, yp t I +5,+10+15,+20, +25 +20, +25, yp und die der eben besprochenen empirischen Formel entsprechende Parabel neben einander, damit sich nicht beide Curven gegenseitig verundeut- lichen, so ersieht man wohl leicht, dass sich unter den obwaltenden Verhältnissen die Parabel wird der Beziehungscurve verhältnissmässig gut anzuschliessen vermögen. 64 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Man vermag jetzt aber auch zu entnehmen, dass die Formel ausser- halb des Versuchsbereiches und zwar vorwiegend bei sehr niederen Temperaturen sehr unrichtige Resultate zu Tage fördern wird, da nach Passierung des Scheitels O2, nämlich für unter 50° Cels. liegende Tem- peraturen als Abscissen, wieder zunehmende Drücke als Ordinaten er- halten werden, was der Natur der Sache wohl vollständig widerspricht. Während die Beziehungscurve sich in ihrer Fortsetzung nach der linken Seite hin ohne Zweifel der Abscissenaxe mehr und mehr nähern wird, beginnt sich die Parabel nach Passierung des Scheitels neuerlich zu erheben. Es ist demnach die Kenntniss der Lage des Scheitels wohl ohne Zweifel von Nutzen. Das positive Zeichen des der Constanten a entsprechenden Zahlen- werthes (4,439) lässt überdieş erkennen, dass die Parabel ihre Ordi- natenaxe über dem Ursprung schneidet, was auch aus Fig. 5 ersicht- lich ist, in welcher nebenbei bemerkt, die Curvenpunkte so wie in Figur 1 bezeichnet sind. Aus der zweiten der empirischen Formeln ist zu entnehmen, dass deshalb, weil die Constanten a und e negativ sind, also der Fall [— a, +b,c] vorliegt, nach der früheren Zusammenstellung der Scheitel der wegen des negativen Werthes von c nach abwärts gekehrten Pa- rabel im vierten oder ersten Quadranten liegt, je nachdem beziehungs- weise: a b2 4 c ist. 54,6 ..., b = + 16,3... und hieraus Weil a = -54,6. b2 b2 4 c 75,8, also der Zahl nach a< ist, so liegt der Parabelscheitel im ersten 4 c Quadranten, und findet dies auch seine Bestätigung dadurch, dass die Coordinaten desselben folgende Werthe erhalten: b m = - b2 +9,26... und n = a — 4 c = + 21,19 ... 2c Stellt man jetzt, die Werthe auf Seite 49 berücksichtigend, so wie dies Fig. 6 zeigt, die Verflüssigungscurve als Beziehungscurve und die der eben besprochenen empirischen Formel entsprechende Parabel wieder neben einander, so sieht man auch hier, dass sich die Parabel der Be- ziehungscurve wird verhältnissmässig gut anzuschliessen vermögen. Zeichnet man endlich, wie Fig. 7 zeigt, die Figuren 6 nicht bloss um 90° gedreht, sondern noch als Spiegelbild, indem man das Rechts mit dem Links vertauscht, um die Uebereinstimmung mit den Figuren 5 zu erzielen, so lässt sich jetzt erkennen, dass die der vorliegenden Parabel entsprechende Formel geeigneter wie die andere erscheint, zur I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 65 Benützung ausserhalb des Versuchsbereiches bei niederen Temperaturen, weil wegen der dermaligen Lage der Parabel zu den zunehmenden Fig. 6. I ty My +25+ 4 +20- +15+ +10+ +5 I ty +25+ +20+ +15+ +10+ +5+ P -5- 123 M M3 00 5 M M M 2 3 4 5 6 I -10+ -5+ -10- -15- -15- -20+ M -20 M -25+ -25 -30 -30+ -35- -35+ -40- Mo M х 8 9 10 70 I ty -40- ty Kältegraden als Abscissen, abnehmende positive Drücke als Ordinaten gehören. Fig. 7. M I y p 4+ 6+ 5- M₂ Ma M M' I y p M 8+ M x Mo I t ச Mo x -40-35-30,-25,-20,-15-10-5, +5,+10+15,+20,-40-35-30-25,-20,-15-10-5, y p 7- 6 M 2 х I +5+10+15,+20, +2.5, t yp Aber auch dies ist, wie alsbald gezeigt wird, nur bis zu einem gewissen Curvenpunkte der Fall. Erinnert man sich, dass auf Seite 50 aus beiden in der Be- sprechung befindlichen Formeln, als zur Temperatur (- 54,61) gehörige Drücke, beziehungsweise p+0,93 und p= wurden, so findet man jetzt die Erklärung hiefür. +18,52 erhalten 1+0,00 Entsprechend der Fig. 5 erhält man aus der ersten Formel zu Steinhauser, empirische Formeln. 5 66 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. jeder Temperatur (z. B. zu - 54,61) als Abscisse nur einen Druck (d. i. dann p = 0,93) als Ordinate. Die beiden aus der zweiten Formel gleichzeitig erhaltenen Werthe des Druckes p hingegen, nämlich: 18,52 und 0,00 entsprechen den beiden Ordinaten, welche nach Fig. 7 zu einer und derselben Tempe- ratur (hier - 54,61) als Abscisse gehören. Von diesen beiden Werthen hat dann eigentlich nur einer in Betracht gezogen zu werden, nämlich p=0,00, da nur dieser als Ordinate zu dem allein zu beachtenden, weil die Beziehungscurve ersetzenden Parabelschenkel gehört. Aus dem Werthe p0 für t=- 54,61 lässt sich noch er- kennen, dass die Abscissenaxe in dem um (-54,61) vom Ursprung abliegenden Punkte vom unteren Parabelschenkel durchschnitten wird, der sodann unter dieser Axe verbleibt. Es gibt daher die zweite Formel zu Temperaturen (als Abscissen), welche unter - 54,61° Cels. liegen, negative Drücke (als Ordinaten), was natürlich wieder nicht den obwaltenden Verhältnissen entspricht. Aus derselben Formel werden für t = n = 21,19° Cels. über- steigende positive Temperaturen (als Abscissen) keine möglichen (reellen) Ordinaten mehr erhalten, weil dann, wie Fig. 7 zeigt, der Scheitel O, der Parabel bereits überschritten ist. Das negative Zeichen des der Constanten a entsprechenden Zahlen- werthes (-54,6...) lässt überdies erkennen, dass die Parabel ihre Ordinatenaxe unter dem Ursprung schneidet, was auch aus Fig. 6 ersichtlich ist, in welcher, wie es ja eigentlich sein soll, die Tempera- turen als Ordinaten erscheinen. In der Praxis finden empirische Formeln von der bekannten Form y = a + bx + cx2 sehr häufig Verwendung, weil die denselben ent- sprechenden Parabeln sich in vielen Fällen als geeigneter Ersatz für die nach unbekannten Gesetzen verlaufenden Beziehungscurven erweisen. Es gewährt nun oft Nutzen, sich nach dem kurz Vorhergehenden durch eine Betrachtung und mühelose Untersuchung der Constanten einer vorliegenden derartigen empirischen Formel eine annähernde Vor- stellung von der Gestalt und Lage der entsprechenden Parabel und dadurch auch eine solche von der durch letztere ersetzten Be- ziehungscurve verschaffen zu können. Einer Erörterung würde noch der Umstand bedürfen, dass aus leicht begreiflichen Raumersparungs-Rücksichten in den Figuren die Temperaturen und Drücke auf den Coordinatenaxen nach verschiedenen Maassstäben aufgetragen wurden. I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 67 Durch die Benützung verschiedener Maassstäbe erleiden die Figuren immerhin eine Verzerrung, indem sie eigentlich jene Ansichten zur Darstellung bringen, welche die richtigen Figuren darböten, wenn die- selben um eine der beiden Coordinatenaxen, welche den einen der gleichen Maassstäbe trägt, so lange gedreht würden, bis der auf der anderen Axe liegende Maassstab im entsprechenden Verhältniss ver- kleinert erscheint. Da aber die Projection einer Geraden wieder eine Gerade, die der Parabel wieder eine Parabel ist, so wird an dem Wesen der Figuren nichts geändert, und es kann die wahre Gestalt der letzteren leicht für den anderweitig erzielten Vortheil geopfert werden. Die Aufstellung der dreigliedrigen empirischen Formeln von be- kannter Form wurde im Vorstehenden in besonders ausführlicher Weise behandelt, weil derartige Formeln bei noch verhältnissmässig geringem Müheaufwand sehr oft zum gewünschten Ziele führen und in Folge dessen, wie schon erwähnt, häufige Verwendung in der Praxis finden. Sollte es sich aber in einem vorliegenden Falle zeigen, dass die auf Grund der Versuchswerthe: Jx1 โห่ JX2 โน. X3 โปร Jxn Lyn zwischen den Veränderlichen (x und y) bestehende Beziehung nicht mit dem gewünschten Genauigkeitsgrade durch eine dreigliedrige Formel zum Ausdruck gebracht werden könnte, so bliebe vorläufig nichts Anderes übrig, als auf eine viergliedrige von der Form: überzugehen. y= a + bx + cx² + dx³ Nimmt man nun an, dass die Anzahl (n) der vorhandenen Ver- suchswerthe die der Constanten (4) übersteigt, so sind letztere wieder am besten nach der Methode der kleinsten Quadrate, also aus den be- kannten Normalgleichungen zu berechnen, welche für den vorliegenden Fall offenbar lauten, wie folgt: Σω =an +b⋅ Σ(x)+c⋅ Σ(x²) + d⋅ Z(x³) ya)=@Σ@)+ Σ@*)+Σ) +a. Σ (*) yxa (x+b⋅ Z(x)+c. Σ(x)+d(x) ya+b⋅ Z(x)+e. 2(x)+d. (a) und nach den Seiten 28 und 30 in bekannter Weise auch unmittelbar 5* 68 I. Die Aufstellung empiris cher Formeln nach willkürlicher Form. aus den Bedingungsgleichungen abgeleitet werden könnten, die sich aus den Versuchswerthen ergeben. Man gelangt dann endlich zur gewünschten speciellen Formel durch das Einsetzen der aus den Normalgleichungen erhaltenen Werthe der Constanten in die allgemeine Formel. Es wird auch hier. zum besseren Verständiss der Sache beitragen, wenn man die geometrische Bedeutung der vorstehenden Gleichung, von der vorläufig nur gesagt werden kann, dass sie einer Curve dritten Grades entspricht, näher kennen zu lernen sucht. Um nun auf möglichst einfache Art einen Aufschluss über die Gestalt und Lage der bezüglichen Curve zu erhalten, dürfte es zweck- mässig sein, eine Vereinfachung der sich auf irgend ein Coordinaten- system beziehenden Curvengleichung durch eine Transformation der Coordinaten anzustreben, nämlich dadurch, dass man die Curve auf ein neues, möglichst zweckmässig gewähltes System bezieht. Geht man, wie dies schon früher einmal geschah, vom System 10, I der Figur 2 (siehe S. 51) auf jenes IIO, II über, so hat mạn nur wieder statt x und y beziehungsweise die Werthe (x+m) und (y+n) zu setzen, um aus der auf das System IO,I bezogenen Gleichung: y = a + bx + cx² + dx³ die auf das System IIO,II bezogene zu erhalten, welche dann lautet: (y + n) = a + b (m + x) + c (m + x)² + d(m + x)³, sowie nach der Ausführung der angezeigten Operationen und dem Ordnen nach x auch in folgender Form geschrieben werden kann: y=(a+bm + cm² + dm³ — n) + (b + 2cm + 3dm²)⋅ x+ +(c+3dm) · x² + dx³. Wählt man jetzt, nachdem diesfalls noch keine näheren Bestim- mungen getroffen wurden, die Lage des neuen Systemes so, dass: c+3dm =0 und (a + bm + cm² + dm³ — n) = 0 werden, was offenbar folgende Werthe für die Coordinaten des Ur- sprunges vom neuen Systeme IIO,II in Bezug auf das alte bedingt: C m = und na- - 3 d 9bcd-2c3 27d2 so geht die auf das neue System bezogene Gleichung in: oder y C2 = (b − c ) . x + dx³ - . х y=α x + B⋅ x³ I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 69 über, wenn man der Einfachheit halber die constanten Werthe: (b - 04) und d 3d. beziehungsweise gleich a und ẞ setzt. Es wurde somit thatsächlich durch die Transformation der Coor- dinaten eine wesentliche Vereinfachung der Gleichung erzielt, so dass jetzt entschieden leichter wie früher eine Untersuchung in Bezug auf Gestalt und Lage der Curve gepflogen werden kann. Da für x=0 aus yax+6x³ nur y = 0 folgt, so ist zu ersehen, dass die Curve immer durch den Ursprung geht und die Or- dinatenaxe nur in diesem einen Punkte schneidet. Für irgend einen, vorläufig ganz willkürlich gewählten Werth von x, also z. B. für xw wird: oder y= α⋅ (+w) + B (±w)³ = + aw + ẞw³ = + (aw + Bw³) y = + w (a + B. w²), woraus sich erkennen lässt, dass zu numerisch gleichen, doch dem Zeichen nach verschiedenen Werthen (w) der Abscissen, der Grösse nach gleiche, dem Zeichen nach verschiedene Werthe [+w(a + B・ w²)] der Ordinaten y gehören, welche mit x resp. w ins Unendliche zu wachsen vermögen. Man kann daher bereits behaupten, dass die fragliche Curve aus zwei im Ursprung zusammenstossenden, sich zu beiden Seiten der Ordinaten- axe ins Unendliche erstreckenden, gleichgestalteten, doch verkehrt symme- trisch liegenden Aesten besteht. - — Ob dabei die Curve, von der bereits bekannt ist, dass sie die Ordinatenaxe nur im Ur- also jedenfalls auch die Abscissenaxe sprunge schneidet, letztere auch noch in anderen Punkten zu schneiden vermag, dies wird sich ergeben, wenn man untersucht, in welchen Punkten etwa die Ordinaten Null zu werden vermögen. Setzt man zu diesem Zwecke in y+w (a + Bw2) das y = 0, so folgt, dass in jenen Punkten die Ordinaten (y) gleich Null werden, resp. die Abscissenaxe geschnitten wird, deren Abscissen werthe w der Gleichung 0=+w (a + Bw²) genügen. Da aber dieser Gleichung ebensowohl entsprochen wird, wenn w=0 oder (a + Bw2)=0 ist, und in dem aus letzterer Gleichung α folgenden Werthe w= +V der imaginäre Werth verschwindet, wenn a und ẞ verschiedene Zeichen besitzen, so unterliegt es keinem Zweifel, dass die Curve im Allgemeinen die Abscissenaxe in drei 70' I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Punkten zu schneiden vermag, deren Abscissen (x=w) die folgenden Werthe besitzen: V α x = 0, x = + √ = und β und x2 - α Es ist dann einer der Punkte der Ursprung, während die zwei anderen in gleichen Abständen zu beiden Seiten desselben liegen. Dieses Ergebniss stimmt mit dem allgemeinen Satze überein, dass die einer Gleichung vom nten Grade entsprechende Curve von einer Geraden höchstens in n Punkten geschnitten werden kann. Da die vorliegende Gleichung in Bezug auf x vom dritten Grade ist, so vermag die x-Axe als Gerade die besprochene Curve höchstens in drei Punkten zu schneiden. Um nun aus den speciellen Werthen der Constanten (a, b, c und d) einer in der ursprünglichen Form (y = a + bx + cx² + dx³) ge- gebenen (speciellen) Formel erkennen zu können, ob die Curve von der Abscissenaxe (des zweiten Systemes) nur im Ursprung oder auch noch in den beiden anderen Punkten geschnitten wird, hat man sich vorerst zu entsinnen, dass nach früher: α = b - C2 3d und ẞ= d sind, und dann zu untersuchen, welches Zeichen der Werth: c² α= b 3d annimmt, wenn d positiv oder negativ, also wäre. B=+d Für diesen Werth von ß wird: α=b - C2 3(土​) C2 1 b F 3 d' also a immer dann ein (F) Werth, wenn b einen (F) Werth besitzt, oder wenn b einen (+) Werth vorstellt und gleichzeitig b< 3 d ist. Es wird somit die Curve von der Abscissenaxe nur dann in drei Punkten geschnitten, wenn nach der schon einmal benützten ver- einfachten Schreibweise: 1) (+d, b) oder 2) (±d, + b) C2 3 d und überdies der Zahl nach b< ist. In allen übrigen Fällen geht die Curve nur durch den Ursprung, ohne irgend eine Axe noch weiter zu schneiden. I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 71 In Fig. 8 sind die wesentlichsten charakteristischen Formen, deren die Curve fähig ist, dargestellt und lassen selbe als besonders charakteristisches Merk- mal die Existenz eines in den Ursprung O₂ fallen- den Wendepunktes erken- nen, nämlich eines Punktes, in welchem die Curve aus der Concavität in die Con- vexität, oder umgekehrt übergeht. Gienge man jetzt auf die allgemeine, nämlich auf das System 10,1 be- zogene Gleichung: K y= a + bx + cx² + dx³ I Fig. 8. II II II y Y II II II X II zurück, so liessen sich (ähnlich wie bei der drei- y y gliederigen Formel) aus den Zahlenwerthen und Zeichen der in ihr erscheinenden Constanten mannigfache Schlüsse ziehen in Bezug auf die Punkte, in denen die Axen des Systemes 10,1 von der Curve geschnitten werden, dann in Bezug auf die Lage des Wendepunktes in den verschiedenen Quadranten dieses Systems u. s. w. Ohne weiter hierauf eingehen zu wollen, möge beispielsweise nur bemerkt werden, dass für x = 0, y = a, also die Ordinatenaxe des Systemes 10,I im Abstande a vom Ursprung 0, geschnitten wird. Sollte in einem bestimmten Falle auch die zuletzt besprochene viergliedrige (also vier Constante enthaltende) Formel nicht ent- sprechen, so könnte man immerhin auf eine analog geformte fünf-, sechs- oder mehrgliedrigere übergehen, deren Constante sodann in einer dem Vorhergehenden entsprechenden und analogen Weise zu berechnen wären. Man pflegt dies jedoch selten zu thun, weil dann nicht blos die Aufstellung der Formel, resp. die Berechnung ihrer Constanten, sehr umständlich und zeitraubend, sondern, was besonders in die Wag- schale fällt, die Formel selbst beim Gebrauch bereits unbequem wird. Es bleibt in diesem Falle nichts anderes übrig, als auf eine andere später zu besprechende Art den Zweck womöglich besser erreichen zu suchen. Alle in der allgemeinen Gleichung: y = a + bx + cx² + dx³ + ex²+... 72 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. eingeschlossenen Curven werden, unabhängig von der Anzahl der Formel- glieder, mit dem gemeinsamen Namen der parabolischer Curven belegt. Es ist daher die der zuletzt besprochenen viergliedrigen Formel: y= a + bx + cx² + dx³ entsprechende Curve als parabolische Curve dritten Grades zu bezeichnen, und ist bisher behandelt worden: die Aufstellung empirischer Formeln mittelst parabolischer Curven. Zeichnet man nun vor der Aufstellung der empirischen Formel die Beziehungscurve, wie sich selbe aus den Versuchswerthen ergibt, so wird man oft aus ihrer Gestalt und der Lage, welche sie im Coordinatensysteme einnimmt, annähernd richtig beurtheilen können, welche der parabolischen Curven sie etwa zu ersetzen vermag. Es werden nämlich in den meisten Fällen mit hinreichender Ge- nauigkeit ersetzt werden können: 1) flache Beziehungscurven mit oder ohne Wendepunkt durch eine Gerade, deren Gleichung bekanntlich y= a + bx ist; 2) stärker gekrümmte Beziehungscurven ohne Wendepunkt durch ein Stück einer Parabel, deren Axe der Ordinatenaxe parallel läuft. Die Gleichung derselben ist bekanntlich: y = a + bx + cx²; 3) stärker gekrümmte Beziehungscurven mit Einem Wendepunkt durch ein Stück einer parabolischen Curve dritten Grades, deren Gleichung bekanntlich: y = a + bx + cx²+ das ist. Da nun in den meisten Fällen die Beziehungscurve eine mehr weniger gekrümmte Curve ist, welche keinen oder höchstens einen Wendepunkt besitzt, so findet man zumeist das Auslangen mit Gleich- ungen, welche den dritten Grad nicht überschreiten. Dass es aber doch auch Fälle gibt, in welchen, trotz scheinbar sehr günstigen Aussehens der Beziehungscurve, dieselbe nicht, wie es zu erwarten stand, durch eine einfachere parabolische Curve ersetzt werden kann, dies wird folgendes Beispiel zeigen. Es soll aus nachstehenden, von Magnus in Bezug auf die Spann- kraft (s) des Wasserdampfes bei verschiedenen Temperaturen (t) ge- fundenen Versuchswerthepaaren: Grade Cels. ft₁ = 0,00 t₂ = 23,85 Millim. = 4,525' (s₂ = 22,24' Grade Cels. [t₁ = 91,34 Millim. ft S4 18₁ = 553,03' S (t = 52,12 (s, = 101,40' [ts = 100,87 185 S5 779,73 - I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 73 eine empirische Formel im Allgemeinen nach der Form: y = a + bx + cx² + dx³ + · aufgestellt werden, welche die Abhängigkeit der Spannkraft (s) des Wasserdampfes von der Temperatur (t) innerhalb des aus der Ver- suchsreihe ersichtlichen Temperaturintervalles von 0 bis 100° Celsius darstellt. Construirt man jetzt, wie dies Fig. 9 zeigt, aus den vorstehenden Versuchswerthen die Beziehungscurve (d. i. die vollgezogene Curve), um sich über die Gestalt derselben zu orientiren, so findet man, dass selbe einer nach aufwärts gewendeten Parabel sehr ähnlich sieht, und wird demnach vermuthen, dass eine Para- bel im Stande sein dürfte, befriedigend die Beziehungscurve zu vertreten. Stellt man demnach entsprechend der von früher her bekannten Parabel- gleichung: y = a + bx + cx2 die empirische Formel: s=a+bt+ct² auf, so hat man, da aus den Ver- suchswerthen mehr Bedingungsgleich- ungen (5) abgeleitet werden können, als in der Formel Constante (3) er- scheinen, die letzteren am besten nach der Methode der kleinsten Quadrate, also aus folgenden Nor- malgleichungen zu berechnen: t- 800 Fig. 9. 750 700 650 600 M 550 500- 450 400 350 300 250 200 150 100 M M 50 M M M 10 -50 20 M2 S M M 30 40 50 60 70 80 90 100 t Σ(6) =an +b⋅ Σ(t) + c. Σ Σ(6-1) = α. •Σ(t) + b · Σ(t) + c · Σ(t) Σ(s) = α Σ (t²) + b⋅ Σ(t³) + c· Σ(t¹). Es ergeben sich jetzt aus den Versuchswerthen folgende specielle Zahlenwerthe für die in diesen Gleichungen enthaltenen Grössen und Symbole: n=5, (t) = 268,18, (t) = 1943527,05136, Σ(ι) = 21803,0694, () = 180834154,41745458, 74 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. und Σ) = 1460,925, Σ 6. t) = 134980,5173 (st) = 12835593,198865, mithin die Zahlengleichungen: 1460,925000 = 5,0000 a + + • 268,18000 b+ 21803,06940000c, . 134980,517300 = 268,1800 a + 21803,06940-b+ + 1943527,05136000c, 12835593,198865=21803,0694 a +1943527,05136.b + +180834154,41745458. c, aus denen: a = +20,794949615, b = - - 4,016664843 und c +0,111642053 = werden. Es lautet somit die empirische Formel nach Weglassung einiger jetzt überflüssiger Decimalen : +20,79495-4,0166648t+0,111642053. t² S = und gibt selbe für: t₁ = 0,00, = 23,85, 91,34, ts = 52,12, to = 100,87° Cels., als beziehungsweise zugehörig: s₁ = +20,7949, S S=585,3419, - 11,4980, Sg+114,7213, s+751,5646 mm, statt: S₁ = + 4,525, = S2 +22,2400, S₂ = +101,4000, SA =+553,0300, S5+779,7300. Unter der Annahme, dass die Versuchswerthe richtig seien, kommen den Rechnungswerthen beziehungsweise folgende Fehler zu: d₁ = +16,2699, 82 deren algebraische Summe: beträgt. = = - - 33,7380, d = +13,3213, 432,3119, 85 მუ - 28,1654, Σ(d) = d₁ + d₂ + d½ + d₁ + d½ = − 0,0003 - Der Umstand, dass die Fehlersumme nahezu Null wurde, kann als Bürgschaft dafür angesehen werden, dass die weitläufigen Rech- nungen, welche die Aufsuchung der Constanten erforderte, fehlerlos durchgeführt wurden. Die bedeutende Grösse der einzelnen Fehler hingegen beweist, dass keine Parabel von bewusster Lage (Axe parallel der Ordinatenaxe) I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 75 fähig ist, sich im vorliegenden Falle der Beziehungscurve (als Spann- kraftscurve) im gewünschten Grade anzunähern, da dies selbst die geeignetste, nämlich jene, welche unter Zuhilfenahme der Ausgleichs- rechnung erhalten wurde, nicht zu thun vermag. Die Betrachtung der Fig. 9, in welcher die Spannkraftskurve voll, die Parabel hingegen unterbrochen gezogen erscheint, gestattet zu er- kennen, warum dies der Fall ist, warum man also in den gehegten Erwartungen getäuscht wurde. Der Umstand, dass die Spannkraftscurve einen steil aufsteigenden Ast besitzt, hat zur Folge, dass sich zwischen den Ordinaten beider Curven selbst dann noch grosse Unterschiede ergeben, wenn die Curven nahe neben einander liegen. Um nun in der Fehlersumme das be- deutende Ueberwiegen der Parabelordinaten im steilen Theile der Curve auszugleichen, müssen sodann im minder steilen, der noch überdies von geringer Ausdehnung ist, die Ordinaten der Spannkraftscurve um so überwiegender werden. Wollte man, was unbedingt nöthig ist, geringere Differenzen d erhalten, so hätte man an die Stelle der Parabel irgend eine andere Curve zu setzen, welche sich der Spannkraftscurve besser anzuschliessen vermöchte, vielleicht eine parabolische Curve dritten Grades, deren Gleichung bekanntlich: y= a + bx + cx² + dx³ lautet und deren eventuelle Brauchbarkeit aber erst erwiesen werden müsste. Die parabolische Curve vierten Grades y= a + bx + cx² + dx³ + cx² würde allerdings, weil sie fünf Constante enthält, die fünf Versuchs- werthe genau wiederzugeben vermögen; sie erscheint aber aus schon angeführten Gründen unzweckmässig. Geht man aus Zeitersparungsgründen einer genauen Untersuchung der Versuchswerthe behufs annähernder Erforschung des Abhängig- keitsgesetzes aus dem Wege, indem man eine empirische Formel nach willkürlicher Form aufzustellen sucht, so ist jetzt gar kein Grund vor- handen, die Form derselben abweichend von der bisher besprochenen (nämlich allgemein durch die Gleichung: y = a + bx + cx²+... dar- gestellten) zu wählen, da man bei der Benützung irgend einer anderen Form des Erfolges nicht sicherer ist, und bei der Aufsuchung der Con- stanten mit weit grösseren Umständlichkeiten oder Schwierigkeiten zu kämpfen haben könnte. Es ist daher der Hauptsache nach das Kapitel der Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form als abgehandelt zu be- 76 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. trachten und folgt jetzt zu demselben ein Anhang, in welchem einige mit dem Vorhergehenden im Zusammenhange stehende Fragen und Aufgaben besprochen werden. Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Jeder willkürlich gewählten, gleichgültig wie geformten empi- rischen Formel entspricht, als Gleichung zwischen zwei Veränder- lichen betrachtet, immer eine geometrische also gesetzmässig gebaute Curve, von der ein Stück berufen ist, die nach unbekanntem Gesetze verlaufende Beziehungscurve zu vertreten. Die Beziehungscurve als solche hat man als nicht gegeben zu betrachten, wohl aber sind einzelne Punkte derselben annähernd be- kannt, da ja jedem Versuchswerthepaar ein Punkt entspricht, der aber ebenso, wie die Versuchswerthe selbst, mehr weniger fehlerhaft ist. Man wird daher zu einer um so besseren Kenntniss der Be- ziehungscurve gelangen, je mehr Versuchswerthe gegeben und je fehlerloser diese sind. Würde man nun bei der Aufstellung einer empirischen Formel von den zur Verfügung stehenden Versuchswerthepaaren nur so viele berücksichtigen, als Constante in der gewählten Formelform erscheinen, so müsste die Formel offenbar die berücksichtigten Versuchswerthe genau wiedergeben, folglich die entsprechende Curve genau durch jene Punkte gehen, welche den berücksichtigten Versuchswerthepaaren ent- sprechen. Es wird daher, umgekehrt, die einer empirischen Formel ent- sprechende Curve nur durch so viele Punkte der Beziehungscurve genau hindurchzugehen vermögen, als Constante in der Formel er- scheinen. Die thatsächlich zwischen den Veränderlichen bestehende Beziehung wird um so besser durch eine gesetzmässig gebaute (mithin geome- trische) Curve dargestellt, anders gesagt, um so richtiger durch die der Curve entsprechende Formel ausgedrückt werden, je besser die bezügliche Curve mit der Beziehungscurve zusammenfällt, und je besser letztere selbst bestimmt ist, also einerseits je mehr Constante in der Formel enthalten, andererseits je mehr Versuchswerthe gegeben, über- dies je geringer die Fehler sind, welche letzteren anhaften. Enthält die nach irgend einer gewählten Form aufgestellte spe- cielle empirische Formel weniger Constante, als Versuchswerthepaare Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 77 bei der Aufstellung berücksichtiget wurden, so geht im Allgemeinen die dieser Formel entsprechende Curve durch keinen der bekannten Punkte der Beziehungscurve hindurch. Es lehrt dann die Ausgleichsrechnung von allen in der allge- meinen Formel enthaltenen speciellen Curven jene finden, die nicht nur überhaupt möglichst nahe, sondern auch möglichst gleichmässig an- genähert an den bekannten Punkten der Beziehungscurve vorübergeht. Diesem Ausspruch kann noch, allerdings nur unter gewissen Vor- aussetzungen, sowie nur in Bezug auf jene Fälle, wo nach Seite 32 ein vollständiger Fehlerausgleich erfolgt, eine sehr anschauliche Form gegeben werden. Denkt man sich die Beziehungscurve durch möglichst viele (strenge genommen unendlich viele) Versuchswerthepaare resp. Punkte gegeben, welche so beschaffen sind, dass die Ordinaten der letzteren in gleiche (unendlich kleine) Abstände von einander zu liegen kommen, so durch- schneidet die Curve, welche der aus diesen (unendlich vielen) Versuchs- werthen durch die Methode der kleinsten Quadrate abgeleiteten empi- rischen Formel entspricht, die Beziehungscurve derart, dass die zwischen beiden Curven liegenden, beiderseits durch Ordinatendifferenzen begrenzten Flächenstücke nicht nur möglichst klein, sondern noch so ausfallen, dass ihre algebraische Summe gleich Null wird. Hierbei sind die Flächenstücke mit gleichen oder verschiedenen Zeichen versehen zu denken, je nachdem sie beziehlich auf einer und derselben Seite oder auf verschiedenen Seiten einer und derselben Curve liegen. Der soeben gemachte Ausspruch findet seine Begründung in dem Umstande, dass in Folge des Ausgleiches der Fehler & sich auch die positiven und negativen, nämlich über resp. unter einer und derselben Curve liegenden Ordinatendifferenzen ausgleichen müssen. Man kann sich daher vorhanden denken zu jeder positiven Ordinatendifferenz eine gleiche negative, also auch mit Rücksicht auf die gleiche und unend- lich geringe Entfernung der Ordinaten, zu jedem positiven Flächen- element ein gleiches negatives. Es muss dann, ohne Rücksicht auf das Zeichen, nothwendig die Summe der positiven Flächenelemente gleich der Summe der negativen sein. Es ist endlich noch darauf aufmerksam zu machen, dass offenbar, je mehr Constante in einer allgemeinen Formel erscheinen, desto mehr Variationen bezüglich der Zahlenwerthe und Zeichen der Constanten zulässig sind. Mit der Anzahl dieser Variationen wächst aber nothwendig die Mannigfaltigkeit bezüglich der Form und Lage, welche auch die in der 78 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. allgemeinen Formel eingeschlossenen speciellen Curven anzunehmen vermögen. Während z. B. die nur zwei Constante enthaltende Formel: y = a + bx, welche einer Geraden entspricht, blos eine Abwechselung in der Lage der letzteren gestattet, lassen die der Gleichung: y = a + bx + cx² entsprechenden Parabeln schon eine Abwechslung in der Form, sowie bezüglich der Lage des Scheitels zu. Einer noch weit grösseren Mannigfaltigkeit der Formen sind be- kanntlich fähig: die der Gleichung y = a + bx + cx² + dx³ ent- sprechenden parabolischen Curven dritten Grades u. s. w. Da eine Curve bestimmter Gattung um so leichter im Stande sein wird, sich der Beziehungscurve anzuschmiegen, einer je grösseren Mannigfaltigkeit bezüglich der Form und Lage sie fähig ist, so folgt auch von diesem Gesichtspunkte aus, der jedoch nicht miss- zuverstehende Satz, dass im Allgemeinen mit der Zahl der Constanten die Genauigkeit der Formel wächst. Damit soll jedoch nicht gesagt sein, dass von zwei Formeln immer jene die bessere sei, welche die grössere Anzahl der Constanten enthält, sondern nur, dass eine Formel besser werde, wenn ihren Gliedern ein, eine neue Constante enthaltendes Glied beigefügt wird. Bei der Aufstellung empirischer Formeln sind öfters gewisse specielle Wünsche zu erfüllen, von denen die gewöhnlichst vorkom- menden sind: 1) Die Formel soll alle Versuchswerthe vollkommen genau zu geben vermögen, d. h. auch die der Formel entsprechende Curve soll genau durch alle jene (bekannten) Punkte der Beziehungscurve gehen, welche durch die vorliegenden Versuchswerthepaare festgestellt sind. 2) Die Formel soll nicht alle, aber doch gewisse Versuchswerthe genau zu geben vermögen, d. h. auch die der Formel entsprechende Curve soll nicht durch alle, sondern nur durch gewisse der bekannten Punkte der Beziehungscurve gehen. 3) Die Formel soll gewisse der Versuchswerthe genauer wie die anderen zu geben vermögen, d. h. auch die der Formel entsprechende Curve soll sich gewissen der bekannten Punkte der Beziehungscurve mehr wie anderen nähern. Wie diese Wünsche, wenigstens in Bezug auf die bis nun be- sprochenen Formeln erfüllt werden können, dies wird das Folgende lehren. Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 79 a) Aufstellung empirischer Formeln von der Form: y = a + bx + cx² + dx³ + ·· welche alle vorliegenden Versuchswerthe genau wiederzugeben vermögen. Es ist bekannt, dass sobald n Versuchswerthepaare gegeben sind, das vorliegende Problem durch die eben so viele, nämlich n Constante enthaltende Formel: gelöst wird. y = a + bx + cx² + dx² + ··· + px²-1 Da sich nach derselben aus den n Versuchswerthepaaren die nach- stehenden Bedingungsgleichungen aufstellen lassen: сх y₁ = a + bx₁ + cx² + dx,³ + Y1 = Y 2 a + bx 2 + cx² + dx23 + 2 3 Y₂ = a + bx Y3 + cx² + dx, ³ + . . +pan-1 + pxn−1, ... +p ... +px-1, n Yn = a + bx + cx² + dx 3+ n n n welche nur mehr die n Constanten als Unbekannte enthalten, so hat es keinen Anstand, diese ganz zweifellos durch gewöhnliche Auflösung der Gleichungen zu berechnen. Die Anwendung der Ausgleichsrechnung ist dabei ganz überflüssig, da sich sehr leicht zeigen liesse, dass dieselbe nichts anderes als die gewöhnliche Auflösung der Gleichungen zu geben vermag. Um einerseits das Gesagte zu bestätigen, andererseits eine Con- trollrechnung zu erhalten für eine gleich später zu besprechende be- quemere Rechnungsmethode, folge zunächst ein specielles Beispiel. Es ist aus den bekannten Versuchswerthepaaren: JP₁ = 2,48 JP₂ = 5,00 JP3 = 7,00 (P4-8,00 Atmosphären \t₁ = -17,8' \ t₂ =+4,2' | t₁ = + 16,3' | t+20,3 Grade Cels. eine die Atmosphärendrücke p genau wiedergebende empirische Formel aufzustellen. Dieselbe erhält offenbar die Form: p=a+bt+ct² + dt³, nach welcher sich aus den vorliegenden Versuchswerthepaaren folgende vier specielle Bedingungsgleichungen ergeben: 80 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 2,48=a+b(-17,8)+c(- 17,8)2+ d(-17,8)3 5,00= a+b+ 4,2) + c(+ 4,2)² + d(+ 4,2)3 7,00= a + b (+ 16,3) + c(+ 16,3)2 + d(+ 16,3)3 8,00= a + b(+20,3) + c(+20,3)2+ d(+20,3)3. Löst man dieselben jetzt für die Constanten a, b, c und d auf, was ziemlich umständlich ist, so werden: a = = 4,5283, b= 0,105429, c = 0,00122050, d = 0,000099041 und es lautet die Formel: • p = 4,5283 +0,105429 t + 0,00122050 +0,000099041 ť³. Dieselbe gibt, wenn die Atmosphärendrücke p nur auf vier Deci- malen berechnet werden, für: t₁ = -17,8, t₂ = +4,2, t = +16,3, t+20,3° Cels. als zugehörig: P₁ = 2,4798, P2=4,9998, p=6,9999, P4=7,9998 Atm. statt: P₁ =2,48, P2 =5,00, P3 = 7,00, P₁ = 8,00, also Werthe, welche den gehegten Wünschen und Erwartungen zu entsprechen vermögen. Man kann nun auf etwas bequemere Art direct, nämlich ohne die Bedingungsgleichungen aufstellen und lösen zu müssen, zur ge- wünschten speciellen Formel gelangen, mit Hilfe der Lagrange'schen Interpolationsformel, von welcher jetzt die Rede sein soll. Sind: Xn X1 X2 X3 bis โ y1 Y2 โys Yn die vorliegenden Paare der Versuchswerthe, ferner X und Y die beiden Veränderlichen, so kann die Frage aufgeworfen werden, ob die zwischen den letzteren zufolge der Versuchswerthe bestehende Be- ziehung nicht durch eine Gleichung von der Form: . Y=y₁fi(X, x) + Y₂f₂ (X, x) + Y3f3(X, x) + ··· + Ynfn (X, x) darstellbar ist, in der die kleinen Buchstaben Versuchswerthe, grossen die Veränderlichen, endlich: die f(x, x), f2(X, x), f(x, x) etc. bis fn (X, x). verschiedene, dermalen unbekannte Functionen der unabhängig Ver- änderlichen X, sowie der oben mit x1, x2, x3 etc. bis x, hier der Ein- fachheit wegen allgemein mit x bezeichneten Versuchswerthe bedeuten. Da nun die vorstehende Formel die Eigenschaft besitzen soll, die Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 81 Versuchswerthe y genau wiedergeben zu können, so muss offenbar, wenn die Veränderliche: X den Werth x, annimmt, aus der Formel für Y der Werth y₁, X X '" دو دو X2 X3 29 وو دو وو 19 وو دو دو 46 دو Y21 X 29 erhalten werden. Xn دو 36 Dies aber ist nur dann der Fall, wenn: für X = x₁, دو دو Yn fi(X, x) = 1, dagegen f (X, x) = fs(X, x) = = · · · aslin― fm (X, x) = = fn (X, x) = 0, = - = ... X = X2, f2(X, x) = 1, dagegen f (X, x) = f (X, x) = = fm (X, x)=... =fn (X,)=0, X = xm, fm (X, x) = 1, dagegen fi(X, x) = f (X, x) = =fm-1 (X, x)=fm+1 (X, x) = ... = fn(X,x)=0, X = xn, fn(X, x) = 1, dagegen f (X, x) = f(x, x) = = fm (X, x)=... •=f_(X,®) =0 werden. Bedenkt man jetzt, dass diesen Gleichungen zufolge jede der all- gemein durch fm (X, x) dargestellten Functionen die Eigenschaft besitzen muss, nur für X =xm gleich 1, für alle übrigen von x bekannten Werthe aber Null zu werden, so ist es nicht allzuschwer, auf die Form zu gelangen, in welche die Functionen gebracht werden müssen, damit sie den gestellten Bedingungen entsprechen. Wird nämlich: - - fm(X, x)=C.(X — x₁) (X — x₂) (X — xg) ... - X(X-Xm-1) Xm-1) (X — Xm+1) XX(X-Xn) gesetzt, wo der Factor (X-xm) absichtlich weggelassen ist und C eine erst später zu bestimmende Constante bedeutet, so besitzt dieser Ausdruck vorläufig schon die. Eigenschaft, für alle folgenden Werthe von X, das ist für: X=x₁, X=X2, X=x, etc., dann X-Xm-1, X-Xm+1 etc. bis X-Xn (also mit alleiniger Ausnahme von X = xm) Null zu werden. Da der vorstehende Ausdruck aber für X =m gleich 1 werden soll, so muss: 7 Willosco Steinhauser, empirische Formeln. 6 82 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 1=C.(xmx₁) (xm — X2) (Xm - Xg) ... (xmxm-1) x also: (xm — Xm+1) X . (xm — Xn), 1 - -- xn) (Xm−X₁) (Xm−X2)(Xm¯x3)... (xmxm—1)(xmXm+1)...(xm—xn)' C= folglich: fm(X,x)= werden. — (x − x₁)(x − x₂) (X — x3)... (X (X — x3)... (X — xm-1) (X — Xm+1)... (X — x, (xm−X₁) (Xm−x2) (Xxm¯x3)... (xm-xm−1)(xm—Xm+1) — Xm+1)· · · (xmx, Setzt man nun der Reihe nach für m die Zahlen 1, 2, 3 etc. bis n, so erhält man die den Functionen f (X, x) beziehungsweise f2 (X, x), fs (X, x) etc. bis fn (X, x) zukommenden Werthe, und durch Substitution derselben in die Gleichung: Y= y₁fi (X, x) + Y₂f2 (X, x) + Ysfs (X, x) + ··· + Ynfn (X, x) ... die nachstehende Formel, in der statt der jetzt überflüssig gewordenen grossen Buchstaben die gleichnamigen kleinen erscheinen: -- х (x-x) (x-x) (xx)... (x-x-1) (xx) - - х - - (x1 x2) (x1-x) (x − x₁)... (x − xn−1)(x1 — Xn) х n- n- х y = y₁ (x-x) (x-x) (xx) (x-x1)(xx) ... +y2' (x2-x1)(x2-x3) (x2 - (x-xn−1)(x-xn) +Y3 - - 3 - n- x4)... (x2-x-1) (X2 — Xn) (1—"x — x) (ε—²x — x)... (xx) (xx) (x-x) x) (xx) (x - x) ('x - x) + + + +Yn - (xn−X1)(xn−X2)(xn−X3)... (Xnxn−2) (xn−Xn−1) ဆ) Die Betrachtung dieser Formel lässt sehr leicht das Gesetz er- kennen, nach welchem sie gebildet ist. Es fehlt ebensowohl im Zähler wie im Nenner eines jeden Bruches immer jene Differenz, welche jenes x als Subtrahend enthalten würde, das zu dem dem jeweiligen Bruche vorstehenden y gehört. Die Formel erfüllt thatsächlich die gestellte Bedingung, da sie, sobald für x der Reihe nach x1, x2, x3 etc. bis xn gesetzt wird, als zugehörig beziehungsweise y1, 2, ys etc. bis yn für y gibt. Die genaue Betrachtung der in der Lagrange'schen Formel vor- kommenden Brüche lehrt, dass jeder der Zähler aus (n - 1) Factoren besteht, deren jeder die unabhängig Veränderliche x in der ersten Potenz enthält, während die (n - 1) Factoren der verschiedenen Nenner nur den Versuchswerthepaaren entnommene specielle Werthe enthalten. Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form 83 Denkt man sich nun die Producte der Factoren in den Zählern entwickelt, so stellt offenbar jedes derselben in Bezug auf x (wenn die constanten Zahlenwerthe der Reihe nach mit a, b, c etc. bis p be- zeichnet werden) ein vollständiges und geordnetes Polynom: a + bx + cx² + dx³ + ··· +p.x-1. vom (n-1)ten Grade dar, während die Producte in den Nennern, als bekannte specielle Zahlenwerthe N anzusehen sind. Es nimmt dann die Lagrange'sche Formel die Form: y = yı + y2 + + Yn an, welche, da a₁ + b₁ x + c₁ x² + d₁ x² + N₁ a 2 + b 2 x + c q x² + d₂ x³ + N a n + b n x + c n x² + d₁₂ x² + Y1 Y2 N' N₂ n N n Y n etc. bis N n + • + P₂ x²-1 + + + P₁xn-1 ja auch bekannte, also constante Werthe sind, die allenfalls mit C1, C2,... bis Cn bezeichnet werden können, in: übergeht. y = С₁ (α₁ + b₁x + c₁x² + d₁x³ + ··· + P₁ x²-1) + ... + C₂ (α₂ + b₂ x + C₂ x² + d₂ x³ + ··· + Þ²x²−¹) + +. + Cn (an + bn x + Сn x² + d₂x³ + ··· + Pnxn−1) ... + Führt man jetzt noch die angezeigten Multiplicationen aus, um alle Glieder, welche die gleichnamigen Potenzen von x enthalten, zu- sammenfassen zu können, so nimmt die Formel endlich die Form: y = A + Bx + Сx² + Dx³ + ··· + Pan-1 an, worin die Constanten A, B, C etc. bis P die constanten Coeffi- cienten der einzelnen Glieder bedeuten. Es entspricht somit der n Versuchswerthe genau wiedergebenden Lagrange'schen Interpolationsformel eine parabolische Curve vom (n-1)ten Grade. Der Umstand, dass bei der Aufstellung einer empirischen Formel nach der Interpolationsformel die Constanten der Hauptsache nach aus Differenzen zu berechnen sind, denen dann relativ kleine Zahlen entsprechen, ist die Ursache einer theilweisen Erleichterung der Rech- nung. 6* 84 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form Der Gang der letzteren wird sich aus folgendem Beispiel ergeben. Aus den bekannten Versuchswerthepaaren: Jy₁ =P₁ = 2,48 (Y1-P1- \x₁ = t₁ = -17,8' 1 =P3= 7,00 xg = tg = 16,3' xg=ts + Y2 = P2 = 5,00 x₂ = t₂ = +4,2' 1 Y4P4= 8,00 x t₁ = +20,3 = ist nach der Lagrange'schen Interpolationsformel eine, die in der Ver- suchsreihe erscheinenden Atmosphärendrücke p genau wiedergebende empirische Formel aufzustellen. Schreibt man statt y und x resp. p und t, so wird nach dem Einsetzen der nun bekannten Zahlenwerthe in die Interpolationsformel: - • (t - 4,2). (t 16,3) (t-20,3) (-17,8-4,2) (-17,8-16,3) (→ 17,8 + 20,3) p = 2,48. - + 5,00. (t + 17,8). (t 16,3) (t20,3) (4,217,8) (4,216,3) (4,2—20,3) . • +7,00. + 8,00. • (t+17,8) (t- 4,2). (t― 20,3) (16,317,8) (16,3 4,2) (16,320,3) · • (t+17,8) (t-4,2) (t 16,3) • - - (20,317,8) (20,3 4,2). (20,3 16,3) + + Nach der Entwicklung der Producte in den Zählern und Nennern wird: p=2,48. (t340,8 t²+484,61 t 1389,738) · - -28582,62 -- +5,00. (13-18,8.12 — 320,59·t+5889,842) - +4285,82 + + + 7,00. (t³ — 6,7 · t² - 350,84t+1517,628) + — 1650,44 · + 8,00. (t3-2,7 t2-296,44 t +1218,588) . +2453,64 und wenn noch die Divisionen ausgeführt werden: p = = 0,000086766. (t³- 40,8 t² + 484,61 t - 1389,738) + 18,8 t² 320,59 t +5889,842) - +0,001166638 (t³ — 18,8 t² - 0,004241293 (t- . - +0,003260462 (t³ - • --- - 6,7 t2-350,84t+ 1517,628) + 2,7 t² - 296,44 t + 1218,588). Fasst man nach der Ausführung der angezeigten Multiplicationen sämmtliche Glieder, welche gleiche Potenzen von t enthalten, in je eine Gruppe zusammen, so ergibt sich nach erfolgter Reduction die Formel: p = 4,5283 +0,10543t+ 0,0012205 t²+0,00009904. t³, welche mit der nach anderer Methode erhaltenen und auf Seite 80 angeführten in ganz befriedigender Weise übereinstimmt. Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 85 Würde man in die Interpolationsformel für die verschiedenen y und x statt der in der Versuchsreihe vorkommenden Drücke resp. Temperaturen die Temperaturen resp. Drücke eingesetzt haben, so wäre offenbar die Formel: t = a + Bp + vp² + dp³ erhalten worden, welche sich insbesonders zur Berechnung der zu ge- wissen Drücken p gehörigen Temperaturen t eignet. So wie obige empirische, zugleich Lagrange'sche Formel, zur Berechnung von Atmosphärendrücken verwendet werden kann, welche zwischen den in der Versuchsreihe erscheinenden liegen, so kann all- gemein eine jede derartige Formel zur Einschaltung oder Interpolation von Gliedern zwischen bekannten Gliedern einer nach unbekanntem Gesetze fortschreitenden Reihe Verwendung finden, daher mit Recht als Interpolationsformel bezeichnet werden. b) Aufstellung empirischer Formeln von der Form: y = a + bx + cx² + dx³ +..., welche nicht alle, sondern nur gewisse Versuchswerthe genau wiederzugeben vermögen. Man verlangt in manchen Fällen von einer empirischen Formel die genaue Wiedergabe eines gewissen Versuchswerthes und zwar aus einem der folgenden Gründe: 1) Weil dadurch die Formel leicht in eine Form gebracht werden kann, aus welcher sich ohne weitere Erklärung die genaue Bedeutung der Formel ergibt. So bedarf z. B. die zur Berechnung der Spannkraft des Wasser- dampfes bei verschiedenen Temperaturen geeignete Formel: = {1+0,007153 (t - 100)}5 keiner weiteren Erklärung, da aus derselben, weil für t = 100, e = 1 wird, leicht entnommen werden kann, dass für in Graden Celsius aus- gedrückte Temperaturen t die Spannkräfte in Atmosphären resultiren. Würde sich eine einer parabolischen Curve entsprechende Gleichung überhaupt dazu eignen, als empirische Formel für die Spannkraft des Wasserdampfes zu dienen, so wäre es z. B. zweckmässig, derselben die Form: S = 760+ b (t-100) + c (t 100)² + zu geben, da man dann allsogleich erkennt, dass die Temperaturen in Graden Celsius einzuführen, die Spannkräfte in Millimetern zu entnehmen sind, weil für t = 100 offenbar s= 760 Millimeter wird. 86 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Es existiren diesfalls Formeln, in welche die Temperaturen nach Graden Celsius, Réaumur oder Fahrenheit einzusetzen sind, aus denen aber die Spannkräfte in Atmosphären oder in Millimetern, Pariser Zollen etc. erhalten werden, bei welchen demnach eine diesbezügliche Erklärung beigefügt sein muss, sofern sich nicht unmittelbar und leicht ein Aufschluss aus der Formel selbst ergibt. 2) Weil der betreffende Werth der Natur der Sache nach als fehlerlos anzusehen ist. So besitzt beispielsweise der Wasserdampf bei 100° C. eine Spannkraft von 760 mm (oder von einer Atmosphäre), welche nicht fehlerhaft sein kann, da ja umgekehrt jene Temperatur mit 100° C. bezeichnet wird, bei welcher das Wasser unter dem Drucke von 760 mm (oder einer Atmosphäre) siedet. Es möge jetzt an die Lösung der Aufgabe geschritten werden. Sind: У1 92 93 " X2 X3 Jyn Yn Xn die Versuchswerthepaare, aus denen eine empirische Formel nach der Form: y = a + bx + cx² + dx³ +... X1 aufgestellt werden soll, welche für x = x, das y=y, gibt, so empfiehlt es sich, derselben vorerst die Form: — — - y = y₁ + B (x − x₁) + v (x − x₁)² + d (x − x₁)³ +. zu geben, die ja, wie ersichtlich, thatsächlich für x = x, das y = y₁ gibt und ohne Zweifel auf die gewünschte Form dadurch gebracht werden kann, dass man die Klammern beseitigt und die gleichartigen Grössen reducirt. Stellt man, um in bekannter Weise die Normalgleichungen ab- leiten zu können, nach der vorläufig gewählten Form aus den Versuchs- werthepaaren die Bedingungsgleichungen auf, so lauten selbe: - -- 1 δ Y₁ = Y₁ + B (x₁ — x₁) + (x₁ — x₁)² + § (∞₁ − ∞₁)³ + ··· Y₂ = Y₁ + B (x2 — X₁) + 7 (X2 — X₁)² + 8 (X2 — x₁)³ + ··· Y3 = Y1 + ẞ (X3 — X₁) + — Yny₁+B (x-x₁) + oder auch: Y₁ - Y₁ = ẞ (x₁ — x₁) + Y2 - Y1 = ẞ (x2 - X₁) + • -- Y3 — Y₁ = ẞ (x3 — X1) + - 7 (X3 — X₁)² + d (x — x₁)³ + · — (xnx₁)² + 8 (x, x₁) +... - — - y (x₁ — x₁)² + § (x₁ − x₁₂)³ + ... y (x − x₁)² + d (x2 − x₁)³ + - δ — (xg — x1)² + § (x − x₁)³ +... - — Yn - Y₁ = ẞ (xn− x1) + V (xn− x₁)² + d (xn− x₁)³ + und die Normalgleichungen: Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 87 Σ{(y-y₁) (x − x1)} — -B⋅ Z(x-x)²+vΣ(x − x)³ +8. Z(x − x₁)² + · · ·, — Σ((y-y₁) (x − x,)²)= — - -B.(x-x)+· Z(xx) +8. Z(xx)+···, - - {(yy₁) (xx)³} = = - B⋅ Σ(x − x,)²+v ·Σ(x − x,)³ + d · Σ(x − x,)º + — --- Man gelangt jetzt zur ersten speciellen Formel, wenn man die aus den Normalgleichungen berechneten Werthe der Constanten B, 7, 8 etc. in die allgemeine Formel: setzt. y = y₁ + B (x − x₁) + y (x − x₁)² + § (x − x₁)³ + ... - Führt man hierauf die angezeigten Operationen aus, so wird nach dem Zusammenfassen der gleichartigen Glieder: - 3 y = (y₁ —ẞ x₁ + xx₁² - dx₁³ + · · ·)+(B-2yx₁ +38x² + ...).x + . .. +(-38x₁+ · · ·) · x² + (8 + · · ·) · x³ + · · ·, . und ergeben sich für die Constanten der zweiten speciellen Formel, welche die Form: y= a + bx + cx² + dx³ +... besitzt, folgende Werthe: a C = (y₁ - ẞx₁ +7x₁2 - 8x3+...), b=(B-2yx, +38 x₁² + ...), (2 38x₁+), d=8+... etc. - Zu diesem Uebergang von der ersten auf die zweite Formel ist in den wenigsten Fällen ein Anlass vorhanden, da ja die erste den Vortheil gewährt, allsogleich erkennen zu lassen, dass für x=x, das y = y₁ wird. Folgendes Beispiel wird die Sache noch besser erläutern. Man fand folgende Dichtigkeiten (d) der hochconcentrirten Schwefel- säure bei 15° C. und nachstehendem in Procenten (p) ausgedrückten Säuregehalt: - [P₂ = 92,83 = [P₁ = 90,20 JP3 95,97 JP4 [P₁ = 100,00 \d₁ = 1,819'da 1,833' ds = 1,841' d = 1,838. = Es ist zum Zwecke der Berechnung einer Tabelle innerhalb der Versuchsgrenzen eine empirische Formel nach der Form: - y = a + bx + cx2 oder y = y + B (x − x₁) + v(x — x4)² beziehungsweise: 88 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. - d = a + bp + cp2 oder d=d4 + B (p − P₁) + v (p − P₁)² aufzustellen, welche den vierten Versuchswerth genau wiedergibt, damit aus der Formel entnommen werden kann, welche Dichtigkeit der 100- procentigen Säure zugeschrieben ist. Bleibt man vorläufig bei der zweiten Form, so ergeben sich nach- stehende allgemeine Bedingungsgleichungen: oder: dd₁ + B (P₁Ps) + 7 (P₁ - P₁)³, = d₂ = d₁ + B (P₂ - P₁) + Y (P2 - P4)², ds = d₁ + ẞ (ps — P4)+7 (P3 P4)², dsds + B (P₁ - P₁) + 7 (P₁ — P₁)", - V d₁ d₁ = ẞ (P₁ - P₁) + (P₁ — P₁)², dą - d₁ = ẞ (P₂-Ps) + 7 (P2 - PA)², B d3d₁ = ẞ (P3-P₁) + 7 (Ps - P4), dsds B (P₁P4)+(PAP₁)², = also die Normalgleichungen: — - Σ{(d—ds) (p − Ps)} = ßΣ(p − P₁)² + vΣ(PP)³, Da nun: -- - ((dd) (pp)²) BZ(P-PA) +? (P—Ps)'. = - - {(dd) (PPs)}(d₁da) (P₁-Ps) + (d₂ — da) (P₂ — Pa) + - - + (d-ds) (P3-P₁) + (dads) (PAPA) +0,20996, -- Σ(p − P₁)² = (P₁ — P₁)² + (P₂ − P₁)² + (Ps -- 51 +(P₁ → P4)² = + 163,6898, - - − P₁)² + ad notaginow ob di (PPA) = (P₁ - P₁)³ + (P₂ — P₁)³ + (Ps — P₁)³ +380 - +(P₁ — P₁)³ = 1375,244640, eth haiw loigeted proplo - - (PP)-(P-P₁) + (P₂ — P₁)' + (Ps - P₁)' + + (P₁ - P₁)¹ = +12130,32343202, I red san Ledsgout& ((d-d) (p-p.)-(d,d.) (P₁-Ps)+(d₂-da) (P₂-P₁)² + - - = + (ds — ds) (Ps — Ps)² + (ds — ds) (P₁ — P₁)² — — 2,0330818 sind, so resultiren folgende specielle Normalgleichungen: + 0,2099600+ 163,68980 p 1375,244640007, 1375,24464 ẞ+ 12130,32343202-y,dised — - 2,0330818 = - Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 89 aus welchen sich: 80,0026417 und y=- 0,0004671 ergeben. Setzt man diese Werthe in die allgemeine Gleichung ein, so wird: d = 1,838 - 0,0026417 (p-100) - 0,0004671 (p-100)2, oder: d = 1,838 +0,0026417 (100-p) - 0,0004671 (100 - p)² und es ergeben sich hieraus für: P₁ = 90,20, P2 = P1 92,83, Ps 95,97, - = P4 = 100,00 als zugehörig: statt: d=1,8191, d= 1,8328, d'1,8410, d= 1,8380 d₁ = 1,819, d₂ = 1,833, dg= 1,841, d₁ = 1,838. Die Richtigkeit der Versuchswerthe vorausgesetzt, haften den Rechnungs- werthen bezüglich folgende Fehler an: 2 d₁ = + 0,0001, d= 0,0002, d = 0,0000, 84 = 0,0000, deren algebraische Summe nach Seite 32 nicht Null werden muss, weil in den Normalgleichungen keine mit x resp. p unverbundene Constante erscheint, also auch keine Normalgleichung die Summe sämmtlicher Bedingungsgleichungen bildet. Dass die Formel nicht blos den vierten, sondern auch den dritten ja nahezu auch den ersten Versuchswerth genau wiedergibt, dies ist gewissermassen als Zufall zu betrachten, der aber leicht einzutreten vermag, weil die Formel drei Constante enthält und nur vier Versuchs- werthepaare vorhanden sind. Mit vier Constanten würde die Formel ja alle Versuchswerthe genau wiederzugeben vermögen. Wollte man, wozu übrigens wie schon erwähnt kein Anlass vor- handen ist, auf eine Formel von der Form: d = a + bp + cp² übergehen, so wären nach früher, da 8 und die darauf folgenden Con- stanten 0 sind: - a = (y₁ - Bx₁ + yx,²) = (ds - BP₁ + VP) = 2,56883, b (B - 27x1) und: c=y0,0004671, (B-27PA) +0,0907783, d grib d=- 2,56883+0,0907783 p0,0004671 · p². Aus dieser Formel müssen sich natürlich die gleichen Werthe wie aus der vorhergehenden ergeben, da beide Formeln identisch sind, weil die zweite nur durch Umformung der ersten erhalten ist. 90 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Zu einer von diesen etwas verschiedenen, also mit anderen Con- stanten versehenen Formel: d = a₁ + b₁p + c₁₂ p² würde man aber durch bedingungslose Aufstellung, also mittelst der Normalgleichungen von Seite 43 gelangen. Da dann diese Formel der auf Seite 31 au's- gesprochenen Bedingung entspricht, so müsste die algebraische Summe der Fehler gleich Null werden. Sollte eine einer parabolischen Curve entsprechende empirische Formel im Stande sein zwei Versuchswerthe genau wiedergeben zu können, so wäre vor Allem die Form zu suchen, welche die Formel unter dieser Bedingung, wenn auch vielleicht nur vorübergehend, zu erhalten hat. Verlangt man, dass die Formel: y = a + bx + cx² + dx³ +... X2 für x = x, das y = y₁, überdies für x=x, das y = y₂ gibt, so ist X1 den nachstehenden zwei Bedingungsgleichungen: 3 y₁ = a + bx₁ + cx₁² + dx₁₂³ +.. Y2 = a + bx + cx₂² + dx23 + unter allen Umständen zu entsprechen. Löst man dieselben für a und b auf, so wird: b = a = - Y1 Y2 -- X1 X2 2 - c(x₁ + x2)- d ( x₁² + x₁ x 2 + x₂²) — ... X1Y2X2Y1 X2 X1 X -- C9 + c⋅ x₁ x₂ + d ( x₁ ²x² + x₁ x₂ ²) +···, folglich, wenn man diese Werthe in die allgemeine Formel: y = a + bx + cx² + dx³ +... setzt, und einige Umformungen vornimmt: y = - Y₁ (x — X₂) - Y₂ (x — x₁) - X1 X2 . +c(xx) (xx)+ +d(x-x₁) (x − x2) (x + x1 + x₂) + · · · · - Diese Formel gibt, wie man sich leicht überzeugen kann, thatsächlich für xx₁ das y = y, und für x = x2 das y = y2. = Durch das Einsetzen der bis nun noch unberücksichtigt geblie- benen Versuchswerthe in die Formel gelangt man zu folgenden Be- dingungsgleichungen: Y3 Y1 (Xg-x) - Y₂ (x-x1) X1-X2 +e(xgx) (xgxg) + + è (x₁ - x₁) (x-Xg) + +d(x-x1)(xg — Xg) (Xz + x1 + x)+···, Y4 = Y1 (X4x2)- Y2 (X4-X₁) 1 X1 X2 C +d(x-x₁) (xsxg) (x + x₁+xq) + ··, Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 91 Y₁ (X3X2) — Y2 (X5 - X₁) y5 1 X1X2 + c (x5x1)(x5x2) + +d(x-x1)(x5 — X2) (X5 + x1 + xq) + • aus welchen die zur Berechnung der Constanten c, d etc. erforderlichen Normalgleichungen abzuleiten sind. Lässt man, bevor dies geschieht, dadurch eine Vereinfachung ein- treten, dass man in den Bedingungsgleichungen der Reihe nach ersetzt: 1.) Die ersten Glieder des rechtseitigen Theiles d. i.: Y1 (X3 — Xg) — Yg (Xg — x1), X1X - Y1 (Xs — X2 ) — Y₂ (X4 — X₁) Y₁ (X5-X2)—Y2 (X5 — X₁) X1Xq etc. durch Yg beziehungsweise, Y₁, Y etc.; X1 X2 — 2.) die neben der Constanten c stehenden Factoren, d. i.: - - (X3 — X₁) (X3 — X2), (x — X₁) (x — X2), (X5 — X1) (Xx5 - x) etc. durch U, beziehungsweise U, U etc.; 3.) die neben der Constanten d stehenden Factoren, d. i.: - - (X3 X1) (X3 — X2) (x3 + x1 + x2), (X4 — X₁) (X4 — X2) (x4 + x1 + x2), (X5-x1) (X5 — X2) (x5 + x1 + x2) etc. durch V, beziehw. V₁, V, etc., so gehen selbe in: Y3=Ys+cU₂+dV+ ... Y ₁ = Y ₁ + CU ₁ + d V ₁ + ··· Y5 = Y₂+cUs + dvs +... 5 3 oder ys-Ys=cUs +dV+···, وو 3 3 Y₁ - Y₁ = cU ₁ + d V₁ + · · ·, 27 y5 - Y₁ = cU₂+ d Vs +... über. Aus den letzteren Gleichungen ergeben sich jetzt auf genugsam bekannte Weise die folgenden Normalgleichungen: (y-Y).U)=c(U²) +d.Σ(V.U)+..., Σ(-Y)-V)-c. (VU) + d. (V) +, . aus diesen die Constanten c, d etc., endlich mit Hilfe derselben und der oben angeführten Gleichungen: b a = Y1Y2 X1 X2 - X1Y2X2Y1 - X1 X2 2 − c (x₁ + x₂) — α (x² + x₁₂ + x₂²) — ..., 1 +c⋅ x ₁ X2 + d ( x₁² x2 + x₁ x₂²) +··· die Constanten a und b. Es folge diesfalls wieder ein Beispiel. Man hat gefunden, dass 100 Gew.-Th. destillirten Wassers von 92 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form, t₁ = 0, t₂ = 14, ts=40, t₁ = 100° Cels. beziehungsweise k₁ = 35,52, k₂ = 35,87, kg = 36,64, k= 39,61 Gew.-Th. Kochsalz zu lösen vermögen. Es ist zum Zweck der Berechnung einer Tabelle, innerhalb der Versuchsgrenzen, eine Formel aufzustellen, welche der Hauptsache nach die Form: y = a + bx + cx² resp. k=a+bt+ct² besitzt, und den ersten sowie den vierten Versuchswerth (k, resp. k) richtig wiedergibt. Im vorliegenden Falle hat man daher in den vor Kurzem ange- gebenen Formeln d und die darauffolgenden Constanten gleich Null, überdies k₁ und k für y, resp. y2 sowie t, und t für x, resp. 2 zu setzen, so dass werden: b = - - ks - c(t + ts) und a= t₁ - ts Von den Normalgleichungen verbleibt hier t₁ k₁ - t₁ k₁ +c⋅ tits. tr - ts nur die erste, da, weil d = 0, den Bedingungsgleichungen zufolge die Glieder mit dem V als Factor entfallen. Diese verbleibende und zur Berechnung der Constanten c dienende Normalgleichung nimmt aber jetzt folgende Form an: ((-Y) U)=c(U²), worin: - {(kY). U}=(la — Y₂) · U₂ + (lig — Y3) Us, - · ferner: - (U)=((tt) (-4))² + ((t − t) (ts-t))", - - - Y₂ — k₁ (t₂ — ts) — k₂ (ty —t₁), Y k₁ (tz — ts) — ks (tз — t₁), Y2 - t₁ - ts = t₁ - ts U₂ = (t₂ — t₁) (t₂ — ts), Ug = (tg — t₁) (ts — ts) 3 zu setzen sind, weil nur jene Versuchswerthe in die Normalgleichungen eingeführt werden dürfen, welche in den Werthen von a und b nicht erscheinen, anders ausgedrückt, welche noch nicht berücksichtiget wurden. Setzt man jetzt in vorstehende Ausdrücke die der Versuchsreihe entnehmbaren speciellen Zahlenwerthe ein, so werden: k₂-Y₂--0,2226, k-Y--0,5160, U₂--1204, U--2400, (k-Y₂) U₂ = 268,0104, (lig - Ys) Ug = 1238,4, und 3 U² = 1449616, U,²-5760000, (U2)=7209616 Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 93 C= Σ {(k-Y).U} Σ(U³) 268,01041238,4 7209616 +0,000208944. Mit Hilfe dieses Werthes und der bekannten Versuchswerthe werden noch: a= k₁t-k₁ t t₁ - t +c. tits = +35,52, KA b = und die Formel: K₁ — t₁ - to + c(t₁ + t₂) = + 0,0200056 k=35,52 0,0200 t + 0,000209.12. . Dieselbe gibt für: t₁ = 0, t₂ = 14, t = 40, t₁ = = 100° Cels. als zugehörig: statt: k=35,52, k = 35,84, kg-36,65, k=39,61 = 39,61 k₁ = 35,52, k₂ = 35,87, k=36,64, k und sind demnach, die Richtigkeit der Versuchswerthe vorausgesetzt, die Rechnungswerthe mit folgenden Fehlern behaftet: d₁ = 0,00, d₂ = = — - 0,03, 8+0,01, 840,00, deren algebraische Summe s=- 0,02 aus bekannten Gründen nicht nothwendig gleich Null werden muss. Aus d₁ = 840 ist zu ersehen, dass die Formel, wie gewünscht, den ersten und vierten Versuchswerth richtig gibt. Für die Löslichkeit des Kochsalzes gibt J. L. Andreae folgende empirische Formel an: k 35,630,007889 (t-4)+0,0003113 (t — 4)², 1 nach welcher offenbar bei t 4° Cels. in 100 Gew.-Theilen Wasser 35,63 Gew.-Theile Kochsalz löslich sind. Wollte man beide für den gleichen Fall vorliegende Formeln mit einander vergleichen, so müsste eine, gleichgültig welche, auf die Form der anderen gebracht werden. Um nun beispielsweise obige Formel: k = 35,52 + 0,0200t+ 0,000209.t² von der Form k=a+bt+ct2 auf die Form: k = a + B (t−4) + y (t − 4)² zu bringen, bedenke man nur, dass: - - kaẞt-4ẞ+yt² 8yt +167 α oder: 94 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. also wegen: nothwendig: --- k = (a 4ẞ+ 16y) + (B8y) t + y. t², k=a+bt+c. t² (α-4ẞ+167) = a, (B8y)=b, y = c sein müssen. Da die Werthe von a, b und c bekannt sind, so lassen sich aus diesen Gleichungen leicht 7, ẞ und a berechnen. Es ergibt sich dann: C = 0,000209; ferner aus: (B8y) = b = 0,0200 dass dass B=0,02168; endlich aus: (a 4ẞ + 167) = a = 35,52 α= 35,60 ist. Man kann somit die Formel: — k = 35,52 + 0,0200t+ 0,000209-t² auch wie folgt schreiben: k = 35,60 + 0,02168 (t-4)+ 0,000209 (t - 4)², wodurch der Vergleich mit Andreae's Formel: k = 35,63 +0,007889 (t-4)+0,0003113 (t-4)² unmittelbar ermöglicht wird. Die ersichtlichen Abweichungen können durch den Umstand erklärt werden, dass bei der Aufstellung der differirenden Formeln ohne Zweifel verschiedene Versuchsreihen benützt und verschiedene Bedingungen bezüglich der zu erfüllenden Wünsche gestellt wurden. c) Aufstellung emiprischer Formeln von der Form: y = a + bx + cx² + dx³ + ... welche gewisse der Versuchswerthe genauer wie die antleren zu geben vermögen. Man sieht sich öfters genöthigt den verschiedenen Versuchswerthe- paaren eine mehr weniger grosse Wichtigkeit, oder wie man auch sagen kann ein verschiedenes Gewicht beizulegen, weil denselben aus hier nicht näher zu erörternden Gründen muthmasslich verschieden grosse (unvermeidliche Beobachtungs-, Messungs- etc.) Fehler anhaften dürften. In diesem Falle wird nun begreiflicherweise gewünscht, dass die Formel jeden einzelnen der Versuchswerthe für sich um so genauer wiederzugeben vermag, je richtiger muthmasslich er ist, während in Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 95 den vorhergegangenen Fällen die Wiedergabe sämmtlicher Versuchs- werthe mit möglichst gleichem Genauigkeitsgrade verlangt war. Da durch jedes der vorliegenden Versuchswerthepaare bekanntlich ein Punkt der Beziehungscurve und zwar um so schärfer bestimmt wird, je geringer der Fehler ist, welcher bei der Ausführung des be- treffenden Versuches nicht vermieden werden konnte, so handelt es sich im vorliegenden Fall auch offenbar darum, die empirische Formel so aufzustellen, dass die derselben entsprechende Curve sich den ein- zelnen durch die Versuchswerthe gegebenen Punkten um so mehr nähert, je schärfer muthmasslich diese bestimmt sind. Man vermag nun den verschiedenen Versuchswerthepaaren in der Rechnung alsbald ein verschiedenes Gewicht zu verschaffen, man annimmt (ob es der Wahrheit entspricht oder nicht), dass die verschiedene Genauigkeit derselben davon herrühre, dass sie Mittel der Ergebnisse seien, von in verschiedener Anzahl wieder- holten Versuchen. Bekanntlich ist man ja berechtigt zu erwarten, dass, je öfter ein Versuch wiederholt wird, desto näher das Mittel der Ergebnisse der Wahrheit rückt. Erweitert man jetzt die Reihe der Versuchswerthe- paare dadurch, dass man jedes derselben so oftmal setzt, als Wieder- holungen des entsprechenden Versuches angenommen wurden, so erfährt auch die Reihe der zur Ableitung der Normalgleichungen dienenden Bedingungsgleichungen eine entsprechende Erweiterung, indem dann offenbar jede derselben wieder so oftmal erscheint, als ihr zu Grunde liegende gleichlautende Versuchswerthepaare vorhanden sind. Es wird dadurch einem jeden Versuchswerthepaar insofern ein anderer Einfluss auf die Normalgleichungen beziehungsweise die Con- stanten der Formel eingeräumt, als sich dasselbe um so mehr Geltung verschafft, je öfter die demselben entsprechende Bedingungsgleichung erscheint. Bevor nun weiter auf die Sache eingegangen werden kann, ist es nöthig, einige auf das zu lösende Problem Bezug habende Sätze der Methode der kleinsten Quadrate voranzuschicken. Man nimmt an, dass die Genauigkeit h einer Reihe von unter gleichen Umständen erhaltenen Versuchs-, Messungs- oder Beobachtungs- resultaten in demselben Verhältnisse wächst, in dem der denselben an- haftende mittlere Fehler m (dessen bereits auf Seite 22 Erwähnung gethan wurde) abnimmt, so dass h gesetzt werden kann. 1 m Es verhalten sich daher die Genauigkeiten h, und hą zweier Gruppen von Beobachtungsresultaten, deren jede unter anderen Umständen 96 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. erhalten wurde, umgekehrt, wie die denselben anhaftenden mittleren Fehler m, und m2, so dass die Proportion: h₁: h₂ - 1 1 : m1 ma besteht. Macht man statt einer einzelnen Beobachtung, der etwa ein mitt- lerer Fehler m, also die Genauigkeit h 1 = m zukömmt, p wiederholte Beobachtungen, so kommt nach den in die Methode der kleinsten Quadrate aufgenommenen Lehren der Wahrscheinlichkeitsrechnung dem arithmetischen Mittel aus sämmtlichen p Beobachtungsresultaten eine erhöhte Genauigkeit H zu, welche aus der Formel: berechnet werden kann. H=h. Vp Es erhöht sich die Genauigkeit h dadurch H h Vp mal und ver- ringert sich im gleichen Verhältniss der mittlere Fehler. Man kann jetzt auf Grund des eben Gesagten nachstehende Sätze aussprechen, welche für das hierauf Folgende wichtig sind. 1) Die Genauigkeit H des aus (p) wiederholten Beobachtungen hervor- gegangenen arithmetischen Mittels wächst proportional mit der Quadrat- wurzel aus der Anzahl der Beobachtungen, also mit Vp. H 2) Durch die pmalige Wiederholung einer Beobachtung wird die Genauigkeit des Resultates oder Vp mal erhöht, also der mittlere Fehler Vp mal verringert. H h 3) Eine (- oder Vp malige Vergrösserung der Genauigkeit (resp. eine ebenso oftmalige Verringerung des mittleren Fehlers) wird durch eine (H)- oder pmalige Wiederholung der Beobachtung bewirkt. h Sind die zu den folgenden Werthen: X1, X2, Xz ... Xn der unabhängig Veränderlichen gehörigen, durch Versuche oder Beob- achtungen erhaltenen Werthe: der abhängig Veränderlichen, und kommen diesen verschiedene Genauig- keiten, nämlich: Y1, Y2, Y3 Yn H1, H2, H3. H₁, H₂ H₂, etwa deshalb zu, weil sie die arithmetischen Mittel von beziehungs- weise: P1, P2, P3 . Pn Anhang zur Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 97 wiederholten Versuchen bilden, welche mit gleicher Genauigkeit h durch- geführt wurden, so müssten offenbar: H₁ = h VP, H₂ = h VP2, H₂ = h VP3, H₂ = h Vpn sein und sich verhalten: P1 P2 P3: Pn H₁2: H₂2: H2: ... = H₂2:...: H₂2. Man nennt nun die Zahlenwerthe: (P1, P2, P3, Pn) ... die Gewichte der Beobachtungsresultate: (y₁, beziehungsweise 2, Y3, ·Yn), und versteht unter denselben jene Zahlen, welche angeben, aus wie- viel wiederholten Beobachtungen von der gleichen Genauigkeit h man beziehungsweise Beobachtungsresultate: Y1, Y2, Y37 Yn als Mittelwerthe hervorgegangen zu denken hat, damit denselben die angenommenen Genauigkeiten: H1, H2, H3, Hn zugesprochen werden können. Haften den Werthen: Y1, Y2, Y3, Yn der abhängig Veränderlichen y in der Reihe der Versuchswerthepaare: Jx1 [x2 X3 Jxn y' Y2 ข. โบร Y n beziehungsweise die mittleren Fehler: . M1, M2, M3, mn an, sind daher diese Werthe von y beziehungsweise mit den Ge- nauigkeiten: 1 1 H₁ H₂ m1 Ma و 1 H, 1 . Hn H- mn bestimmt worden, so hat man umgekehrt denselben bei der Aufstellung der empirischen Formel offenbar die Gewichte: 1 P₁ = H₁₂2 1 27 mi P₂ = H₂2 = 27 ma P3-H2= 1 1 m3 M. 21 •PnH₂2 = 2 m n beizulegen. Es ist dann für das Versuchswerthepaar: Jx1 โข Y2 ... die Bedingungsgleichung y₁ = a + bx₁ + cx₁₂² + p₁ mal, وو Steinhauser, empirische Formeln. Y₂ = a + bx 2 + cx² + P₂ mal, · 7 98 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. X3 Y3 die Bedingungsgleichung y = a + bx + cx... p, mal, Xn die Bedingungsgleichung y = a + bxn + cxn²· . Pn mal Yn in Rechnung zu stellen, so dass schliesslich folgende Bedingungs- gleichungen erhalten werden: P₁Y₁ = P₁a +P₁ b x₁ + p₁ cx₁² +.. P2Y2P2a +P q b x z + Pq C X 2² + 2 P3Y3P3 a + P3 b x z + P3 c x z ² + 2 Pnyn Pna + Pnbxn + Pncxn² + Aus denselben ergeben sich in bekannter Weise die Normalgleichungen: (py) = a Σω (p) + (px) + (x²)+. C Σ(pyx) = a(px) + bΣ(px²) + cΣ(px³) + ··· pyx²) = a(pa²) + b (px) + cΣ(px¹) + ··· C mit Hilfe deren die Constanten a, b, c etc. berechnet werden können. Um das Gesagte noch besser zu erläutern, möge aus den be- kannten Versuchswerthepaaren: [x₁ =-17,8 [x2=+4,2 [x3=+16,3 Jx1 |y₁ = = 2,48' y₂ 5,00' lys = y = a + bx eine empirische Formel von der Form: [x=+20,3 6,00' y == 8,00 aufgestellt werden, aber unter der Bedingung, dass obigen Werthen der abhängig Veränderlichen y beziehungsweise die Gewichte: P₁ = 1, P₂ = 2, P3 - 3, P₁ = 4 = beizulegen sind, weil ihnen die Genauigkeiten: V1-1, √2 = 1,41... √3 1,73 zukämen, also die mittleren Fehler: ..., V4 = 2,00 - 1 1 1 √₁ = 1,00, 1 V/2 V₁ = 0,71, = 0,71, 1 √3 = 0,58, 1 V4 V₁ = 0,50 anhafteten. 1 V3 Im vorliegenden Falle reducieren sich die angegebenen Normal- gleichungen (weil e und die darauf folgenden Constanten gleich Null sind) auf folgende zwei: Anhang zur Aufsuchung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. 99 Σ(p.y) =a.(p) +b.(px), (p.y.x)=a. (p.x)+b. (p. x²), welche, nachdem Σ(p.y) =P₁Y₁ + P2Y2 + P3Y3 + P₁Y 4 65,480, Σω =Pi +P₂ +P3 +P₁ 10,000, Σ(0) =P₁x 1 + P₂ X2 + P3 X3 +P₁ X 1 = 120,700, = + P3 X 3 Ys 1 X Y +P₁₁₁ = 989,756, 2 2 + P₁₁ =2797,55 sind, in (p.y.x) = p₁ x₁ Y₁ +P₂ X2 Y2 P₁₁₁ (p.x²) = p₁x² + P₁₂² + 3 x 3² = 65,480 10,0 a + 120,70 b, 989,756 = 120,7 a +2797,55 b übergehen. Es werden hieraus: a und die empirische Formel: =+4,7528, b = +0,14873 y = 4,7528 +0,14873 x oder: p = 4,7528+0,14873 t, wenn man wieder auf die früher üblich gewesene Bezeichnung über- geht, weil jetzt eine Verwechslung der Atmosphärendrücke p mit den Gewichtszahlen p nicht mehr zu besorgen ist. Diese Formel gibt für: t₁ - 17,8, t₂ = +4,2, t = +16,3, als zugehörig: t₁ = +20,3 Pi= statt: P₁ = 2,480, P2 5,000, P3= 7,000, P₁ = 2,105, p= 5,377, pg= 7,177, P = 7,772 8,000 und sind daher, die Richtigkeit der Versuchswerthe vorausgesetzt, die Rechnungswerthe mit folgenden Fehlern behaftet: d₁ = 0,375, 82+0,377, 8, +0,177, 8₁ = -0,228, deren algebraische Summe: beträgt. s = d₁ + d₂+ d + d₁ = = 0,049 Die erzielten Resultate stimmen nun scheinbar nicht mit den ge- hegten Erwartungen überein, da (numerisch) d4> dg auch d>d, ist, 2 7* 100 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. also nicht dort die kleineren Fehler erscheinen, wo der grösseren Genauigkeit der Versuchswerthe wegen die grössere Annäherung der Rechnungs- an die Versuchswerthe gewünscht wird. Ein klein wenig Ueberlegung und die Betrachtung der Figur 1 werden aber es alsbald begreiflich erscheinen lassen, dass die der vor- liegenden empirischen Formel entsprechende Gerade ja gar nicht be- fähigt ist, sich gleichzeitig gewissen Punkten der Beziehungscurve in bestimmter vorgeschriebener Weise zu nähern, da sie sich zu diesem Zwecke stellenweise abbiegen, also in eine Curve umwandeln müsste. Vergleicht man aber obige Fehler: d +0,377, 8 = +0,177, 84 = 0,375, 82 = + 0,377, - - - 0,228 mit jenen, welche früher auf Seite 33 für denselben Fall, jedoch unter der Bedingung erhalten wurden, dass sich die Gerade der Beziehungs- curve im Ganzen aufs Beste anschliessen soll, das ist mit den Fehlern: d₁ = d - 0,18, d₂ = + 0,40, 8, +0,10, 84 = 0,33, $1 3 so ersieht man, dass erstere numerisch abgenommen haben beziehungs- weise um: - 0,195, +0,023, - 0,077, +0,102, - wobei den negativen Zahlen Zunahmen entsprechen. 4 Es hat daher, so wie es der Sache entspricht, der Fehler d, be- trächtlich zugenommen, hingegen d etwas und d beträchtlich ab- genommen. Der Sache nicht entsprechend zu sein scheint die allerdings nur geringe Zunahme des Fehlers d, welche sich aber dadurch erklärt, dass dieser Fehler ja früher schon relativ klein war. Man ersieht demnach, dass den ausgesprochenen Wünschen im Ganzen denn doch so gut als möglich Rechnung getragen ist. Einer Aufklärung bedarf vielleicht der Umstand, dass bei der Wiedergabe der Fehler von Seite 33 ein Zeichenwechsel vorgenommen wurde. Derselbe ist dadurch begründet, dass diese Fehler früher als Abweichungen der Versuchswerthe von den als richtig angenommenen Rechnungswerthen erscheinen, hier aber umgekehrt als Abweichungen der Rechnungswerthe von den als richtig angenommenen Versuchs- werthen aufgeführt werden mussten, um den Vergleich vornehmen zu können. Zu den im Anhang bisher besprochenen Aufgaben wäre noch hinzuzufügen: Die Berechnung gewisser Tabellen aus empirischen Formeln, von der schon auf Seite 3 andeutungsweise Erwähnung geschah. Es handelt sich dabei um Tabellen, welche für den praktischen Die Berechnung von Tabellen aus empirischen Formeln. 101 Gebrauch jene Werthe der unabhängig Veränderlichen y enthalten, die zu den nach einer gewissen constanten Differenz fortschreitenden Werthen der unabhängig Veränderlichen x gehören. Es braucht wohl kaum gesagt zu werden, dass man zu einer solchen Tabelle durch directe Berechnung eines jeden einzelnen Ta- bellenwerthes aus der Formel gelangen kann. Diese zeitraubende und mühsame Methode kann oft dadurch wesent- lich vereinfacht werden, dass man jeden Tabellenwerth aus seinem un- mittelbar vorhergehenden zu berechnen sucht. Bei den bis nun besprochenen Formeln von der Form: y = a + bx + cx²+.. kann dies nun leicht wie folgt geschehen. Ist vorerst: y = a + bx die Formel, nach der eine Tabelle berechnet werden soll, und die Differenz jener arithmetischen Reihe (erster Ordnung), nach welcher die x fortschreiten, so sind offenbar: 0 Xn = [x₁ + (n-1)] und xn+1 = [x₁ + n · 8] zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Glieder [das nte und (n + 1)ste] dieser Reihe und: beziehungsweise: Yn = a + b [x₁ + (n - 1) d] Yn+1 = a + b [x₁ + n·d] die zugehörigen Werthe der abhängig Veränderlichen. Dieselben unterscheiden sich von einander um den constanten Werth: Yn = b.d=α, — Yn+1 Yn welcher für 8 = 1 in b übergeht. Hieraus ist zu ersehen, dass im vorliegenden Fall die x und y nach einer arithmetischen Reihe fortschreiten, deren constante Differenz d beziehungsweise bd ist. Die gewünschte Tabelle kann demnach einfach nach folgendem Schema berechnet werden: X₁=X1, x=x₁+8, x3=X2+d, x4=x3+d, Xn-Xn-1+d, y₁=a+bx₁, y₂-Y₁+bd, y3=Y₂+bd, y₁=ys+bd, yn Yn-1+bd. Bei dieser Berechnungsart, wo y₁ aus der Formel, die darauf- folgenden y aber nur durch die stete Zugabe von bd erhalten werden, ist nicht zu übersehen, dass eine die Genauigkeit beeinträchtigende Fehleransammlung erfolgt, wenn nicht genügend viele Decimalen in b Berücksichtigung finden. 102 I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form. Es ist daher zweckmässig, in gewissen gleichen Intervallen Werthe von y direct aus der Formel zu berechnen. Hat man aus der empirischen Formel: y = a + bx + cx² eine Tabelle zu berechnen, in welcher die unabhängig Veränderliche x wieder, und zwar von x, ausgehend, nach einer arithmetischen Reihe mit der Differenz & fortschreitet, so sind wie oben: [x₁ + (n - 1) 8] und [x,+ nd] zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Glieder dieser Reihe [das nte und (n+1)ste], zu welchen beziehungsweise folgende Werthe der ab- hängig Veränderlichen: und Yn = a + [x₁ + (n − 1) d]⋅ b + [x₁ + (n - 1) 8]2. c -- Yn+1 = a + [x₁ + n ⋅ d]⋅ b + [x₁ + n. 8]²· • gehören. Dieselben unterscheiden sich von einander um die veränder- liche Grösse: Yn+1 — Yn = 8 (b-cd)+2c8 (x,+ nd) = d(b − cd) +2cdxn+1, welche zum nten Glied (yn) der y-Reihe zu addiren ist, damit man zum (n+1)sten Glied (n+1) gelangt, wenn von y, als dem ersten Gliede ausgegangen wird. Die gewünschte Tabelle ist dann nach folgendem Schema zu be- rechnen: = X1 X1, X₂ = x₁+d, X2 X3 = X2 + 8, X₁ = X3 +8, zugehörig y₁ = a + bx₁ + cx₁², 66 Y₂ = Y₁ + [d(bcd) + 2cdx,], Y3 = Y2 + [8 (b - cd) + 2cdx], Y₁ = Y3 + [d (bcd) + 2cdx], Auch hier ist es aus ähnlichen Gründen wie oben zweckmässig, in gewissen gleichen Intervallen Werthe von y direct aus der Formel zu rechnen. Hat man endlich aus der empirischen Formel: y= a + bx + cx² + dx³ unter den bereits bekannten Verhältnissen eine Tabelle zu berechnen, so unterscheiden sich das nte und (n+1)ste Glied der y-Reihe, das sind: Yn=a+b[x₁ + (n − 1) d] + c [x₁ + (n − 1) d]² + d [x, + (n − 1) d']³ und Yn+1=a+b[x₁+nd] + c [x₁ + nd]² + d [x₁ + nd]³, um die veränderliche Grösse: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 103 Yn+1 - Yn=d[b-cd+do²]+8 (2c-3dd)(x,+nd) + 3dd (x₁+nd)² oder weil (x,+ nd) = xn+1 ist, um: -- - 2 Yn+1 — Yn = d [b — § (dd — c)] + d (2c - 3dd) xn+1 + 3dd⋅ xn+1. Diese Grösse ist wieder zum nten Glied (yn) der y-Reihe zu addiren, wenn man zum (n + 1)sten Glied (n+1) gelangen will, sofern von y₁ als erstem Gliede ausgegangen wird. Die gewünschte Tabelle ist dann nach folgendem Schema zu be- rechnen: X1 X19 zugehörig: y₁ = a + bx₁ + cx₁² + dx₁³, X2=x1+8, X3=X2+8, X₁ =Xz+d, وو "9 Y₂=y₁+{d[b-8 (dd-c)]+8(2c-3d8)x+3ddx,2}, Ys=y₂+{d[b-d(dd-c)]+d(2c-3dd)x+3ddx,²}, Y₁ =Y3+{d[b―d (dd-c)]+d(2c-3dd)x+3d8x2}, Auch hier gilt selbstverständlich das schon früher in Bezug auf Fehleranhäufung und zeitweilige directe Berechnung von y-Werthen Gesagte. Nachdem Formeln von höherem Grade, wie schon weit früher erwähnt wurde, in der Praxis keine Verwendung finden, ist es ganz überflüssig hier noch weiter zu gehen. Bemerkt möge nur noch werden, dass vom geometrischen Stand- punkte aus die Tabellenwerthe offenbar den Längen (y) von Ordinaten entsprechen, welche in gleichen Abständen (8) von einander liegen. Nach der Abhandlung der im Anhang besprochenen Aufgaben kann jetzt auf den zweiten Haupttheil dieses Werkes übergegangen werden. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. by Der Umstand, dass in manchen Fällen eine parabolische Curve von nicht allzuhohem Grade sich der Beziehungscurve nicht genügend anzupassen vermag, anders ausgedrückt, dass verhältnissmässig viele Glieder der bekannten Reihe: a, bx, cx², dx³, ... erforderlich sind, um jene Beziehung genügend genau ausdrücken zu können, die auf Grund der Versuchswerthe als zwischen den Veränderlichen bestehend anzunehmen ist, beweist, dass die Form der als unbekannt anzu- sehenden Formel, welche die thatsächlich bestehende Beziehung genau auszudrücken vermag, von jener willkürlich gewählten Form wesent- lich verschieden ist, in welche man die aus den Versuchswerthen zu folgernde Beziehung, die mit der in Wahrheit bestehenden nahezu übereinstimmt, gewissermassen gewaltsam gezwängt hat. 104 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Je mehr sich die willkürlich gewählte Form der aufgestellten Formel und zwar vielleicht zufällig der Form jener unbekannten Formel nähert, deren eben gedacht wurde, desto leichter wird einerseits die aufge- stellte Formel im Stande sein, die Versuchswerthe selbst innerhalb eines grösseren Umfanges mit genügender Genauigkeit zu geben, anderer- seits die der aufgestellten Formel entsprechende Curve vermögen, sich der Beziehungscurve selbst auf ein ausgedehnteres Stück befriedigend anzunähern. Würde man endlich durch Zufall die Formel genau in jener von vornherein unbekannten Form aufgestellt haben, so hätte dies zur Folge, dass erstere nicht nur die gegebenen Versuchswerthe, sondern überhaupt alle jene ausser- und innerhalb des Versuchsumfanges liegenden Werthe verhältnissmässig genau zu geben vermöchte, welche der Natur der Sache nach zu existiren vermögen, anders ausgedrückt, dass die der Formel entsprechende Curve sich nicht blos einem begrenzten Stück der Beziehungscurve, sondern der ganzen, soweit selbe überhaupt aus- gedehnt gedacht werden kann, verhältnissmässig gut anzupassen ver- möchte. Dass in dem eben besprochenen Falle weder eine ganz genaue Wiedergabe der Versuchswerthe, noch ein vollkommenes Zusammen- fallen beider Curven erfolgt, hat offenbar seinen Grund in den Fehlern, welche den Versuchswerthen unvermeidlich anhaften. Man würde, wie hieraus zu ersehen ist, schwer wiegende Vortheile zu erreichen vermögen, wenn es gelänge die Form der aufzustellenden Formel immer jener unbekannten, doch zweifellos existirenden Form möglichst nahe zu bringen, welche die zwischen den Veränderlichen bestehende, doch leider nur mehr weniger unvollkommen aus den vorliegenden (sogar muthmasslich fehlerhaften) Versuchswerthen ent- nehmbare Beziehung ausdrückt. Da aber eine jede Annäherung an die richtige Form nur von Nutzen begleitet sein wird, so ist es zweckmässig, jede sich dar- bietende Gelegenheit zu benützen, durch welche eine solche erreicht werden kann. Um nun eine mehr weniger bedeutende Annäherung der Formel- form an die besprochene richtige, doch unbekannte Form zu erzielen, gibt es folgende Mittel: 1) Man untersucht (im Einklang mit den Andeutungen auf S. 12) ob sich nicht aus der Natur der Sache wenigstens eine allgemeine und einfache Beziehung ausfindig machen lässt, welche zwischen den Ver- änderlichen mehr weniger angenähert besteht, um wenigstens dieser bei der Formwahl gerecht werden zu können. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 105 Würde man beispielsweise aus den den Veränderlichen x und y zukommenden Bedeutungen entnehmen können, dass y proportional mit x wachsen muss, so wäre die empirische Formel offenbar in der Form: y=a.x aufzustellen und die Constante a sodann aus möglichst vielen Versuchs- werthepaaren nach der Methode der kleinsten Quadrate zu berechnen. 2) Man unterzieht die Versuchswerthe einer genauen und später näher zu besprechenden Untersuchung, um aus denselben zu erforschen, nach welchem bekannten und verhältnissmässig einfachen Gesetz we- nigstens annähernd die abhängig Veränderliche y wächst oder abnimmt, wenn die unabhängig Veränderliche x nach einer arithmetischen oder einer anderen Reihe fortschreitet, da sich dann leicht eine Formel aufstellen läst, welche dem bezüglich der Fortschreitung der den x aufgefundenen Gesetz entspricht. y mit Das in Punkt 1) Gesagte möge durch folgendes Beispiel erläutert werden: Es besteht ohne Zweifel zwischen der Stromstärke s und dem Winkel a, um welchen dieselbe die Nadel einer sogenannten Tangenten- boussole abzulenken vermag, eine bestimmte Beziehung, da zu jeder Stromstärke (S1, S2, S3 etc.) ein gewisser Ablenkungswinkel (a1, a2, a, etc.) gehört. Eine nähere Untersuchung der Natur der Sache lässt nun mit Bestimmtheit erkennen, dass s proportional mit der trigonometrischen Tangente des Ablenkungswinkels (also mit tg a) wächst, weil sich die Stromstärken (S1, S2, S3 etc.) verhalten wie die trigonometrischen Tangenten der zugehörigen Ablenkungswinkel (a1, a2, az etc.). Es folgt eben aus: = tg a,: tg a,: tg as: S1 S2 S3: = S1 tg a₁ = = k, tg α2 tg αs Sa S3 wo k eine Constante ist, also allgemein: S k oder s = k tg a. tg a Man ist demnach im Stande, aus der durch einen Strom an einer Tangentenboussole bewirkten Ablenkung a die Stärke s desselben zu berechnen, wenn man den der betreffenden Tangentenboussole eigen- thümlichen Werth der Constanten k, nämlich den sogenannten Re- ductionsfactor kennt. Obgleich derselbe direct aus gewissen Dimensionsverhältnissen des Instrumentes etc. berechnet werden könnte, so pflegt man ihn doch gewöhnlich aus einer Reihe von Versuchswerthen zu bestimmen. 106 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Sind: S1 α1 S2 α2 S3 9 Sn I an die durch Versuche gefundenen zusammengehörigen Werthe der Strom- stärken und Ablenkungswinkel, welche beziehungsweise den y und x entsprechen, so lassen sich aus denselben die folgenden Bedingungs- gleichungen: s₁ = k⋅ tg α₁ S2 Sg - Sn = k.tg α2 k. tg α3 k.tg an aufstellen, von welchen allerdings jede einzelne schon zur Berechnung von k genügte, wenn die Versuchswerthe fehlerlos wären. Da dies aber nicht der Fall sein dürfte, so wird man alle Gleich- ungen gleichzeitig berücksichtigen, indem man aus denselben k nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet. Es folgt nun aus den Bedingungsgleichungen die zur Berechnung der Constanten k dienende Normalgleichung: woraus: Σs • tg a) = 1 - Σ(tg* α), Σ(s tg α) k V Σ (tg² α) oder: wird. k 1 s₁ tg a₁+s, tg a₂ + s₂ to α, + ... + s₂ tg α, tg2a,+tg² a₂ + tg² α + n +tg2 a, n Derartige Fälle kommen häufig vor; da dieselben aber dem Wesen nach völlig übereinstimmen, so genügt die Angabe des vorstehenden Beispieles, sowie die Aufführung der allgemeinen Gleichungen, welche zur Lösung der Aufgabe erforderlich sind. Soll aus den Versuchswerthen: Jx1. โ X1 X2 eine Formel von der Form: Y2 " X3 Y3 y = a. f(x) Jxn \Yn aufgestellt werden (der die obige Gleichung s=k.tg a entspricht, weil nur sy, ka, α = x, tga = f(x) zu setzen sind), so er- geben sich aus denselben die nachstehenden Bedingungsgleichungen: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 107 Y₁ = af (x₁) Y1 Y₂ = af (x2) y3 = af (x3) Yn = af (xn), aus welchen die Normalgleichung: {yf(x)} =a. Z (f(x))?, und schliesslich als Werth der Constanten: Σ{yf(x)} α= {f(x)}* 2 folgt. Bei dem zweiten der früher angeführten Punkte wird es nöthig werden länger zu verweilen, da nichts anderes übrig bleibt, als die einfacheren und häufiger vorkommenden Ergebnisse, welche die nähere Untersuchung der Versuchswerthe y in Bezug auf ihr Fortschreiten mit x zu Tage fördern kann, der Reihe nach zu besprechen. Hiezu ist aber zu bemerken, dass die Auffindung des Gesetzes, nach welchem etwa, wenn auch nur annähernd, die abhängig Ver- änderliche y fortschreitet, wenn die unabhängig Veränderliche x nach einer arithmetischen oder einer gewissen anderen Reihe wächst, offen- bar dadurch wesentlich erschwert wird, dass gewöhnlich die Versuchs- werthe in Bezug auf x nicht in gleichen oder gesetzmässig sich ändernden Abständen von einander liegen, man daher erst aus den Versuchswerthen durch Interpolation die erforderlichen in gleichen oder gewissen Abständen von einander stehenden Zwischenwerthe bestimmen müsste. Dies aber könnte nur sehr ungenau geschehen, da das Gesetz der Fortschreitung nicht bekannt ist, ja eben erst gesucht werden soll. Diese Schwierigkeit kann nun überwunden werden, wenn man, was genügt, zur graphischen Interpolation seine Zuflucht nimmt, näm- lich in bereits bekannter Weise aus den Versuchswerthepaaren die Beziehungscurve construirt, und von der Ordinatenaxe ausgehend in gleichen, oder in gewissen, sich überhaupt gesetzmässig ändernden Abständen Ordinaten zieht. Es entspricht dann beispielsweise der eventuelle constante Abstand der parallelen Ordinaten der Differenz 8 einer arithmetischen Reihe, nämlich jener, nach welcher dann die Werthe der unabhängig Ver- änderlichen x fortschreiten, während den Gliedern der gleichzeitig von den Werthen der abhängig Veränderlichen y durchschrittenen Reihe die Längen der in den gleichen Abständen 8 aufeinander folgenden Ordinaten entsprechen. 108 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Man entnimmt sodann der graphischen Darstellung die aufeinander folgenden und zusammengehörigen Glieder beider Reihen, nämlich die Werthe: [X₁ [x2 = x₁ + d ( x3 = X2 + d (X1 โซ Y2 1 98 - | Xn = Xn−1 + 8 = x₁ + (n − 1)8 \ yn um untersuchen zu können, nach welchem Gesetze, wenn auch nur annähernd, die Glieder (y1, 92, 93, ... Yn) der Reihe der y gebildet erscheinen. Da man demnach, wenn solche Reihen zusammengehöriger Werthe von x und y nicht schon von vorneherein vorhanden sind, immer durch graphische Interpolation aus den vorhandenen Versuchswerthen hiezu gelangen kann, so möge in der Folge angenommen werden, dass immer derartige Reihen zum Zweck der näheren Untersuchung zu Gebote stünden. Es wird jetzt besprochen werden, welche Form man den empi- rischen Formeln zu geben hat, wenn die Glieder der Reihe, nach welcher die y unter bestimmten Verhältnissen fortschreiten, nach ge- wissen einfacheren Gesetzen gebildet erscheinen. 1) Die Werthe der abhängig Veränderlichen y seien reciprok den zugehörigen Werthen der unabhängig Veränderlichen x oder einem be- stimmten (dem mten) Theil derselben. Das eventuelle Bestehen dieses Gesetzes kann offenbar auch dann erkannt werden, wenn die Versuchswerthe in Bezug auf x nicht in gleichen Abständen von einander liegen. Es ist daher im vorliegenden Fall die Zuhilfenahme der graphischen Interpolation ganz überflüssig. Das ausgesprochene Gesetz drückt sich ohne Zweifel aus in seinem ersten Theil, in der Form xy = 1 oder: 1 y: = х in seinem zweiten Theil in der Form m y = m X y = 1 oder: Da die erstere Gleichung nur einen speciellen Fall der zweiten darstellt (wo nämlich m = 1 ist), so soll nur von letzterer weiters die Rede sein. Nach den Lehren der analytischen Geometrie ist die geometrische Bedeutung der Gleichung: = m y = X II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 109 eine in der Fig. 10 dargestellte gleichseitige Hyperbel, welche die Coordinatenaxen des Systemes IO,I zu Asymptoten hat. Man erkennt dies zum Theil X= x das zugehörige Fig. 10. aus dem Umstande, dass für I I m m Y1 = = x₁ = + wird, X1 dass also für einen und denselben abwechselnd positiv und negativ genommenen Werth (x) von x nur ein Zahlenwerth (m) von y erhalten wird, der positiv, be- ziehungsweise negativ ist. Es entspricht somit der -I b -II m Gleichung y eine Curve, х welche aus zwei gleichgeformten, doch verkehrt liegenden Aesten besteht, von denen der eine im II ersten, der andere im dritten Quadranten liegt. Da weiter für x = +0, y = ∞ und für x = ∞, y=+0 folgt, so bilden die Coordinatenaxen Asymptoten, denen sich die Curven- äste fortwährend nähern, ohne sie je thatsächlich zu erreichen. m XC х m Das Gesetz der Reciprocität zwischen y und , ausgedrückt durch die Gleichung y wird wohl selten bei Versuchswerthen unmittel- bar angetroffen werden; dies wohl deshalb nicht, weil dieses Gesetz modificirt wird, wenn z. B. die mehr weniger genau ein Stück einer gleichseitigen Hyperbel darstellende Beziehungscurve so läge, dass der Mittelpunkt dieser Hyperbel nicht mit dem desjenigen Coordinaten- systemes zusammenfiele, in welchem die Beziehungscurve aus den Ver- suchswerthepaaren gezeichnet erscheint. Es würde sodann in dem relativ einfachen Fall, wenn die Be- ziehungscurve als Hyperbel im System IO, I bloss parallel verschoben erschiene, derselben eine Gleichung entsprechen, die man auch durch Transformation der obigen Gleichung auf ein neues, dem System IO,I parallel liegendes System IIO, II erhält. Zu der transformirten Gleichung gelangt man einfach dadurch, dass man statt der Coordinaten x und y des ersten Systemes die des zweiten, nämlich x und y₂ einführt. 110 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Sind a und b die Coordinaten des Hyperbelmittelpunktes 0, im neuen System, so ist: folglich: X = X2 α, y = y₂-b, m Y2 — b = X2 a die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel desgleichen im neuen Systeme, welche nach Weglassung der jetzt überflüssigen Zeiger und nach einigen Zeichenwechseln auch wie folgt geschrieben werden kann: y - b α m - wo a und b mit jenen Zeichen behaftet erscheinen, welche diesen Grössen als Coordinaten hinsichtlich ihrer Lage im Systeme IIO,II entsprechen. Würde man von der Gleichung: y = - ausgegangen sein, welcher, wie m X man sich leicht überzeugt, dieselbe Hyperbel wie der Gleichung y = + entspricht, die aber nur ihre m X Aeste im zweiten und vierten Quadranten liegen hat, wie dies die punktirte Curve in Fig. 10 darstellt, so hätte man durch die Trans- formation offenbar die Gleichung: m y=b+ a х erhalten. Da die beiden Gleichungen: m m y=b- a - auch wie folgt geschrieben werden können: und y = b+ X a -- OC - m y=b+; und y=b++m a-x in welchen Formeln die Zeichen in den Zählern die Qualität der Grösse m bezeichnen, überdies die Constanten a und b als Coordinaten des Hyperbelmittelpunktes desgleichen befähigt sind, sowohl positive als negative Zahlenwerthe anzunehmen, so sind in Bezug auf die gleich- zeitigen Zeichen von b, a und m nur folgende acht Fälle möglich: 1) 2) (+b, +a, + m) (+ b, -a, +m) (-b, +a, +m) (—b, -a, + m) (+b, +a, (+ b, 3) 4) 5) 6) 8) (-b, -a, - m) - m) -a, - (-b, +a, - m) m). II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 111 Es liegen dann, wegen des Zeichens von m dem Vorhergehenden gemäss, die beiden Hyperbeläste in den Fällen 1 bis incl. 4 im zweiten und vierten, in den Fällen 5 bis incl. 8 im ersten und dritten Quadranten jenes rechtwinkligen Coordinatensystemes (IO,I), welches von den Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel als Axen gebildet wird. Aus den Zeichen der Constanten a und b ist zu ersehen, dass der Mittelpunkt der Hyperbel in den Fällen (1 und 5) im ersten, (2 und 6) im zweiten, (4 und 8) im dritten und (3 und 7) im vierten Quadranten des Systemes IIO,II liegt. Schreibt man die Formel: in der Form: m y=b+ a-x y-b m = a 1 - x so ersieht man einerseits, dass die Grössen y-b m und (ax) einander reciprok sind, und erfährt andererseits was mit den Versuchswerthen zu geschehen hat, damit das eventuell in modificirter Form bestehende Reciprocitätsgesetz erkennbar hervortritt. Man hat nämlich, wie dann näher erläutert wird, aus den beiden Reihen der bekannten x und zugehörigen y zwei neue Reihen zu bilden, von denen man erhält: die erste dadurch, dass man sämmtliche x von einer und der- selben gewissen Constanten a abzieht, die zweite dadurch, dass man die sämmtlichen um eine gewisse Constante b verminderten y durch eine gewisse Constante m dividirt. Wäre nun eine vorliegende Reihe von Versuchswerthen auf ein etwa bestehendes Reprocitätsgesetz zu untersuchen, bevor zur ziem- lich mühsamen Aufstellung der empirischen Formel nach der Form: m y=b+ a- - X (und zwar mittelst der Methode der kleinsten Quadrate) geschritten wird, so suche man wenigstens wie folgt zur annähernden Kenntniss der Constanten b, a und m zu gelangen. m Man stelle aus drei möglichst weit von einander entfernt liegenden Versuchswerthepaaren nach der Formel y = b + gleichungen auf. Dieselben werden nun, wenn a- - x die Bedingungs- X2 X3 X1 โy \ y3 die betreffenden Versuchswerthepaare sind, lauten: 112 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. y₁ = b + Y₂ = b+ a a Y2 Y3 Ys = b+ a m - m — m - X1 X2 X3 und Aus denselben ergeben sich dann: m = - α _ X1 Y1 (X3 — X2) + X2 Y2 (X1 — a b = X₁ (Y2Y3) + x₂ (Ys X1 Y1 X3) + X 3 Y3 (X2 — X1) - Y₁) + x3 (Y1 - Y2) - X₁ Y₁ (Y₂-Y3) + X2 Y2 (Ys - Y1) + x3 y3 (Y1 - Y2) X1 (Y2Y3) + x2 (Y3 - Y₁) + x3 (Y1 -- Y2) - (a− x₁) (y₁ - b) = (a — x₂) (y₂ — b) = (a — X3) (Ys — b). Mit Hilfe der für die Constanten a, b und m gefundenen Zahlen- werthe bilde man in der oben angegebenen Weise aus den Versuchs- werthen die gewissen zwei Zahlenreihen, deren jede sodann mehr weniger genau die Reciproken der in der anderen Reihe aufeinander folgenden Zahlen enthält, wenn thatsächlich zwischen den zusammengehörigen Werthen der Veränderlichen x und y, wie sie in der Versuchsreihe erscheinen, das modificirte Reciprocitätsgesetz besteht. Folgendes Beispiel wird die Sache noch besser erläutern. Es sind die auf Seite 72 in Betreff der Spannkraft des Wasser- dampfes angegebenen Versuchswerthe: [x₁ = 0 Y1 4,525' 52,12 Y3 101,40' = X2 = Y2 23,85 22,24' X3 - € 91,34 [ X5 โมะ Y₁ = 553,03' 1 = auf ein etwa zwischen den Veränderlichen gesetz zu untersuchen. 100,87 779,73 bestehendes Reciprocitäts- Zu diesem Zwecke stelle man, da sich das auf Seite 108 aus- gesprochene reine Reciprocitätsgesetz zwischen den Veränderlichen nicht. zeigt, behufs Prüfung derselben auf das modificirte Gesetz etwa aus folgenden Versuchswerthepaaren: x₁ = 0 X1 y₁ = 4,525' X3 52,12 [ 25 = 100,87 2 m nach der Formel y=b+ a 1 X 101,40' ly, = 779,73 y3 = 101,40 die Bedingungsgleichungen auf. Sie lauten: 4,525 = b+ 101,400 = b + 779,730 = b + m a - 0 m a 52,12 m a - 100,87 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 113 Aus denselben berechne man nach den früher angegebenen Formeln die Werthe der Constanten b, a und m, vergesse aber dabei nicht, dass in diesen Formeln selbstverständlich für (x2 und y2), sowie (x, und y), beziehungsweise die hier (x, und 3), sowie (x, und y) zukommenden Werthe einzusetzen sind. Man erhält: 13914,33127, b = 114,99178, a = +116,42157, m = also die wahrscheinlich noch relativ ungenaue Formel: 13914,33127 y=-114,99178 + 116,42157 - X Zieht man jetzt, entsprechend dem Werthe (a-x), von a=116,42157, die sämmtlichen der Reihe nach x zukommenden bekannten Werthe ab, so erhält man als erste und zwar aus den Werthen von x abgeleitete Reihe von Zahlen: 116,42157, 92,57157, 64,30157, 25,08157, 15,55157. Zieht man ferner die Zahl b = 114,99178 von sämmtlichen der Reihe nach y zukommenden bekannten Werthen ab und dividirt die sodann verbleibenden Reste durch m = 13914,33127, entsprechend dem Werth y-b so erhält man als zweite und zwar aus den Werthen von y abgeleitete Reihe von Zahlen: m 0,00859, 0,00986, 0,01555, 0,04801, 0,06430, welch letztere den darüberstehenden Zahlen der ersten Reihe reciprok sein müssten, sofern das besprochene Reciprocitätsgesetz besteht. Es sind nun beziehungsweise folgende Zahlen denen der ersten Reihe reciprok: 0,00859, 0,01080, 0,01555, 0,03987, 0,06430. Dass der erste, dritte und fünfte dieser Werthe beziehungsweise mit dem ersten, dritten und fünften Glied der zweiten Reihe genau übereinstimmt, hat nichts Ueberraschendes an sich, da ja die Constan- ten a, b und m aus dem ersten, dritten und fünften Versuchswerthe- paar berechnet worden sind. Von Wichtigkeit für die Untersuchung ist es nur, ob sich auch der zweite und vierte Werth dem Gesetze fügt, was, wie man sieht, wohl nur wenig angenähert der Fall ist. Stimmen die als Glieder der zweiten abgeleiteten Reihe aufeinander folgenden Zahlenwerthe mit denen der Reciproken der die erste ab- geleitete Reihe bildenden Werthe nur mehr weniger näherungsweise überein, so beweist dies, dass zufolge der vorliegenden Versuchswerthe zwischen den Veränderlichen x und y das besprochene Reciprocitätsgesetz nur mehr weniger angenähert besteht, dass also auch die Formel Steinhauser, empirische Formeln. 8 114 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. y=b+ m a-x nur einen mehr weniger angenäherten Ausdruck des fraglichen Abhängigkeitsgesetzes bildet. Die Annäherung kann nach S. 78 beliebig erhöht werden durch eine entsprechende Vermehrung der Constanten, resp. der Anzahl der in die Formel aufgenommenen Glieder. Wird hievon Gebrauch gemacht, und lässt man auch hier nur Glieder aufeinanderfolgen, welche nach einem gemeinsamen Gesetz geformt erscheinen, was sich im Allgemeinen als zweckmässig erweist, so ergibt sich eine neue Grundformel: y= A + B D + + C (α-x) (α x)⁹ (α- x)³ +… nach welcher empirische Formeln aufgestellt werden können. Dieselbe geht unter der Voraussetzung, dass a bekannt sei, weil in diesem Falle (ax)= X gesetzt werden kann, in: B C D y=A++ + + X2 X3 über und entspricht dann der Gruppe der sogenannten hyperbolischen Curven, welche ein Gegenstück zu den vielbesprochenen parabolischen Curven bilden. Es erübrigt jetzt noch anzugeben, wie aus den etwa in über- schüssiger Anzahl vorhandenen, aus den Versuchswerthen nach der Grundformel: D oder y=A+ B (α-x) + C (α- x)2 + (α - x) 3 +... B C X2 X3 + +.. D y = A + 3 3 + aufgestellten Bedingungsgleichungen die Constanten A, B, C, D etc., sowie eventuell auch a nach der Methode der kleinsten Quadrate be- rechnet werden können. Behält man vorerst blos die zweite dieser Gleichungen im Auge, welche, nebenbei bemerkt, weit leichter wie die erste zu behandeln ist, so lauten offenbar die nach derselben aufgestellten Bedingungsgleich- ungen wie folgt: D + + B C Y₁ = A + + B C D Y₂ = A + X₂ + X2 + + B YsA+ B Yn = A + xn = Xs + + C X C Xn + + D X, 3 +… D Xn 3 + II. Die Aufstellnng empirischer Formeln nach begründeter Form. 115 Aus denselben ergeben sich in bekannter Weise die nachstehenden Normalgleichungen: 3 Σ(y)=Σ(4)+B⋅ Z()+c · Σ()² + D · Σ({})²+ ·· Σ)-4Σ+Σ) +Σ) +Σ+ 2 12 13 4 3 Σ1-4 ΣΕ+Σ+Σ+»Σ+ 1 13 Σ(v())-4-Σ()+B. Σ()*+C.Σ()+D. Σ (1) ' + ... X welche gerade ausreichen zur Berechnung der Constanten A, B, C, D etc. Befindet sich aber eine der erst zu berechnenden Constanten (a) im Nenner, wie dies bei der ersteren der obigen zwei Grundformeln der Fall ist, so stösst man auf vorläufig nicht näher zu erörternde Schwierig- keiten, die (immerhin nicht zum Vortheil für die Sache) umgangen werden können, wenn man die im Nenner erscheinende Constante (a) aus der erforderlichen Anzahl passend gewählter Bedingungsgleichungen, (also ohne Berücksichtigung der überschüssigen) berechnet, und erst hierauf mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate unter Benützung des nun bekannten Werthes (a) die übrigen Constanten (A, B, C, D etc.) bestimmt, was sodann ganz anstandslos geschehen kann. Kehrt man vorerst zur relativ einfachsten dieser Formeln, d. i. zu der auf Seite 111 angeführten Formel: y=b+ a. m - -XC zurück, die nun nach der neueren Bezeichnung wie folgt geschrieben werden muss: y = A + α B und erinnert man sich, dass für den besprochenen speciellen Fall aus den gewissen drei Bedingungsgleichungen auf Seite 112 nach- stehende Werthe für die Constanten resultirten: und b=-114,99178 = A, m = 13914,33127=B, a = +116,42157 = α, so kann unter Beibehaltung des Werthes a zur Aufstellung einer empi- rischen Formel nach der Form: B y=A+ 116,42157 geschritten werden, in welcher nur mehr die Constanten A und B 8* 116 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. aus den auf Seite 112 angegebenen Versuchswerthen nach der Methode der kleinsten Quadrate zu berechnen sind. Zur Berechnung derselben dienen dann offenbar die zwei Normal- gleichungen: Συ Z(9)-2(4)+B.Z(116,42157-) und Z(9.116,42157-2)-4. Z(116,42157-2)+ B-Z (116,42157-2)", Σ Σ116,43 deren einzelnen Gliedern folgende Zahlenwerthe zukommen: (4)-54, Z)-1460,925, = 116,42157-)-0,006157, (116,42157-)=0,139118, y 116,42157--74,043708. Es gehen infolge dessen die allgemeinen Normalgleichungen in nachstehende specielle über: 1460,925 aus welchen sich A: = = =5A + 0,139118 B, 74,043708 0,139118 A+ 0,006157 B, = 114,241006 und B ergeben, während von früher her a = a Die empirische Formel lautet daher: + 14607,2041768 == + 116,42157 ist. 14607,204177 116,42157-x und gibt für: x₁ =0, x2=23,85, xg=52,12, x4=91,34, x = 100,87, y=- 114,241006 + als zugehörig: y=11,227, y=43,552, y=112,926, y=468,147, y=825,034, statt: y₁ = 4,525, y₂ = 22,240, ys = 101,400, y₁ = 553,030, y = 779,730. YA Es haften somit den Rechnungswerthen unter der Voraussetzung, dass die Versuchswerthe richtig seien, folgende Fehler an: d₁ = +6,702, d₂+ 21,312, d. 11,526, 84 = 84,883, d= + 45,304, deren algebraische Summe s = (8)=0,039 beträgt. In Folge der Berechnung der Constanten nach der Ausgleichs- rechnung gleichen sich die Fehler in befriedigender Weise aus; die Fehler für sich sind aber doch so gross, dass die Formel nicht zu brauchen ist. Die Ursache hievon kann liegen zum Theil in der nicht alle Ver- suchswerthe in Betracht ziehenden Art und Weise der Berechnung I. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 117 der Constanten a resp. a, zum Theil in der gewählten Form der Formel, welche möglicherweise gar nicht befähigt sein kann, die Versuchswerthe mit befriedigender Genauigkeit wiederzugeben. Da nämlich schon die Voruntersuchung zeigte, dass das besprochene Reciprocitätsgesetz zwischen den Veränderlichen nur wenig angenähert besteht, so ist in der That wenig Aussicht vorhanden, unter Beibehal- tung der gewählten Formelform eine befriedigende specielle Formel erhalten zu können. Es mögen aber trotzdem weitere sich auf die Verbesserung der Constantenwerthe beziehende Versuche nicht unterlassen werden, um zu zeigen, was in einem solchen Falle überhaupt zu thun noch möglich ist. Eine jede specielle empirische Formel, wie z. B. die auf Seite 113 aufgestellte, nämlich: 13914,33127 y = - 114,99178 + 116,42157-x' deren Constante aus der gerade erforderlichen Anzahl von Bedingungs- gleichungen auf gewöhnlichem Wege, also mit Ausserachtlassung der vorhandenen überschüssigen, berechnet wurden, wird wohl die berück- sichtigten Versuchswerthe genau, die unberücksichtigten aber nur fehler- haft zu geben vermögen. Sollen nun, wie dies schon in vorhergegangenen Fällen direct erzielt wurde, die Fehler nicht nur (numerisch) möglichst klein werden, sondern auch auf alle Rechnungswerthe möglichst gleichmässig vertheilt erscheinen, so müssen die Constanten auf gewisse gleich näher zu be- sprechende Weise verbessert werden, damit die Formel jener zweifellos existirenden doch unbekannten Formel möglichst nahe kömmt, welche die gewünschte Form besitzt und dabei den Ansprüchen bestmöglichst entspricht. Die Verbesserung der Constanten einer empirischen Formel kann nun der Hauptsache nach dadurch bewirkt werden, dass man jene Grössen a, ß, y etc. sucht, welche als Correcturen zu den bereits auf gewöhnlichem Wege erhaltenen Werthen der Constanten A be- ziehungsweise B, C etc. hinzugegeben werden müssen, damit diese in jene Constantenwerthe a beziehungsweise b, c etc. übergehen, welche der am besten entsprechenden speciellen Formel von gewünschter Form angehören. Ist allgemein: y = f(a, b, c,... x) diese Formel, ist nämlich y in gewisser vorläufig noch nicht näher be- stimmter Weise von den Constanten a, b, c etc. sowie von der unab- hängig Veränderlichen x abhängig, und sind beziehungsweise A, B, C etc. 118 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. die auf gewöhnliche Weise, nur aus einem Theil der vorhandenen Ver- suchswerthe berechneten, daher nur angenäherten Werthe der Con- stanten a, b, c etc., so hat man zu A, B, C etc. nur gewisse Verbesserungen a beziehungsweise ß, y etc. hinzuzufügeń, um die angenäherten in die rich- tigen Werthe übergehen, nämlich: A+α-a, B+B=b, C+y=c etc. werden zu lassen. Es stellen dann: eine Näherungsformel und y= f(A, B, C... x) y = f (a, b, c... x) oder y = f [(A + α), (B+ ß), (C+2)···x] die richtige, nämlich die den Ansprüchen am besten entsprechende specielle empirische Formel dar. Nimmt man jetzt an, was allerdings nicht immer der Fall sein wird, dass die Verbesserungen (a, ß, y etc.) so klein seien, dass alle jene Glieder, welche Producte derselben (wie aß, ßy etc.) oder die erste überstei- gende Potenzen (wie a2, B2, y2 etc.) enthalten, gegen erste Potenzen (a, B, y etc.) dieser Grössen enthaltende Glieder weggelassen werden können, so lässt sich, weil der Annahme zufolge die verschwindend kleinen Glieder einfach entfallen, y wie folgt nach der sogenannten Taylor'schen Reihe entwickeln: y = f[(A + α), (B + ß), (C + y), x] = f(A, B, C,... x) + + df (A, B, C... x) dA • a+ df(A, B, C... x) dB •B+ d C df(A, B, C...x) oder einfacher, weil y' = f (A, B, C,... x) ist: dy' y = y + dy a + ay B + dr+.... d A dy' d B B+ ac Setzt man in diese Formel für y der Reihe nach die auf Grund der Versuche zu x1, x2, x3 etc. gehörigen Werthe, nämlich y, be- ziehungsweise y₂, ys etc., welche die Formel ja geben soll, für y' hin- gegen die analogen Rechnungswerthe, welche sich aus der bereits bekannten Näherungsformel ergeben, so erhält man nach voraus- gegangener Bestimmung der in der Formel erscheinenden Differenzial- quotienten wieder so viele Bedingungsgleichungen für a, ß, y etc., als Paare von Versuchswerthen vorhanden sind. Aus diesen in Bezug auf die Constanten (a, B, y etc.) linearen Gleichungen können sodann zum Zwecke der Berechnung der Con- stanten nach der Methode der kleinsten Quadrate in bereits bekannter Weise gerade so viele Normalgleichungen aufgestellt werden, als zu berechnende Constanten vorhanden sind. Das Vorstehende möge jetzt auf das schon früher behandelte specielle Beispiel angewendet werden. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 119 Es sind die Constanten der aus nur drei Bedingungsgleichungen, also auf gewöhnlichem Wege abgeleiteten speciellen empirischen Formel: y = - 114,99178+ 13914,33127 116,42157-x' unter Berücksichtigung sämmtlicher auf Seite 112 angeführten Ver- suchswerthe, in angegebener Weise zu verbessern. Die allgemeine Form dieser vorstehenden, die sämmtlichen Versuchs- werthe sicher nicht so gut als möglich gebenden Formel, welche somit in Bezug auf die richtige als Näherungsformel bezeichnet werden kann, ist: y' = A + B C-x' wo: A―― 144,99178, B+ 13914,33127 und C+ 116,42157 sind, die allgemeine Form der richtigen Formel hingegen, nämlich jener, welche die Versuchswerthe so gut gibt, als sie überhaupt eine Formel von der angenommenen Form zu geben vermag, ist: y = (A + α) + B+B (C+y)=x' wo a, ß und y die Verbesserungen oder Correcturen bedeuten, welche beziehlich an den bereits bekannten Constanten A, B und C vor- genommen werden müssen, damit die Näherungsformel in die richtige Formel übergeht. Unter der, wie schon erwähnt, nicht immer begründeten Annahme in Bezug auf die geringe Grösse dieser Verbesserungen kann die letztere Formel auch in folgende Form gebracht werden: B y=(1+0²/a)+ a(1+ a (4+B) d a (1 + B) C- OC a(1+B) C ·a+ ·B+. C-x d A dC wenn man den Ausdruck: dB B+B (A + α) + (C+r) 1 х nach der Taylor'schen Reihe entwickelt, und nur jene Glieder bei- behält, welche blos die erste Potenz von a oder ẞ oder y als Factor enthalten. Sie stellt in dieser Form wegen des Weglassens gewisser Glieder allerdings auch nur eine Näherungsformel dar, welche sich aber der richtigen Formel um so mehr nähert, je mehr die Annahme zutrifft, unter der die erstere aufgestellt wurde. Da nach den Lehren der Differenzialrechnung die in der Formel vorkommenden Differenzialquotienten folgende Werthe annehmen: C-x B C B d + d C-x a ( a + c = x) B 1 d 1 (4+2) = 1, 1 d A dB C-x d C - B (C-x)2, so wird, wenn man den jedenfalls constanten Werth By = 8 setzt: 120 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. B β y = (1 + C 2 a) + a + c ² x - δ C-x (C-x)2 Man kann jetzt nach dieser Gleichung aus den vorhandenen fünf Versuchswerthepaaren folgende Bedingungsgleichungen aufstellen: C- B - :) +a+ β C-X1 β +α + α = xq :)+a+ X2 Y1 Y₁ = (A + C Bar) + Y2 = (1 + Y₂ = (1 + B α C β C X5 — - 8. δ (C-x2)² 29 ୧ (1 + √ ² m) + a + c = a - (0-)'' - aus denen sich nach der Methode der kleinsten Quadrate bekanntlich die nachstehenden drei Normalgleichungen ergeben: B 1 1 C Zy-(4+2)=5a+ẞ·Z(ca) +8 · Z(c¹a)³, Σ {[y - (1 + 2a)]· (ca)} = α C. 1 1 2 δ 1 3 ·Σ (σ = a) + B · Σ ( c = a)² + 0 ⋅ Z (σ = a) ³, C - 1 C Σ {[y - (4+ √² )] · (c = a)" } oder: {y - y} C - 1 C - - = 1 C 1 •·Σ ( c = a)² + B · Σ ( c = a)² + d · Σ (σ = 2)²; C - 5α C - C - 1 +B⋅ Z(0) +8·2(0)"; 1 2 Σ1-1 (6) - Σ) + 2 +Σ 1 1 - 1 3 4 Σ{~-v)(-)"}-a-2(___)²+B. Σ(0) +8 · Σ(ca)", die zur Berechnung der Constanten a, ẞ und 8 dienen. Selbstverständlich müssen für die einzelnen Glieder dieser Glei- chungen vorerst die entsprechenden speciellen Zahlenwerthe berechnet werden. Es werden nun aus der Näherungsformel: y' = A + B C X - 114,99178+ 13914,33127 116,42157-x folgende Werthe von y' erhalten und zwar: für 1 = 64 X2 = 0,00, y= 4,5250008 statt y₁ 23,85, y2 35,3171243 X3 = 52,12, y = 101,4000010 4,525, Y2 = 22,240, " y3 101,400, وو II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 121 für 24 X4 = X5 = == 91,34, y=439,7713895 statt y 553,030, 100,87, y = 779,7301850 y = 779,730, y5 "" also auch folgende Werthe für die Differenzen y-y': 0,0000008, 82 = Y2 - Y₂ Y2= ---- 13,0771243, 83 Y3 -- Ys 0,0000010, 84 = Y₁ - Y₁ = +113,2586105, - d = Y5 — yś = - Es ist demnach: 0,0001850. (d)-y-y') + 100,1812994, welcher Werth übrigens auch aus: Zy-y')-2-(y) = 1460,925 erhalten werden kann. — 1360,7437006 Ferner benöthiget man folgende Zahlenwerthe: 1 C-X1 1 C-X2 1 C-X3 1 C-X4 1 C-x5 1 2 =0,00858947358, () = 0,000073779055, 1 2 =0,01080245263, () = 0,000116692982, = = = welchen zufolge: und sind. C 1 2 0,01555171981, () = 0,000241855988, 1 2 0,03986991245, () = 0,001589609919, 0,06430218942, ()-0,004134771564, 1 +0,13911574789, Σ (+0,006156709508 Weiter werden gebraucht: 1 (c) = 0,000000633721, 1 3 c) = 0,000001260569, 1 3 1 () = 0,000000005441, x1 4 1 (c) = 0,000000013616, 4 - 1 (c) = 0,000003761276, (c) = 0,000000058493, - 122 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 1 3 C (c) = 0,000063377604, (a) (c) = 0,000002526857, 1 3 C - 1 4 (c) = 0,000265874858, () = 0,000017096334, C woraus: werden. X5 3 C-x5 1 (c) +0,000334908028, - (a)+0,000019700741 Endlich sind noch erforderlich: wonach: wird, und wonach: 1 1 - (y₁ — Y₁') - 0,000000006, C-X1 (Y2 - Y₂') - 0,141265014, (Y3-Y3') C-X2 1 C-X3 1 = = - 0,000000016, = (Y₁ — Yá). —x, = + 4,515610884, C 1 X4 = - 0,000011896, (15-15) T-x5 1 {(vv)}=+4,374333952 C = (y₁-y₁') (oa)-- 0,0000000000, -- (12-12) (-)--0,0015260083, 2 (1s — 1s') (~~) — — 0,0000000002, - C-X3 1 2 (Y₁ — Y₁) (—)² = +0,1800370105, - C XCA 1 2 = - (Ys — Yε') (c) — — 0,0000007649, - C 1 Σ{(y-3)( -___)² = +0,1785102371 C Х wird. Es gehen demnach die obigen Normalgleichungen in nachstehende specielle Zahlengleichungen über: 100,1812994 4,37433952 = 5 α +0,13911574789 ß -- 0,006156709508,8, 0,13911574789 a +0,006156709508 ß - 0,000334908028 8, — - II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 123 0,1785102371 ← 0,006156709508 a +0,000334908028 ß - - 0,000019700741 8, aus welchen sich: α = - 107,402164, B+ 10877,368747, d und weil 8 = By ist: d=142287,235007 = B 142287,235007 13914,33127 = +10,225948 ergeben. Man sieht jetzt vor Allem, dass die Verbesserungen (a, ß und 7) durchaus nicht der Annahme entsprechen, sehr kleine Grössen zu sein. Auf Grund der soeben erhaltenen Zahlenwerthe geht nun die specielle empirische Formel von Seite 119 in folgende über: y = (A + α) + B+B (C+y)=x - - 222,39394 - 24791,70002 126,64752-x' welche der relativ besten Formel wegen des Nichtzutreffens der be- kannten Annahme wohl noch nicht sehr nahe kommen dürfte. Sie gibt für X1 1 دو و" = 0,00, y y2 =+ 18,7763 X2 23,85, y2 X3 X4 C4 X5 - 1 = 26,6404 statt y₁ = 4,525, - Y2 22,240, Y3 101,400, 29 Y4 553,030, 52,12, y y' =+ 110,2577 91,34, y Y₁ = +479,7709 100,87, y=+739,3627 وو - y5 779,730. Berechnet man auch hier wie auf Seite 121 die Differenzen (y-y') zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen, so ergeben sich selbe, wie folgt: d - - =y₁y₁ = 31,1654, d₂ = Y₂ — Y₂ =+ 3,4637, - 83 = Ys - Ys' - 8,8577, d₁ = Y₁ = Y₁ = + 73,2591, 4 - 85 = Y5y=40,3673 und beträgt die algebraische Summe derselben: (8)=(y- y) + 139,3978. Vergleicht man diese Resultate mit den auf Seite 121 erhaltenen, nämlich mit jenen, welche die Formel in der ursprünglichen Form, also vor der angestrebten Constantenverbesserung gab, so zeigt sich nur insofern eine Besserung, als hier die grösste Differenz nur 73,2591, dort aber 113,2586 beträgt. Die Differenzensumme hingegen ist jetzt (+ 139,3978) grösser, wie früher, (wo sie nur + 100,1812 betrug). 124 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Dass die Formel nun der Hauptsache nach nicht viel besser ge- worden, sich auch nicht die Differenzen annähernd ausgleichen trotz An- wendung der Methode der kleinsten Quadrate, dies kann ganz zweifellos nur davon herrühren, dass die Verbesserungen a, ß und 7 nicht, wie angenommen wurde, sehr kleine Werthe besitzen. Da nämlich die zur Ableitung der Normalgleichungen, also auch mittelbar zur Berechnung der Verbesserungen (a, ß und 7) dienenden Bedingungsgleichungen, nach der auf Seite 120 gefundenen Formel: y = (1 + oder, weil d = 1.) B β 2 ) + a + a C-x C-x δ (C-x)29 y= (A + α) + B+B (C-x) By (C-x)2 By ist, nach der Formel: aufgestellt wurden, so wären die Zahlenwerthe der Constanten (A, B, C, a, ß und y) eigentlich in diese und nicht in die Formel: 2.) y = (A + α) + B+B (C+y)=x einzusetzen gewesen, nachdem letztere nur dann, wie gleich gezeigt wird, mit ersterer identisch ist, wenn die Annahme zutrifft, dass die Verbesserungen a, ß und 7 so klein seien, dass Glieder, welche Producte oder die erste übersteigende Potenzen dieser Grössen enthalten, weg- gelassen werden können. Es ist nämlich nach der Formel 1.): (B+B) (C+y-x) (C-x) - By (C+y-x) (C+y-x) (C-x)² y = (A + α) + oder, wenn man die Producte im Zähler entwickelt und die angenom- menermassen verschwindend kleinen Glieder weglässt, endlich reducirt: B+B (B+B) (C-x)2 y = (A + α) + (c + y — x) (C — x)² = = (A + α) + (C+y-x) und zeigt es sich, dass thatsächlich die Formeln 1.) und 2.) identisch werden, sobald die gemachte Annahme zulässig erscheint. Ist dies aber wie im vorliegenden speciellen Beispiel nicht der Fall, so kann auch die Formel 2.) nicht so ohne weiteres statt der Formel 1.) genommen werden. Es ist dann aber auch die Formel 1.) noch immer nicht die richtige, da ja auch sie unter der gemachten, jedoch nicht zutreffenden Annahme abgeleitet wurde. Setzt man jetzt die bekannten Zahlenwerthe der Constanten [(A + α), (B + B), Cund By oder d] in Formel 1.) ein, so wird: 24791,70002 142287,235007 y = 222,39394 + 116,42157-x (116,42157-x)2 Man erhält nun aus dieser Formel und zwar: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 125 - für 21 X2 = 0,00, = y = - 23,85, y2 = + 28,8133 وو 19,9441 statt y₁ = Y2 = 4,525, 22,240, 52,12, y = + 128,7466 27 X3 وو X4 = - 91,34, y = 539,8677 x = 100,87, y=+783,4415 101,400, 553,030, 779,730. Es ergeben sich daher folgende Werthe für die Differenzen: d₁ = Y₁ — y₁ = + 24,4691, وو Y3 1 وو Y4 - 27 y5 = d₂ = y2 Y2' = Y3 - Y= 6,5733, 27,3466, d₁ = Y₁ - Y₁ = +13,1623, = - 3,7115, und die algebraische Summe derselben s = Σ (δ) = 0. Die der soeben benützten allgemeinen Formel 1.) entsprechende specielle Formel, welche allerdings nicht die gewünschte Form besitzt, gibt, wie man sieht, entschieden bessere und besser ausgeglichene Werthe, als die der allgemeinen Formel 2.) entsprechende, daher die gewünschte Form besitzende Formel: y - 222,39394 + 24791,70002 126,64752-x' und zwar einfach aus dem Grunde, weil sie die grössere Anzahl von Constanten enthält. Will man jetzt die Constanten der letzteren Formel noch weiter verbessern, so hat man nur, wie folgt, das bereits angewendete Ver- fahren zu wiederholen. Man sucht nämlich neuerlich jene von den vorigen wohl zu unter- scheidenden Verbesserungen (a, ẞ und 7), welche beziehungsweise zu den bekannten Constantenwerthen: A = 222,39394, B = 24791,70002 und C = 126,64752 hinzugegeben werden müssen, damit die Formel im bekannten Sinne richtig werde. Für die Berechnung derselben sind wieder vor Allem nach der Formel: β B = (1 + α ²² a) + a + (α = α) — (C-x)" y = c Cx (C-x) worin d By ist, aus den Versuchswerthen die fünf Bedingungs- gleichungen aufgestellt und aus diesen die drei auf Seite 120 ange- führten Normalgleichungen abgeleitet zu denken. Da im Einklange mit Seite 123 aber unter Berücksichtigung einer grösseren Anzahl von Decimalen, aus der obigen Formel und zwar: 126 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. für x1 - 0,00, y = 26,6404030 statt y₁ = 4,525, 29 X2 = X3 27 X4 27 X5 - = 23,85, y2 = + 18,7762752 52,12, y = + 110,2576767 91,34, y=+ 479,7709250 100,87, y = + 739,3626610 وو 29 Y2 22,240, = Y3 101,400, Y₁ = 553,030, Y4 Y5 779,730, = also folgende Werthe für die Differenzen (y-y') erhalten werden: d₁ = y₁ — y₁ =+ 31,1654030, - d₂ = Y2Y2 = d3=Y3 бл = d = — Y3 — Y₁- Y₁ = = 3,4637248, 8,8576767, 73,2590750, Nó | 40,3673390, so ergibt sich vorerst als Werth des Symboles: Σy-y')+139,3978651. Da nun ferner nach Ausführung der nöthigen Rechnungen hier: Σ(1) = 0,098157728490, Z-0,0026441194411, 1 3 = €0,0000849297159, X 1 4 (a)- 0,0000029535591, - Σ {( − 1 ) ( 1 )} = +3,801799300, {(-1) (±)")=+0,120192413 C werden, so erhält man nach den schon bekannten und auf Seite 120 angegebenen allgemeinen Normalgleichungen folgende specielle: 139,397865100 = 3,801799300 = 0,120192413 = 5a + 0,09815772349008-0,00264411944118, 0,0981577234900 a + 0,0026441194411 6 - 0,00008492971598, — 0,0026441194411a + 0,0000849297159 ß - - 0,0000029535591 8, - aus welchen sich nachstehende Werthe für die Verbesserungen ergeben: 29,120053, ẞ= 4902,507449, 8=74210,277548, α = - und, da 8 y = = B 74210,277548 24791,70002 ist, y = 2,993351. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 127 Es lautet daher die neue Formel mit den neuerlich verbesserten Constanten: oder: 24791,70002 +4902,507449 y = (-222,39394-29,120053) + (126,64752 +2,993351) - ∞ ' y=-251,51399 + 29694,20747 129,64087 - х und gibt selbe: für x1 46 دو X2 X3 = 0,00, y₁ = - 23,85, y2 = + 52,12, y = + 131,5339 22,4643 statt y₁ = 4,525, 29,1738 29 Y2 = 22,240, y3 = 101,400, 27 X4 27 X5 27 Y4 - وو y5 1 553,030, 779,730. = = 91,34, y=+ 523,7740 100,87, y=+780,5787 Die Differenzen betragen somit: d₁ = y₁ = y₁ = +26,9893, — d2 = Y2 - Y₂ 82 3 1 — 6,9338, - 30,1339, d₁ = Y ₁ = Y s = +29,2560, 84 85 = Y5 - Yo y = 0,8487, und die algebraische Summe derselben ist: S= -Σ(δ) = + 18,3289. Vergleicht man diese Resultate mit jenen, welche die Formel vor der neuerlichen Constantenverbesserung gab, so zeigt sich nach zwei Richtungen hin eine thatsächlich erzielte Verbesserung, indem einer- seits die Maximaldifferenz jetzt nur mehr -30,1339 gegen + 73,2590, andererseits die Differenzensumme jetzt nur mehr + 18,3289 gegen +139,3978 im früheren Falle beträgt. Da auch jetzt noch wegen der relativ grossen Zahlenwerthe der Verbesserungen (a, ẞ und 7) die Formel: y = (A + α) + (B+B) (C+r) x 251,51399 + 29694,20747 129,64087-x' nach welcher die obigen Werthe von y' berechnet wurden, nicht iden- tisch ist mit der Formel: y= (A + α) + B+B - By C-x (C - x)2, nach welcher die Bedingungsgleichungen für die Verbesserungen auf- gestellt zu denken waren, so kann ein völliger Ausgleich der Differenzen d wieder nur erwartet werden, wenn die Werthe von y' nach der letzteren 128 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. dieser Formeln berechnet werden, welche mit Rücksicht auf die be- kannten Constantenwerthe jetzt folgendermassen lautet: - 74210,277545 126,64752-x (126,64752-x)2 = Y1 4,525, 21,67729 statt y₁ 29694,20747 y = - 251,51399 + Sie gibt nun: für 21 0,00, y = 1 52,12, y = + 133,55807 91,34, y+529,97338 "" X2 X3 XA X5 = = 23,85, y=+ 30,32451 100,87, y = + 788,74633 22 Y2 22,240, Y3 101,400, = Y₁ = 553,030, Y4 "" y5 779,730. Es betragen somit die Differenzen zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen: d₁ = y₁ Y₁y₁ = +26,20229, Օգ - 82Y2 Y2 - = 83 y3 Y3 d4 - Y4 - - — 8,08451, 32,15807, y=+23,05662, 9,01633, δε Y5 - Ys= und die algebraische Summe derselben s = Σ (δ) = 0. Eine neuerliche Verbesserung der Constanten obiger Formel, nach dem jetzt schon zweimal benützten Verfahren, würde wohl im Stande sein sowohl die einzelnen Fehler für sich, als auch die algebraische Summe derselben noch weiter herabzumindern, aber wohl sicher nicht in dem Maasse, als dies erforderlich wäre, um die Formel praktisch brauchbar zu machen. Es liegt dies, wie schon einmal erwähnt, in der Form der Formel, welche sich für den vorliegenden Fall einfach als ungeeignet erweist. Im Vorstehenden handelte es sich vorwiegend darum, das in der Folge noch mehrfach zu benützende Verfahren der Constantenverbesse- rung zu erläutern, welches immer dann zur Anwendung gelangt, wenn die Normalgleichungen in Bezug auf die in ihnen vorkommenden Con- stanten nicht linear werden, d. h. wenn die Normalgleichungen die Con- stanten nicht blos in der ersten Potenz enthalten, weil die sodann erforderliche Auflösung von Gleichungen höherer Grade auf zu grosse Schwierigkeiten führt. Wollte man, wenn eine Gleichung von der Form:6 B y=A+ C XC schon ziemlich gute, aber noch nicht ganz entsprechende Resultate gäbe, durch Hinzufügung eines entsprechenden Gliedes eine empirische Formel von der Form: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 129 B C D y = A + √² 2 + (C = 2)² х (C-x)² - aufstellen, in welcher das neue Glied offenbar keine bedeutende Rolle mehr spielt, weil es blos corrigirend zu wirken berufen ist, so könnte man die bereits bekannten Werthe von A, B und C beibehalten und hätte sodann nur mehr die Constante D zu bestimmen. Dieselbe lässt sich leicht aus der Normalgleichung: 1 • 1 (y)=(4) + B⋅ Z(c = a) + D · Σ ( 0 = 0)² - C berechnen, welche unmittelbar aus den Bedingungsgleichungen: B Y₁ = A + c - − x₁ + D (C' — x₁)²⁹ Y₂ = A + c B − x2 - D + B D Yn = A + A+ + C-x n (C-xn)² abgeleitet werden kann. Sollte die dadurch erhaltene neue Formel: y = A + B C D + - X (C-x)2' aber dennoch keine ganz befriedigenden Resultate geben, und zwar wohl deshalb nicht, weil die Constanten A, B und C nicht schon von vorn- herein mit Rücksicht auf das nun vorhandene dritte Glied berechnet worden sind, so wird es wieder nöthig, die sämmtlichen Constanten der Formel dadurch zu verbessern, dass man letztere in: y = (A + α) + B+B [(C + r) - x]. + D+8 [(C+y)-x]2 übergehen lässt, worin selbstverständlich a, B, 7 und 8 die bezüglich an den Constanten A, B, C und D anzubringenden Verbesserungen bedeuten. Es spielt dann die früher aufgestellte Formel die Rolle einer (durch Aenderung ihrer Constanten) zu verbessernden Näherungsformel, und mögen daher später die Werthe, welche dieselbe für y gibt, wieder mit y' bezeichnet werden, um sie von den analogen Werthen unter- scheiden zu können, welche sich aus der verbesserten Formel ergeben. Nimmt man, wie dies schon früher auf Seite 118 geschah, an (was, wie man sich zu überzeugen Gelegenheit hatte, wohl nicht immer der Fall ist), dass die erforderlichen Verbesserungen in bekannter Weise klein seien, so wird nach der Taylor'schen Reihe, wenn die zufolge der Annahme verschwindend kleinen Glieder weggelassen werden: Steinhauser, empirische Formeln. 9 130 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. dy' d B y=y'+dy y = y' + α + A dy' B+ 2+ .8, dC dy' d D WO: B D y' = A + c — x + - (C-x)2 und: y= (A + α) + B+B (C+y-x) (C+y-x)2 ist. Da nun hier nach den Lehren der Differenzialrechnung die Diffe- renzialquotienten: D+8 + dy' d A 1 1, = dy' dB C-x' 1 dy B 2 D dC (C-x)² (C-x) dy' dD 1 = (C-x)² β By 2 Dy & + werden, so folgt: oder: y = y' + a + - C - XC (C-x)2 1 y — y' = a + c — — x · ß - C-x (C-x)3 (C-x)' By-8 (C — x)² - 2 Dy (C-x)3 Setzt man jetzt in dieser Gleichung den jedenfalls constanten Werth: (By d), sowie - 2 Dy=9, - so geht selbe schliesslich in folgende über: y = y' = a + 1 1 1 · B+ (C = x)='ε + (C-x)³ P C. х — x)² - nach der aus den vorhandenen n Versuchswerthepaaren die nach- stehenden n Bedingungsgleichungen aufzustellen sind: 1 1 1 Y₁ - Y₁ = a + α Y½ - Y₂ — Y₂ = a + c - x2 C-X1 1 C ·B+ •ε+ (C-x₁)2 - 1 1 ・B+ X2 (C-x2)2 (C — x2)³° Y, 1 1 1 - Yn — Yn = a + . ε + C-xn (C—xn)² х (C-xn)³ 3 in welchen y₁, ya, ys etc. bis yn die beziehungsweise zu X1, X2, X etc. bis gehörigen Versuchswerthe, und y, y2, ys etc. bis yn hingegen jene Werthe bedeuten, welche man aus der obigen durch Aenderung der Constanten zu verbessernden Formel für y' erhält, wenn in der- selben der Reihe nach für x die Werthe x1, x2, x3 etc. bis xn gesetzt werden. Aus den n Bedingungsgleichungen ergeben sich dann nach der Methode der kleinsten Quadrate in bekannter Weise folgende vier Normalgleichungen: n C- 1 3 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 131 1 3 Σ{(-1)(c)}=α-Σ(ca) +B. Σ(0-2)²+ε.Σ(v=a)²+ 1 1 +9· Σ (0 = 0)², C 1 2 - C +9.Σ (1), Ξα 1 3 1 3 C 1 + 1 -x aus denen die Verbesserungen & und ẞ, sowie die Constanten & und berechnet werden können. Aus den beiden vor Kurzem angeführten Gleichungen: - 2 Dyg und - (By-8)= & ergeben sich dann noch die Verbesserungen und wie folgt: ф γ und 8 = ф = & · B = ε By. 2 D 2 D ф Man gelangt endlich mit Hilfe dieser Zahlenwerthe zu der die ver- besserten Constanten enthaltenden Formel: y = (A + α) + B+B (C + y) - x + D+8 [(C+r) — x]²' - oder: y = a + b d (c-x)' + C х - welche die Versuchswerthe wieder nur dann so gut geben wird, als dies überhaupt eine Formel von der gewünschten Form zu thun vermag, wenn sich für die Verbesserungen a, ß, y und & thatsächlich so kleine Werthe ergeben, dass die bekannte Annahme, auf der das ganze Ver- fahren beruht, als zutreffend angenommen werden kann. So lange dies nicht der Fall ist, so lange resp. so oft ist das immerhin mühsame Verfahren zu wiederholen. Hätte man directe, also ohne Zuhilfenahme der zweigliedrigen For- mel, eine dreigliedrige von der Form: y = A + B D + C-x (C-x)² aufstellen wollen, so würde man selbstverständlich vor Allem Näherungs- werthe für die Constanten A, B, C und D gebraucht haben, um die- selben in bereits bekannter Weise verbessern zu können. Zum Zwecke der directen Aufsuchung dieser Näherungswerthe hätten dann aus vier Versuchswerthepaaren nach der allgemeinen Formel die entsprechenden Bedingungsgleichungen aufgestellt werden müssen. 9* 132 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Da diese Gleichungen aber, weil C im Nenner erscheint, in Bezug auf die in ihnen als Unbekannte erscheinenden Constanten nicht vom ersten Grade sind, so würde die Berechnung der letzteren grosse Schwierigkeiten bereiten. Es ist daher gerathen, wie dies bereits gezeigt wurde, doch von der zweigliedrigen Formel auszugehen und erst mit Zuhilfenahme der- selben auf die dreigliedrige überzugehen, was überdies den Vortheil gewährt, dass man vor Ausführung der umständlicheren Rechnungen schon zu einem ungefähren Urtheil darüber gelangt, ob die Form der Formel überhaupt dem vorliegenden Fall genügend angepasst erscheint. Den Gang und Umfang der in einem solchen Falle durchzu- führenden Rechnungen, sowie gewisse nicht unwichtige Erscheinungen wird man aus folgendem Beispiel zu ersehen vermögen. Es soll aus der früher aufgestellten und bereits verbesserte Con- stante enthaltenden zweigliedrigen Formel: y = =-251,51399 + 29694,20747 129,64087-x' B y=A+ C-x deren allgemeine Form: ist, eine dreigliedrige Formel: B D y = A + + C-x (C-x)' oder wenn nöthig: h d y = a + + C х (e-x)2 abgeleitet werden. Lässt man, vorläufig bei der ersteren dieser beiden dreigliedrigen Formeln verbleibend, für A, B und C jene Werthe gelten, welche diesen Constanten nach der zweigliedrigen Formel zukommen, so ist nur mehr die Constante D zu berechnen. Hiefür hat man die auf Seite 129 angeführte Normalgleichung, aus welcher: D= Σω-Σω- Σπ Στ 1 folgt. Da nun nachstehende Versuchswerthepaare vorliegen: Jx₁ = 0,00 X2 1 23,85 - 52,12 ly₁ = 4,525' ly₂ = 22,24' lys y3 101,40' = 91,34 x = 100,87 ly₁ = 553,03' y = 779,73 und die Constanten A, B und C folgende Werthe besitzen: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 133 A = 251,51399, B = +29694,20747 und C = + 129,64087, so erhält man für die zur Berechnung der Constanten D erforderlichen Symbolwerthe die jetzt der Reihe nach aufgeführten Zahlenwerthe: ferner: und (y) = Y₁ + Y₂ + Y3 + Y₁ + Y5 = + 1460,925, Σ(4) = A+ A+ A+ A+A = 5 A Σ (a)=0,090932425794 Σ 1 - - 1257,56995, 11 0,00220501407381, weil: 1 C-X1 C- 1 - 1 X2 C-X3 = 0,007713616856 11 0,009452611553 0,012899752028 1 C-X4 0,026109067496 1 = 0,034757377861 C-X5 beziehungsweise: 1 (c) = 0,00005949988501 1 X1 2 = (c) = 0,00008935186517 1 2 (c) = 0,00016640360240 C - (c)-0,00068168340550 1 C --- sind. Es wird daher: D= schliesslich: X5 2 ) = 0,00120807531573 1460,9251257,56995 29694,20747 0,090932425794 0,00220501407381 D=8312,2519535, und geht in Folge dessen obige zweigliedrige Formel vorläufig in nach- stehende dreigliedrige über: y = - 251,51399 + 29694,20747 + 129,64087 х 8312,2519535 (129,64087-x) 2 Aus derselben wird: 134 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. für x1 = 0,00, y = 22,46425077+ 0,49457802 - -- 21,96967275, "1 X2 23,85, y2 = + 29,17381857 +0,74271520 وو 66 وو 27 = X3 = X4 = =29,91653377, 52,12, y = +131,53392301 + 1,38318867 +132,91711168, 91,34, y = 523,77407705 + 5,66632420 + 529,44040125, = X5 100,87, y = +780,57880630 + 10,04182637 = = =+790,62063267, wobei ersichtlich gemacht wurde, welche Resultate die zweigliedrige Formel gibt, sowie welche Werthe für das dritte Glied beziehungs- weise hinzuzufügen sind. Es ergeben sich nun zwischen den analogen Versuchs- und Rech- nungswerthen folgende Differenzen: d₁ = y₁ — y₁ = +26,49467275 d₂ = Y2 - Y₂ = d3 = Y3 - Ys Y3-Y3' = d₁ = Y₁ - Ys 84 - 1 = = deren algebraische Summe: beträgt. S= - 7,67653377 - 31,51711168 + 23,58959875 - 10,89063267, - (d)=(y-y') = — 0,00000662 Man sieht vor Allem in der von Null so wenig verschiedenen Fehlersumme die Wirkung der Berücksichtigung so vieler Decimalen in der Rechnung. b - d Will man jetzt, da die Formel wegen der grossen Werthe der Differenzen & nicht entspricht, auf die Formel y = a + + C- XC (c-x)2 übergehen, nämlich sämmtliche Constante der Formel verbessern, indem man A in (A + a) = a, B in (B+6)=b, C in (C+y)= c, end- lich D in (D+8)= d übergehen lässt, wo a, B, 7 und d die er- forderlichen Verbesserungen bedeuten, so hat man unter der bekannten Voraussetzung, dass dieselben sehr klein seien, nach früher (S. 131) folgende Normalgleichungen: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 135 2 1 3 Σy - y) = n a + p · Z(1) + ε · Σ(1)² + · Σ (c = a)³, 1 - 1 =α 1 Σ +B. C - 1 3 C 1 — 1 2 +ε·Σ(0 = 2)²+9·Σ (6=~)", — 1 1 3 + Σ{[(-1) (-)") = a.Σ(c =)²+B · Σ(a)" + C =α C 1 4 B. Z C - 5 +ε · Σ (0 = 2)² +9⋅ Σ(1)", C 1 ф Σ C - 1 Σ {[(-1) (+)") = «·Σ(-a)²+ ·Z (ca)² + =α C X 1 5 1 6 +ε Σ ·Σ ( c = 2)² + 9 · Σ (c=a); C - C mit Hilfe deren die Verbesserungen berechnet werden können, da überdies: also sind. - - (By 8) = ε und - 2Dy=9, d=+ By und 2 = -- ф 2D Es sind nun ausser bereits auf den Seiten 133 und 134 an gegebenen Werthen noch folgende Zahlenwerthe erforderlich: 3 (-) 0,000000458959313 = (-2)=0,000000844608472 1 3 (c) = 0,000002146564206 C - (c)=0,000017798118044 (c)=0,000041989530232 1 4 1 3 (c) = 0,000063237780267; - (c) 0,000000003540232 1 (c) = 0,000000007983751 - (c)=0,000000027690158 1 (c) = 0,000000464692262 C 1 (c) = 0,000001459445961 (0,000001963352364; 136 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 1 5 (c) = 0,0000000000273078 C -- 1 5 c) = 0,0000000000754670 X2 C 1 5 0,0000000003571957 C X3 1 5 = 0,0000000121326815 - X4 0,0000000507265147 1 X5 5 5 Σ (6)= 0,0000000633191667; (c) = 0,00000000000021062 1 X1 (c) = 0,00000000000071334 C X2 1 6 (c) = 0,00000000000460774 C 1 (c = =) ° C 1 6 = 0,00000000031677300 6 (0-2)° C-X5 = 0,00000000176312064 C 1 1 (y-1) (c) (y2 - 1 = 0,00000000208542534; +0,204369747 (1₂ — 12') (a) = 0,072563290 - C 1 - (Ys — Ys) (cx) = 0,406562925 1 (Y₁₁) (c) = +0,615902425 C 1 (15-15) (c) = C -- 0,378529832 1 - {(y-y')(a)} = 0,037383875; 1 (v₁-y₁) (c) = +0,001576427 C - (Ys — Ys') - C 1 2 0,000685912 X2 1 2 0,005244562 X3 — 1 2 (V₁ — Y₁) (ca)² = +0,01,6080635 - II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 137 1 2 (15-15) (0-α)² - 25 0,013156703 {-')(-)--0,001430115; 3 = (v-vi) (c) +0,000012158 (Y2Y2 C 1 — X2 3 1 3 (Ys - 13) (c = - X3 1 3 - - 0,000006581 0,000067653 (Y₁ — Y₁') (cx,) = + 0,000419847 1 3 |— (1%-96) (c = x ) = 0,000457290 - Σ {(y = y') (c = a)" } = 1 0,000099519. Auf Grund dieser Zahlenwerthe gehen, weil noch überdies n— = 5 ist, die allgemeinen Normalgleichungen in folgende specielle über: · - 0,000006620=5a+ 0,090932425794 ß+ +0,00220501407381 +0,000063237780267 q, • • - 0,037383875=0,090932425794 a +0,00220501407381-ẞ+ +0,000063237780267 +0,000001963352364 9, • 0,0014301150,00220501407381 a +0,000063237780267 B+ +0,000001963352364 +0,0000000633191667-q, · - 0,000099519=0,000063237780267 a+ 0,000001963352364 p+ +0,0000000633191667 +0,00000000208542534.q. Sie geben nun direct: weiter aus 7 = ф 3 = • 43780660,35505 +2860359,36566 B = α = + ዋ — 2 D 55526,17787 302,11781, und 8 By: = 2=+ 2633,50176 d=81060106,99970. Es nehmen daher die Constanten der Formel mit Rücksicht auf die Verbesserungen folgende Werthe an: 138 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. a = A + α=+ a 50,60382 25831,97040 2763,14263 d=D+8+81068419,25165, b=B+B=- c=C+r=+ so dass dieselbe jetzt lautet: 25831,9704 y = 50,6038 Sie gibt nun: für x1 = 0, y₁ = + 50,6038 X2 - 52,12, y = + 50,6038 17 وو X3 X 4 = 81068419,25165 + (2763,14263-x) (2763,14263-x)2 9,348710,6180 + 51,8731 = 23,85, y2 = + 50,60389,4307 + 10,8037 = + 51,9768 +50,6038-9,5285 + 11,0302 91,34, y=50,60389,6683 + 11,3564 x5 = 100,87, y = 50,6038-9,7029 +11,4379 = +52,1055 + 52,2919 = + 52,3388. Es ergeben sich mithin zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen folgende Differenzen: Ysy' = 101,400 d₁ = y₁ - Y₁ 4,525 - 51,8731 1 - 47,3481 d2 = - Y2Y2 22,240 - 22,240-51,9768 = 29,7368 d3=Y3 Y3 101,400-52,1055 = + 49,2945 4 Y4 d5 = Y5y=779,730 — 52,3388 - — d₁ = Y₁ — Y₁ = 553,030-52,2919 = + 500,7381 = + 727,3912, deren algebraische Summe s = (8)= +1200,3389 beträgt. Dieses geradezu verblüffende Resultat, welches eine enorme Ver- schlechterung der Formel nachzuweisen scheint, lässt vor Allem die Richtigkeit der umfangreichen Zahlenrechnungen bezweifeln. Um sich diesfalls eine Controlle zu verschaffen, welche mindestens mit grosser Wahrscheinlichkeit die Richtigkeit der obigen Constanten- werthe bestätigt, wird es zweckmässig sein, wieder auf jene Formel zu- rückzugehen, für welche eigentlich diese Werthe berechnet worden sind. Es ist dies offenbar die auf Seite 130 angegebene Formel: δ β y=y' + a + C х By (C-x)² (C- x)³ 2 Dy - + (C − x)² › - worin: B D y' = A + + C-x (C-x)2 war. B D (C-x)² Man kann daher erstere Formel auch schreiben wie folgt: y = A +c=x+ +α+ B (C-x) By (C-x)² - 2 Dy δ - + (Cx)3 (C-x)². oder: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 139 B+B C - X 8- By = & y = (A + a + c = x + oder endlich weil: sind: y = (A + a) + Diese Formel gibt nun, der Constanten einsetzt: für 1 - D+8-By (C-x) und 2Dy = 9 D+ & 2 Dy (C-x)³ ф B+ B + + C-x (C-x)² (C-x)3 wenn man die bekannten Zahlenwerthe 29 وو وو 0,00, y₁ = 1,93798 statt y₁ = 4,525 X2 = 23,85, y2 = 25,76788 29 Y2 = 22,240 X3 52,12, ys 100,75713 29 Y3 101,400 91,34, y=552,46765 27 Y4 = Y5 = X4 X5 = 100,87, y = 779,99429 553,030 779,730, also folgende Differenzen zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen: d₁ = y₁ = y₁ = +2,58702 - d₂ = Y2 - Y₂ = — = - 3,52788 Y3 -y=+0,64287 84 = Y4 - Y₁ = +0,56235 = = Y5 - Yo = - 0,26429, deren algebraische Summe s = (8) = +0,00007 beträgt. Nachdem diese Formel die Rechnungswerthe mit relativ kleinen Fehlern behaftet gibt, die sich überdies ganz vorzüglich ausgleichen, so ist kein Anlass vorhanden, die Richtigkeit der Constantenwerthe, sowie jener Zahlenwerthe, welche zu denselben führten, zu bezweifeln, und es kann daher der Misserfolg nur durch den Umstand erklärt werden, dass die Verbesserungen nicht kleine Werthe besitzen, was ja dem Verfahren zufolge sein soll. Betrachtet man jetzt die Sache aber genauer, so kommt man zur Erkenntniss, dass die aufgewandte Mühe denn doch nicht völlig erfolglos geblieben ist, weil die Formel vorerst gewissermassen ge- wendet, nämlich bezüglich der Zeichen in jene Form gebracht wurde, welche sie mit Rücksicht auf die drei Glieder, die sie nun besitzt, noth- wendig anzunehmen hat. Die Aenderung der Zeichen im ersten und zweiten Gliede ist nothwendig und hätte dieselbe schon von vorneherein abgesehen werden können, da die blosse Zugabe eines positiven oder eines negativen Gliedes zur zweigliedrigen Formel dieselbe nicht wesentlich zu ver- bessern vermöchte, weil dadurh nicht blos, die zu kleinen, sondern 140 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. auch die zu grossen Werthe, welche die Formel gab, im ersteren Falle vergrössert, im letzteren verkleinert werden würden. In dieser Beziehung ist also die Formel thatsächlich verbessert worden und bedürfte es nur einer mehrmaligen Wiederholung des aller- dings sehr mühsamen Verbesserungsverfahrens, um die Formel wenig- stens annähernd dahin zu bringen, wohin sie überhaupt zu bringen ist. Die Mühsamkeit der Aufstellung von Formeln, welche die zuletzt besprochene Form besitzen, bei denen nämlich wegen der einen Con- stanten im Nenner die sämmtlichen Constanten nicht direct, sondern nur durch successive Verbesserung erhalten werden können, ist wohl die Ursache, dass man Formeln dieser Art womöglich aus dem Wege geht und selbe nur dann anwendet, wenn das fast genaue Bestehen eines Reciprocitätsgesetzes nachgewiesen werden kann. Mit den zuletzt behandelten Formeln steht in naher Beziehung die relativ einfach aussehende Formel: y= a + cx b + dx' welche wegen der relativ grossen Anzahl von Constanten, welche sie enthält, als sehr verwendbar angesehen werden könnte. In Bezug auf dieselbe ist aber vor Allem zu bemerken, dass sie eigentlich eine Formel mit nur drei Constanten vorstellt, da man ja Zähler und Nenner durch eine der vorkommenden Constanten, und zwar am besten durch die beim x im Nenner erscheinende, dividiren kann, wodurch man dann neue und zwar drei Constante erhält. So ist: a a + c x d C + X d y = b + dx b +x d = α + 7 x B + x und wird daher nur letztere Formel weiter zu behandeln sein. Nimmt man nun vorerst, um über die Natur der Curve ins Klare zu kommen, welche der Gleichung: y = α + y x B+ x entspricht, wieder eine Transformation der Coordinaten vor, indem man, wie dies schon auf Seite 109 und früher einmal geschah, auf ein parallel liegendes System übergeht, dessen Ursprung aufs alte System bezogen m zur Abscisse und n zur Ordinate hat, so ist bekanntlich für x und y nur beziehungsweise (x+m) und (y+n) zu setzen, um die Gleichung der betreffenden Curve im neuen System zu erhalten. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 141 Es wird dann: (y + n) = = x + y (x + m) B+ (x + m) " oder nach der Beseitigung des Bruches, wenn überdies die Glieder in passende Gruppen zusammengefasst werden: also: xyty (B+m) + (n − ?) = (a tam - Bn - m). Wählt man jetzt das neue System so, dass: B+m=0 = 0 und n — y = 0, m -B und n = y werden, so geht die Gleichung in die weit einfachere: xy=(atom – Ba - mn) + vm Bn-mn) - und bei Berücksichtigung der Werthe von m und n in: - xy = (α- By By - Br) oder: endlich in die Gleichung: xy= (α- 3ẞy), xy= =m= Const. über, welche nach dem Vorhergehenden (Seite 109) wieder einer gleich- seitigen Hyperbel entspricht, deren Asymptoten die Axen des neuen Systemes bilden. Schreibt man die ursprüngliche Formel jetzt wie folgt: y' = a + cx b + x ' um die griechischen Buchstaben für die Verbesserungen zu reserviren, so hat man behufs Aufstellung einer speciellen Formel unter Berück- sichtigung vorliegender Versuchswerthepaare vor Allem drei Bedingungs- gleichungen: a + c x ₁ y b + x 1 Y2 a + c x 2 = ys' = b + x2 a + c x 3 b+xz aufzustellen, um aus denselben zu Näherungswerthen für die Con- stanten zu gelangen. Man hat hiebei ganz ähnlich zu verfahren, wie dies bereits auf Seite 112 angegeben worden ist. Hat man nun Näherungswerthe für a, b und e gefunden, so handelt es sich noch darum, dieselben zu verbessern, indem man sie beziehungsweise in (a + a), (b + B) und (c + y) übergehen lässt. 142 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Es geht dann, wie in früheren Fällen, die Näherungsformel: a + c x y' = = b + x in die richtigere: y = (a + a) + (c + y) x (b + B) + x über, welche unter der bekannten (auf Seite 118 bestimmter ausge- drückten) Annahme, dass die Verbesserungen kleine Werthe seien, nach der Taylor'schen Reihe, wie folgt, entwickelt werden kann: y = y' + ·α + dy' da dy' db • B+ dy' de · γ. Nachdem den Differenzialquotienten hier folgende Werthe zu- kommen: dy' a (a + cx) da b + x da (a + cx) d dy' (a db b+ x db a (a + cx) d a b+ x dc 1 (b + x) (a + cx) (b + x)² dy' dc х (b + x)' so geht die Formel, wenn man überdies den constanten Theil noch auf die linke Seite gibt, über in: y-y' = 1 b + x a + cx • α - X ·γ. (b + x)= · B + (b + x)·2· Hiernach sind aus sämmtlichen n vorliegenden Versuchswerthe- paaren die nachstehenden n Bedingungsgleichungen aufgestellt zu denken: Y₁y₁ 1 1 b + x ₁ α Y2Y2 = 1 Y₂ — Y₂ = b + X2 • α - - a + cx 1 (b + x₁) 2 a + c x 2 (b + x₂) 2 • • B+ B+ X1 (b + x₁) J Xa (b + x₂) γ — 1 Yn − Y n = b + x, a + c xn · α - n х xn (b + x ) = · B + (b + x)·8, 2 aus welchen sich in bekannter Weise die folgenden drei Normal- gleichungen ergeben: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 143 1 1 В [a+cx Σ(0-9)(+2) = a·Σ(6+) - 8.2 (+3)+ — b+ b+x х +r⋅ Z (@+2)²), Σ (b + x)² a. Z{ ]} =α a + cx (b + x)². х a + c x ((b + x)³) +r. Σ{(a + ex); cx)· x (b + x)³ - }, 1(b (a + cx)² 1 β. Στ @ + c); } + Σω-167) = «Σ» - Σ Σ{v-v')(a)} b+x =α Σφ 4) 22 +r⋅ Zlo Στ (b + x)² 2 } [(a+cx)·x) (b + x)3 } + Aus denselben können sodann die Verbesserungen (a, ß und y) berechnet werden. B Die schon auf Seite 7 zur Anwendung gebrachte Formel: y a + x b + x ist zweifellos als specieller Fall der jetzt besprochenen Formel: a + cx b + x y 1 ist, in erstere übergeht. anzusehen, da diese, wenn Setzt man daher in c 11 den obigen Bedingungsgleichungen c=1 und offenbar auch y=0, weil ja c = 1 nicht zu verbessern ist, so gehen dieselben in folgende über: - = = 1 b + x 1 1 b + xx α - α — a + x ₁ (b + x₁) 2 a + x 2 (b + x2)2 .B - 1 Yn − Y n = b + x, α --- n a + x n B, (b+xn)² wold aus welchen sich nachstehende, zur Berechnung der Verbesserungen a und ẞ dienende Normalgleichungen ergeben: Σ -10+1 Σω-1). a + x 1 (b+x) 2 =α Σ Auf Seite 9 ist eine der entsprechende specielle Formel: 1 b+x a + x (b+x)3 — - - a + x a + x 12. (b + x)2 β. Στ allgemeinen Form y a+x = ent- b + x 144 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. p = beziehungsweise y' = = t t - 142,55275 33,61131 y' = = oder abgerundet: angegeben, welche aus - | x₁ = t₁ = 17,8 | y₁ = p₁ = 2,48 - 143+x 34 + c — 142,55275+ x = 33,61131 + x folgenden Versuchswerthepaaren: [ x₂ = t₂ = + 4,2 [x2 Y2 = P₂ = 5,00 [x3=t3 = 16,3 " Y3=P3 = 7,00 x₁ = t₁ = +20,3 P₁ = 8,00 Y4P4 ohne Zuhilfenahme der Methode der kleinsten Quadrate abgeleitet worden ist. Es sind daher die Constanten dieser Formel, nämlich: a= - 143 und b=-34, als ziemlich rohe Näherungswerthe anzusehen, welche gewisser nach dem Vorstehenden aufzusuchender Verbesserungen a beziehungsweise B bedürfen. Da die obige Formel mit den abgerundeten Constantenwerthen: für x, 17,8, y - دو y₁ = 3,104247 statt y₁ = 2,48 - X2 + 4,2, y2 = 4,657718 وو Y₂ = 5,00 وو Y3 = 7,00 = وو Y4 €8,00 X3+16,3, y=7,158192 " x₁ = +20,3, y= 8,956204 x4 gibt, so betragen die zur Aufstellung der speciellen Normalgleichungen erforderlichen Differenzen: = - 0,624247 82 Y2Y2 = Y2 - Y₂ = +0,342282 y3 84 = Y4 Ys - -- 0,158192 0,956204. Nachdem ferner den in den allgemeinen Normalgleichungen er- scheinenden Symbolwerthen zufolge ihrer Berechnung nachstehende Zahlenwerthe zukommen: 1 Σ {(99)⋅ b + x ) = +0,079297 - Σω-υ). ΣΟ 1 + b+ a + x (b + 2)²) = +0,672762 2 Σ (b + x) * = +0,010015 Σ Σ x (+2)+0,076814 (b x) 3 }² = +0,618436, a + x 1 2 (b + x)²) so ergeben sich die folgenden speciellen Normalgleichungen: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 145 + 0,079297 +0,010015 a 0,076814. p + 0,672762 = = . +0,076814 α-0,618436 p, · aus denen die Werthe der Verbesserungen wie folgt resultiren: α= - - 9,001856, B-2,205986. Es lautet daher die Formel mit den verbesserten Constanten: 143 — y' = oder: und gibt selbe nun: für x1 y' = — 9,001856+x 342,205986+x 152,001856 + x 36,205986+x - 17,8, y 3,14413 statt y₁ = 2,48 وو X2 = 29 X3 " x4 = +20,3, y₁ = 8,28002 4,2, y2 = 4,61794 29 Y2 = 5,00 +16,3, y = 6,81714 وو Y3 7,00 22 Y₁ = 8,00. Y4 Es betragen somit die Differenzen zwischen den analogen Rech- nungs- und Versuchswerthen, also die den Rechnungswerthen unter der bekannten Voraussetzung anhaftenden Fehler: - - = - = + 0,66413 0,38206 2 d₂ = Y2 - Y2 d3=Y3 - Ys = 0,18286 8 4 = Y₁ — Y₁ = +0,28002 und die algebraische Summe derselben: S Σ(8) = - 0,37923 . Vergleicht man diese Werthe mit jenen, welche die Formel in der ursprünglichen Form gab (siehe Seite 10 oben), so zeigt sich eine entschiedene Besserung, da die ohnedies kleinen Fehler d, und d₂ nur wenig vergrössert wurden, der weitaus überwiegende Fehler 8 hin- gegen eine ganz wesentliche Verringerung erfuhr. Auch die Fehlersumme hat sich verringert. Durch eine Wiederholung des Verfahrens können selbstverständ- lich die Constanten noch weiter verbessert werden. Auf Seite 16 (unten) ist die in der Besprechung befindliche Formel mit Constantenwerthen angegeben, welche der Hauptsache nach durch versuchsweises ändern der ursprünglich vorhandenen verbessert wurden. Diese specielle Formel hat nun in gewisser Beziehung bessere Resultate wie die zuletzt erhaltene gegeben, indem die Maximaldifferenz zwischen den analogen Rechnungs- und Versuchswerthen auf Grund Steinhauser, empirische Formeln. 10 146 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. der ersteren Formel numerisch kleiner (nämlich 0,611) wie auf Grund der letzteren (d. i. 0,644) wird. Auch die algebraische Summe der Fehler war früher (-0,064) numerisch kleiner wie jetzt (-0,379). Bildet man aber in beiden Fällen die Summe der Fehlerquadrate, so zeigt sich, wie es der Methode der kleinsten Quadrate entspricht, jetzt die kleinere Summe. Es folge nun die Fortsetzung der auf Seite 108 begonnenen Be- sprechung verschiedener Gesetze, welche zwischen den Veränderlichen x und y bestehen können. 2) Die Werthe der abhängig Veränderlichen y seien den zugehörigen Werthen der unabhängig Veränderlichen x gerade oder verkehrt proportionirt. Im ersteren Falle besteht der ausgesprochenen Annahme zufolge offenbar die Proportion: Ym: Yn = Xm: Xn Ym Xm Yn Ꮳ - b, constant. n und sind die Werthe der Quotienten Es wird daher auch für jedes andere y und zugehörige x die Proportion: bestehen, woraus wegen folgt. Yn X n Y: Yn = X: Xn — b, y = bx Die abhängig Veränderliche y stellt somit in diesem Falle immer ein gewisses Vielfache (nämlich das bfache) der zugehörigen unab- hängig Veränderlichen x dar, und kann diese Eigenschaft dazu benützt werden, eine Reihe von Versuchswerthepaaren in einfacher Weise auf das Bestehen des ausgesprochenen Gesetzes zu prüfen. Der Formel y = bx entspricht bekanntlich eine durch den Ursprung gehende Gerade. Das Gesetz der Proportionalität kann auch verdeckt erscheinen, wenn die Beziehungscurve als Gerade nicht durch den Ursprung geht, daher: = a + bx y = zur Gleichung hat. Es ist sodann: y—a=bx und tritt das Gesetz erst bemerkbar hervor, wenn von allen bekannten Werthen des y eine und dieselbe (immerhin nicht von vorneherein bekannte positive oder negative) Constante a abgezogen wird. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 147 Den Werth von a kann man entweder annähernd der graphischen Darstellung der Beziehungscurve entnehmen, indem dieser Constanten jenes (+) Stück der Ordinatenaxe entspricht, welches zwischen dem Ursprung und jenem Punkte liegt, in welchem diese Axe von der Beziehungscurve (welche im vorliegenden Falle geradlinig sein müsste) durchschnitten wird, oder aus irgend zwei nach der Form y = a + bx aufgestellten speciellen Bedingungsgleichungen berechnen. Man wird wohl an vorliegenden Versuchswerthepaaren selten das Gesetz der Proportionalität zwischen den Veränderlichen ganz genau bestehend vorfinden. Sofern dasselbe selbst in der verdeckten Form nur angenähert besteht, kann zu den zwei Gliedern der Formel noch ein drittes hinzu- gefügt, nämlich auf eine Formel von der Form: y= a + bx + cx² übergegangen werden, welche schon früher (auf Seite 42 und weiter) genügend ausführlich abgehandelt worden ist. Im zweiten der oben ausgesprochenen Fälle, wo nämlich die Werthe der y den zugehörigen Werthen der x verkehrt proportionirt sind, be- steht die Proportion: = Ym: Yn Xn: Xm, derzufolge die Producte ym m = Yn Xn b constant sind. Es wird daher auch für jedes beliebige y und zugehörige x die Proportion: Y: Yn Xn: X bestehen, aus welcher wegen xn Yn = b, b y = х folgt. Da dann ? y 1 b XC so ist ein gewisser constanter Theil (der bte) von y immer dem zugehörigen x reciprok. Es entspricht sodann der Formel y b XC nach Seite 109 eine gleichseitige Hyperbel. Das soeben besprochene Gesetz kann auch verdeckt erscheinen und wurde das Diesbezügliche, wie der Uebergang auf die Formeln von der Form: b y = a + oder y = a + х b etc. C - х bereits in ausreichender Weise (auf Seite 110 und weiter) besprochen. 3) Die abhängig Veränderliche y wächst nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Ver- 10* 148 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. änderlichen x nach einer anderen derartigen Reihe derselben Ordnung fortschreiten. Sind: X₁ = X1, X2 = x₁ + dx, Xz = x₁ +2dx, x₁ = x₁ + 3dx, ... Xn = x₁ + (n-1) dx die Glieder der arithmetischen Reihe, nach welcher die unabhängig Veränderliche x mit der Differenz & fortschreitend gedacht wird, ... Y₁ = Y₁, Y2 - Y₁ + dy, Y3 = Y₁ +2dy, Y₁ = Y₁ + 3dy, Y₁+3dy, .. .. Yn = Y₁ + (n - 1) dy die aufeinander folgenden Glieder jener arithmetischen Reihe mit der Differenz dy, welche die zugehörigen Werthe der abhängig Veränder- lichen y bilden, so ist: — Xn = x₁ + (n − 1). dz und ebenso der zugehörige Werth von y nämlich: Yn = Y₁ + (n-1).dy. Löst man jede der beiden Gleichungen für (n-1) auf, um durch Gleichsetzen der beiden Werthe das n zu eliminiren, so wird vorerst: also: Yn = Yn Y1 dy dx d • y - xn X1 dx d y x₁). x + (1 - 2/2.x). Xn dx Setzt man jetzt für die zweifellos constanten Werthe einzelne Buchstaben, nämlich: y - b und Y1 - . d d C so wird: Yn X1 )=(y₁bx) = a, = a + bxn, oder nach dem Weglassen der jetzt überflüssigen Zeiger: y = a + bx, WO: d dy y b und a= dx (x)=(y+ba) sind. d Die vorstehende Gleichung, nach welcher sodann die empirische Formel aufzustellen wäre, entspricht wieder einer geneigten, also beide Coordinatenaxen schneidenden Geraden. Für den Fall, dass die Werthe von y nach einer arithmetischen Reihe abnähmen, hat man offenbar in der obigen Formel nur für dy zu setzen. Es wird dann: - - dy II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 149 dy oder, wenn dx Yn dy d X . dy In + (1₁ + 2/2.x,₁) Xn dx b und (y + bx) = a gesetzt werden: - Yn = a - bxn, endlich nach dem Weglassen der Zeiger: ya bx, was wieder einer geneigten Geraden entspricht. Würde das Gesetz nicht genau, sondern nur näherungsweise be- stehen, so kann, ähnlich wie in vorhergegangenen Fällen, ein passendes drittes Glied beigefügt, also in bereits bekannter Weise die empirische Formel in der Form: y = a + bx + cx² aufgestellt werden, in welcher sie bekanntlich einer Parabel entspricht. Die Untersuchung der Versuchswerthe auf das oben ausgesprochene Gesetz kann am einfachsten durchgeführt werden, wenn die bekannten nämlich gegebenen Werthe von x nach irgend einer arithmetischen Reihe fortschreiten. Da dies aber in den seltensten Fällen nicht schon ursprünglich der Fall sein wird, so suche man, wie dies schon auf Seite 107 angegeben wurde, aus den Versuchswerthen durch graphische Interpolation zu zwei Reihen zusammengehöriger Werthe von x und y zu gelangen, von denen die Reihe der x (kurz gesagt die x-Reihe) eine arith- methische Reihe erster Ordnung, die der y aber eine Reihe darstellen, welche sodann leicht auf das bezügliche Gesetz untersucht werden kann. Bestünde das Gesetz thatsächlich, so müssten offenbar je zwei unmittelbar aufeinander folgende Werthe von y eine constante Diffe- renz dy geben, da ja ― Yn Yn-1 = - [y₁ + (n − 1) dy] — [y₁ + (n − 2) dy]=dy ist. Es erübrigt jetzt noch die Erörterung einer in der Folge in ähnlicher Form wiederkehrenden wichtigen Frage, welche im vor- liegenden Fall immerhin vom geometrischen Standpunkte aus allso- gleich beantwortet werden kann. Schreiten nämlich die y nach einer gewissen arithmetischen Reihe erster Ordnung fort, wenn die zugehörigen x eine gewisse andere solche Reihe bilden, so ist es eigentlich fraglich, ob die y auch dann noch nach (irgend) einer arithmetischen Reihe erster Ordnung fort- schreiten werden, wenn sie zu x gehören, welche eine andere der- artige Reihe wie früher bilden. Die Beantwortung dieser Frage ist deshalb wichtig, weil man im bejahenden Fall bei der Untersuchung der Versuchswerthe auf das jetzt in der Besprechung befindliche Gesetz die x nach einer ganz beliebigen 150 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. arithmetischen Reihe erster Ordnung fortschreiten lassen kann, im verneinenden Fall aber nicht wüsste, nach welcher Differenz da die x fortschreiten müssen, damit das Gesetz der Fortschreitung der zuge- hörigen y nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung zum Vor- schein kommt. Wächst y nach einer arithmetischen Reihe mit der Differenz dy, wenn x nach einer solchen mit der Differenz de fortschreitet, so ist nach früher das zu Xn = x₁ + (n − 1) dx d gehörige y, nämlich: dy Yn = Y₁ + (n-1) dy • = Xn+Y₁ dx +(1/1 d y • x₁). Lässt man jetzt aber x etwa nach einer arithmetischen Reihe mit der Differenz & wachsen, so ist irgend ein Glied derselben z. B. das mte - Xm = X₁ + (m − 1) d und nach dem Vorhergehenden das zugehörige y, nämlich: oder: dy Ym endlich: dr Ym = dy d Xm +( [x, + (m − 1)d] + (y₁ d - d dy X1 d dy. 21 dx X1 dy -2-2--2--2- d = d + тб d dx + d dy 8, dx Ym = Y₁ + (m − 1). • = X17 also Ym offenbar gleich den mten Gliede einer arithmetischen Reihe erster Ordnung, deren Differenz d y .dist. dx Es wird demnach bei der Untersuchung der y-Reihe das be- sprochene Gesetz, sofern es besteht, immer zum Vorschein kommen müssen, man mag die x nach was immer für einer arithmetischen Reihe erster Ordnung fortschreiten lassen. Diesem Ausspruche zufolge ist es ganz gleichgültig, in welchen gleichen Abständen man bei der etwa vorausgehenden graphischen Interpolation die Ordinaten zieht. 4) Die abhängig Veränderliche y schreitet nach einer arithmetischen Reihe zweiter Ordnung fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine solche Reihe erster Ordnung bilden. Ist y₁ das erste Glied, a das erste Glied der ersten und d, die constante Differenz der zweiten Differenzreihe jener Reihe, welche von denjenigen y gebildet wird, die beziehlich zu den mit der Differenz de II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 151 fortschreitenden x gehören, so ist das nte Glied dieser y-Reihe be- kanntlich: Yn Y₁ + (n-1) a + (n-1) (n-2) 1.2 .dy und das zugehörige x, d. i. das nte Glied der x-Reihe: Xn = x₁ + (n-1). dx. Eliminirt man aus dem Werthe von yn das n, indem man für dasselbe den aus xn resultirenden Werth: n = х cn-x1 dx +1 setzt, so wird: dy dy - a dx dy 2dx dy 2d 2 x 2 dx d 2 • Xxn Yn Y1 - +(9 20 20 + dy 2d 2 C · 2 x², Xn 1 oder, wenn für die zweifellos constanten Ausdrücke einzelne Buchstaben gesetzt und die nun überflüssigen Zeiger weggelassen werden: y = A + Bx + Cx². Es führt daher das ausgesprochene Gesetz zu einer Formelform, welche auch schon im Vorhergehenden besprochen worden ist. Würde das besprochene Gesetz der Abhängigkeit zwischen den Veränderlichen x und y nur angenähert bestehen, so könnte wie in früheren Fällen den drei Gliedern der Formel noch ein passendes viertes beigefügt, also auf eine Formel von der Form: y=A+ Bx + Сx² + Dx³ übergegangen werden, deren weitere Behandlung gleichfalls bekannt ist. Bezüglich der Untersuchung der Versuchswerthe auf das jetzt in der Besprechung befindliche Gesetz ist es wieder wichtig in Erfahrung zu bringen, ob es gleichgültig ist, nach welcher Differenz da man die x fortschreiten lässt, oder ob das Gesetz, soferne es besteht, nur dann zum Vorschein kömmt, wenn die x nach einer ganz bestimmten Diffe- renz fortschreiten, welche man aber in diesem Falle nicht kennen würde. Zu diesem Zwecke hat man, was leicht geschehen kann, vorerst die obige Formel für yn, in der n nicht mehr erscheint, in folgende Form zu bringen: a Yn − Y₁ + (x − x1)- = d n dy 2 d x - (xn− xs) + 2d (x − x)° und sich zu erinnern, dass nach früher auch: 2 Yn = Y₁ + (n - 1) a + (n-1). (n-2) 1.2 dy ist. 152 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Lässt man jetzt die x nach einer anderen Differenz, etwa 8 fort- schreiten, so ist irgend ein Glied der x-Reihe z. B. das me also: d Xm = x₁ + (m-1). 8 und das zugehörige y nämlich ym nach der ersteren der beiden vor- stehenden Gleichungen offenbar: a - dy 2 dx Ym = Y₁ + (xmx₁) - (xmx₁) + dx Setzt man jetzt hierin den Werth von xm ein, dy 2d 2 x (xm-x₁)². so wird: a d Ym = Y₁ + a [(m-1).8]. dy dy - - 2 d x [(m − 1)·d] + 2d 2 [(m- 1) 8]³, x oder: d dy 8 Ym=y₁+ a - - d (m − 1) — 22. 2 (m-1) + 2.1 (m-1)". dy 82 d2 = C dr Addirt und subtrahirt man jetzt noch das Glied so folgt: d 82 y • 2 dx 2 (m-1), Ym=y₁ + a. d (m-1) - dy. 8 2 d (m-1) + dy ба 2d 2 (m-1)+ x C dy d... 82 dy. 82 2d 2 (m-1), X δ — d 2 d x dys dx + 2d2 82 y + 2 d x (m-1) [(m-1)-1], endlich: — 2d 2 + (m-1) (m-2) d. 82 1.2 dz d27 oder: + (m − 1)2 — y 2d 2 — Ym = y + (m − 1) [a 20 Ym=Y₁ + (m − 1) [(2 ad―džđ‚†Ã¸ð). dxdy also dass ym gleich dem mten Gliede einer arithmetischen Reihe zweiter Ordnung wird, deren erstes Glied ₁, deren erstes Glied der ersten Differenzreihe: - · б [(2 ads - dyde + dy · 8 ) ⋅ 2 d³] endlich deren constante Differenz d. 82 y ist. d 2 C 2d 2 Man mag somit die Glieder der x-Reihe nach was immer für einer arithmetischen Reihe erster Ordnung fortschreiten lassen, so wird doch immer das im Punkte 4 ausgesprochene Gesetz in der zugehörigen y-Reihe zum Vorschein kommen, wenn es überhaupt besteht. 5) Die abhängig Veränderliche y schreitet nach einer arithmetischen Reihe dritter Ordnung fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine solche Reihe erster Ordnung bilden. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 153 Ist y, das erste Glied, a das erste Glied der ersten, b jenes der zweiten Differenzreihe und d, die constante Differenz der dritten Diffe- renzreihe jener arithmetischen Reihe dritter Ordnung, welche die auf- einander folgenden Werthe von y bilden, wenn diese beziehlich zu den mit der Differenz de fortschreitenden x gehören, so ist das nte Glied dieser y-Reihe bekanntlich: - Yn = Y₁ + (n − 1) a + (n − 1) (n − 2) . b'+ (n-1) (n-2) (n-3) und das zugehörige x, nämlich: 1.2 · Xnx₁ + (n-1) dx, wo x, das erste Glied der x-Reihe darstellt. 1.2.3 dy Wird der aus der letzteren Gleichung resultirende Werth von n in die erstere eingeführt, so erhält man, wenn für die jedenfalls con- stanten Ausdrücke der Vereinfachung wegen einzelne Buchstaben ge- setzt und die Zeiger weggelassen werden, die Gleichung: y = A + Bx + Cx² + Dx³, nach welcher sodann die empirischen Formeln aufzustellen wären. Man erkennt nun wohl bereits das Gesetz, nach welchem sich in den Fällen 3, 4 und 5 die Formeln bilden und kann weiter schliessen, dass eine Formel von der (bekannten) Form: y=A+ Bx + Cx² + Da³ + Ex zum Vorschein kommen wird, wenn die y-Reihe eine arithmetische Reihe vierter Ordnung bildet, während die zugehörige x-Reihe eine solche Reihe erster Ordnung ist. Die höheren Differenzen der von den Versuchswerthen unmittelbar gebildeten, oder durch graphische Interpolation erhaltenen y-Reihe werden begreiflicherweise wegen der den Gliedern anhaftenden unver- meidlichen Fehler immer ungenauer, und es kann daher eine Unter- suchung, ob die y-Reihe eine arithmetische Reihe vierter, fünfter etc. Ordnung bildet, wohl nur mehr unsicher gepflogen werden. Würde man die auf Seite 73 erscheinende Figur 9, welche die Spannkraftscurve des Wasserdampfes darstellt, möglichst gross und genau zeichnen, so liessen sich etwa folgende Werthe der Spannkraft aus derselben (also durch graphische Interpolation) entnehmen, und zwar für Temperaturen, welche nach einer arithmetischen Reihe mit der Differenz 10 fortschritten: 154 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Temp. Spannkraft 1. Differ.- 2. Differ.- 3. Differ.- 4. Differ.- 5. Differ.- x° Cels. y Millimeter. Reihe. Reihe. Reihe. Reihe. Reihe. 0 4,53 4,60 10 9,13 3,66 8,26 2,29 20 17,39 5,95 0,91 14,21 3,20 0,38 30 31,60 9,15 1,29 23,36 4,49 0,20 40 54,96 13,64 1,49 37,00 5,98 0,32 50 91,96 19,62 1,81 56,62 7,79 0,28 60 148,58 27,41 2,09 84,03 9,88 0,26 70 232,61 37,29 2,35 121,32 12,23 0,29 80 353,93 49,52 2,64 170,84 14,87 90 524,77 64,39 235,23 100 760,00 Beigesetzt sind die ersten fünf Differenzreihen, aus denen mit Rücksicht auf die Einwirkungen der unvermeidlichen Fehler, welche in den Versuchswerthen stecken und bei der graphischen Interpolation gemacht wurden, erkannt werden kann, dass erst die fünfte derselben die Tendenz zeigt, constant werden zu wollen. Es bilden daher die vorstehenden Werthe der y-Reihe annähernd eine arithmetische Reihe fünfter Ordnung, und würden somit dieselben annähernd wiedergegeben. werden können durch eine Formel, welche die Form: y=A+Bx+ Cx² + Dx³ + Ex¹ + Fx5 besitzt, aber wahrscheinlich nicht mehr entspräche, wenn sich die Ver- suchsreihe auf ein grösseres Temperatur-Intervall erstreckte. 6) Die abhängig Veränderliche y schreitet nach einer geometrischen Reihe fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden. X1 Sind e der Exponent und y, das erste Glied der geometrischen Reihe, nach welcher y fortschreitet und d die Differenz, sowie x₁ das erste Glied jener arithmetischen Reihe erster Ordnung, welche die be- ziehlich zu den y gehörigen x bilden, so ist bekanntlich irgend ein Glied der y-Reihe, etwa das nte: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 155 • Yn y₁· en-1 und das zugehörige x nämlich: - Xn = x₁ + (n − 1). d. den aus letzterer Gleichung resultirenden Werth Führt man jetzt X von (n-1), das ist: n - d X1 in erstere Gleichung ein, so wird: Yn y₁e oder auch, wenn man logarithmirt: 228 - d -X1 endlich: نه بله X1 log Yn = log y₁+ log e, d - 1.loge+ log e . Xn. d d log yn log y₁ = Setzt man für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buch- staben und lässt die jetzt überflüssigen Zeiger weg, so wird: log y = a + bx, wobei die Werthe der Constanten sich aus folgenden Gleichungen ergeben: a= log Yi X1 d 2. log e und b = log e d Würde nun die auf Grund der vorliegenden Versuchswerthe durch- geführte Voruntersuchung zeigen, dass das im Punkte 6 ausgesprochene Gesetz zwischen den Veränderlichen x und y genau besteht, so wären offenbar die Constantenwerthe a und b aus den unmittelbar vorher- gehenden Gleichungen zu berechnen und sodann in die Formel: einzu setzen. log y = a + bx Zeigt sich aber, was wohl weit öfter der Fall sein wird, dass das betreffende Gesetz nur annähernd besteht, so sind die Constanten be- kanntlich so zu berechnen, dass die empirische Formel die ursprünglich gegebenen Versuchswerthe mit möglichst kleinen Fehlern behaftet wieder- gibt. Dies geschieht jedoch nur dann, wenn die Constanten unter Zuhilfenahme der Methode der kleinsten Quadrate berechnet werden. Es geht nun hier nicht an, wie gleich begründet werden wird, die Constanten dadurch direct nach der Methode der kleinsten Quadrate zu berechnen, dass man (was nahe läge), wie in vorhergegangenen Fällen die Bedingungsgleichungen: log y₁ = a + bx₁, log y₂ = a + bx₂, log y = a + bxg, log yn = a + b xn 156 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. und aus denselben in bekannter Weise die zur Berechnung der Con- stanten dienenden Normalgleichungen: (logy) (a)+b. (x), {(logy). x}=a.(x)+b⋅Σ(x²) aufstellt, da dann die Formel mit den derart zu Stande gekommenen Constantenwerthen, entsprechend der Natur der Methode der kleinsten. Quadrate, offenbar für die Versuchswerthe: Rechnungswerthe: • Y1, y2 y3・・・ Yn, Y₁, Y2, Y3. Yn geben würde, zufolge deren nicht die Summe ihrer Fehlerquadrate: (y₁' — y₁)² + (y½ — Y2)² + (Ys' — Y3)2 + ··· + (yn - Yn)² - selbst, sondern die Summe der Quadrate der den Logarithmen der Rechnungswerthe anhaftenden Fehler, d. i.: (logy-logy,)+(logy-logy,)²+(logy-logy)2++(logy-log yn)² ein Minimum wird. Es würden sich daher nicht die Fehler der Rechnungswerthe, was aber wünschenswerth wäre, sondern die den Logarithmen derselben anhaftenden Fehler in der algebraischen Summe auszugleichen streben. Hieraus ergibt sich aber die Nothwendigkeit, die Normalgleichungen respective die Werthe der Constanten aus Bedingungsgleichungen ab- zuleiten, welche für die verschiedenen Werthe von y selbst aufgelöst sind. Setzt man voraus, dass mit gemeinen Logarithmen gerechnet werde, so kann die Gleichung log y = a + bx auch wie folgt geschrieben werden: y = 10(a+bx). = Stellt man jetzt aus den Versuchswerthen nach dieser Form die Bedingungsgleichungen für die Constanten auf, so sind erstere in Bezug auf letztere nicht linear. Dies aber hat zur Folge, dass die Constanten nicht unmittelbar aus Normalgleichungen, sondern nur dadurch erhalten werden können, dass man von ihren Näherungswerthen ausgehend diese successive zu verbessern sucht, wie dies schon früher auf den Seiten 117 und 129 ausführlich erörtert worden ist. Zu Näherungswerthen der Constanten gelangt man mittelst der früher angeführten Gleichungen: a = log y₁- log e und b X1 d log e d' II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 157 in welche man nur die von der Voruntersuchung her bekannten Werthe von x1, y1, d und e einzusetzen hat. X1 Hiebei sind aber x, und y, nicht zu verwechseln mit den gleich- bezeichneten Grössen, welche schon in der ursprünglich gegebenen Reihe von Versuchswerthen erscheinen, wenn zum Zweck der Vorunter- suchung erst durch graphische Interpolation zwei geeignete Reihen zusammengehöriger Werthe der x und y aufgesucht werden mussten, in denen dann gleichfalls x, und y, die ersten Glieder bedeuten. Versteht man jetzt unter a' und b' Näherungswerthe der gleich- benannten Constanten, so ist offenbar: X1 y' = 10(a'+b'x) eine Näherungsformel, welche in die richtige übergeführt werden kann, wenn man an a' und b' die erforderlichen aber vorläufig noch unbe- kannten Verbesserungen a resp. ẞ anbringt. Es lautet dann die richtige Formel: y 10[(a+a)+(+)-x], und kann y nach der Taylor'schen Reihe sehr einfach entwickelt werden, wenn man, was allerdings nicht erwiesen ist, annimmt, dass die erfor- derlichen Verbesserungen a und ẞ so kleine Grössen sind, dass alle jene Glieder weggelassen werden können, welche die erste übersteigende Potenzen oder etwa Producte dieser Grössen enthalten. Man erhält hierbei: y = y' + dy' da . dy' db B, worin nach oben: y' = 10(a+b'x) ist. Da im vorliegenden Falle die Differenzialquotienten folgende Werthe annehmen: dy' =y' log nat 10 und da dy' db =y'. x log nat 10, so wird: . y=y' + (y' log nat 10) a + (y' x log nat 10). p. Schreibt man jetzt die Formel in nachstehender Form: y=y' [1 + a log nat 10]+y' x [B log nat 10] · und setzt für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buchstaben, nämlich: 1+ a log nat 107 und Blog nat 10 = 8, woraus für später: α= y-1 log nat 10 d und ẞ= B = log nat 10 folgen, so wird schliesslich: y = y'. 7 + xy'. d. 158 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Man hat jetzt aus den ursprünglich gegebenen Versuchswerthen (weil sie genauer wie die aus ihnen durch graphische Interpolation abgeleiteten Werthe sind) nach dieser Formel die folgenden Bedingungs- gleichungen aufzustellen: Y₂ = Y2 · Y + X2 Y2·8, · . Y3 = Y3 ⋅ 7 + xz⋅ Y3·8, = Yn Yn 7 + xn. Yn⋅ 8, in welchen unter yi, Y2, Y3 Yn offenbar jene, den gegebenen Ver- suchswerthen analogen Rechnungswerthe zu verstehen sind, welche aus der Näherungsformel: y' = 10(a+b'x) oder log y' a' + b'x = erhalten werden, wenn der Reihe nach x gleich x1, x2, x3 etc. bis xn gesetzt wird. Aus den vorstehenden Bedingungsgleichungen ergeben sich sodann in bekannter Weise die nachstehenden Normalgleichungen: Σαν τ - Σω 2. + d · Σ [x · (y')²], [yy'x]=[x· (y')] + d· [(xy')'], aus welchen sich y und 8, endlich mit Hilfe der Gleichungen: - 8 α - y 1 log nat 10 und B = log nat 10' wo log nat 10 = 2,30258509... ist, auch a und ẞ berechnen lassen. Es werden dem Vorstehenden gemäss eigentlich die Constanten der Formel: y = y'.y + xy'⋅ 8 = y' (y + dx) berechnet, dieselben aber nicht in diese, sondern indirect in die Formel: y 10l(a+a)+(+)·x] eingesetzt, da ja a und ẞ aus y und 8 berechnet werden müssen. Hiezu kann man aber nur berechtigt sein, wenn beide Formeln mit einander identisch sind; dass dies wenigstens dann der Fall ist, wenn die Annahme zutrifft, unter welcher die erstere Formel aufgestellt wurde, d. h. wenn a und ẞ in bekannter Weise klein seien, wird aus Folgendem erhellen. Setzt man in die erstere Formel: y = y'r + ry'd = y' (y + 8. x) die bekannten Werthe von y', 7 und d ein, so wird: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 159 y = 10(a+b'x). [1 + a log nat 10+ ẞx log nat 10]. • Schreibt man weiter die zweite Formel: wie folgt: y = 10[(a'+a)+(b'+(§)·x] y = 10{[a'+b'x]+[α+ẞx]} und nimmt Rücksicht darauf, dass allgemein: gm+n=gm+m (log nat ) n + (log2 nat )· . +m(logs nats). +·· 2.3 n2 2 + ist, so kann der Werth von y in analoger Weise in eine Reihe von Gliedern aufgelöst werden. Es wird dann y oder: 10{[a+b'x]+[a+ẞx]}= 10la'+b'x] + 10[a+bal. (log nat 10). (α + ẞx), da die weiteren Glieder entfallen, weil sie höhere Potenzen und Pro- ducte von a und ẞ enthalten. . Diese Gleichung kann aber auch geschrieben werden wie folgt: 10 {[a+b'x]+[a+px]} 10(a+b'x). [1+ a log nat 10+ Bx log nat 10] und ist somit umgekehrt: 10(a+b'x). [1 + a log nat 10+ ẞx log nat 10] 10 [a'+b'x]+[a+ßx]}, Hieraus aber ersieht man, dass die beiden in Frage stehenden Formeln thatsächlich identisch sind, vorausgesetzt, dass die in Bezug auf die Grösse der Constanten (a und ẞ) gemachte Annahme zutrifft. Würde das in der Besprechung befindliche Gesetz nur annähernd zwischen den Veränderlichen bestehen, so könnte man den zwei Glie- dern der hiefür abgeleiteten Formel ein passend gewähltes drittes bei- fügen, nämlich die empirische Formel nach der Form: aufstellen. log y a + bx + cx² oder y 10(a+bx+cx²) Da aber bloss für die Constanten a und b Gleichungen existiren (siehe Seite 155), aus welchen Näherungswerthe derselben berechnet werden können, so muss man suchen zu einem Näherungswerth für c zu gelangen, und zwar etwa dadurch, dass man die für a und b auf- gesuchten Näherungswerthe beibehält, c aber sodann aus den folgenden Bedingungsgleichungen: log y₁ log Y2 log Ys = a + bx₁₂ + c x₁2, - a + bx₂ + c x 22, 2 = a + bx + cxz², log » = a + banten = Yn atban 2 berechnet. Dies kann nun geschehen entweder mit Hilfe der Gleichung 160 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. woraus: Σ (10g logy)=(a+bΣ(x)+e. (x²), C = Σ (log y) - Σ (α) - b . Σ (α) Σ(α) nämlich einfach ein aus den vorstehenden Gleichungen resultirender Mittelwerth wird, oder entsprechend der Methode der kleinsten Quadrate, weil ja nur c allein eine unbekannte Constante ist, mittelst der jeden- falls grössere Mühe verursachenden Normalgleichung: Σ{(10gy). 2) =α. Σ@*) + Σ@ +Σ(*), aus welcher: folgt. C= a . E{(logy) x2}-a. (x2)-b.Σ (x³) Σ (24) Die Näherungswerthe a, b und c der Constanten sind nun wieder zu verbessern, indem man a in (a + a), b in (b + B) und e in (c + r) übergehen lässt. Es nimmt dann die Formel: die Form: y' = 10(a+bx+cx²) y = 10[(a+a)+(b+ẞ) · x+(c+y) · x²] an, und wird, wenn man unter der bekannten Annahme, dass die Ver- besserungen sehr kleine Werthe seien, y nach der Taylor'schen Reihe entwickelt: . dy' de · 2. y = y' + dy' da . ·α + dy' db B+ dy' da =y' log nat 10, dy' db dy' de =y'x log nat 10, =y'x2. log nat 10, Nachdem nun die Differenzialquotienten folgende Werthe annehmen: so folgt: y=y' (1+a.log nat 10)+y' x (B log nat 10)+y' x² (y log nat 10). Setzt man jetzt für die constanten Ausdrücke einzelne Buchstaben, etwa: 1 + a log nat 108, ẞ log nat 10= ε, y log nat 10 = 9, so wird schliesslich: y = y'⋅ 8 + xy' · ε + x²y' · q. • Nach dieser Gleichung sind dann ganz analog, wie dies bei der einfacher geformten empirischen Formel auf Seite 158 gezeigt wurde, die Bedingungsgleichungen aufzustellen, aus denen sich die Normal- gleichungen und in weiterer Folge die Constanten d, e, q, folglich auch a, ẞ und ergeben. β y Es folge jetzt ein specielles Beispiel: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 161 Man hat die bekannten Versuchswerthe: ← [x=23,85 [x= 52,12 x 91,34 (x=100,87 ly,-4,525' (y,-22,24' ly,-101,4' ly-553,03' ly-779,73 vorerst auf das im Punkte 6) ausgesprochene Gesetz zu untersuchen. Da in der vorliegenden Reihe der Versuchswerthe die Werthe von x nicht wie erforderlich eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden, so hat man wie im vorhergegangenen Fall aus den gegebenen Ver- suchswerthen durch graphische Interpolation zwei zusammengehörige Reihen abzuleiten, nämlich eine für die Werthe von x, die andere für die Werthe der zugehörigen y und zwar so, dass die x-Reihe eine arith- metische Reihe erster Ordnung wird. Man würde nun beispielsweise und zwar im Einklange mit den schon auf Seite 154 angegebenen Werthen folgende zusammengehörige Zahlenreihen erhalten können: x₁=0, x2=20,435 x3=40, x=60, x=80, x=100, y₁=4,53, y=17,39, y=54,96, y=148,58, y=353,93, y=760,00, wobei bis auf Weiteres die oben angeführten gleichbezeichneten Ver- suchswerthe, um einer Verwechslung vorzubeugen, gänzlich ausser Acht gelassen werden mögen. Will man jetzt den Exponenten e suchen, welcher der y-Reihe zukommt, sofern sie eine geometrische Reihe ist, so hat man nur zu bedenken, dass das erste Glied der y-Reihe nämlich y₁ sechste yo 1 760 ist, also 4,53e5: 760 oder log e= sein muss, woraus 1 4,53, das log 760-log 4,53 5 e= 2,785756 wird. Berechnet man mit diesem Exponenten, von y₁ = 4,53 ausgehend, die sechs ersten Glieder der geometrischen Reihe, so erhält man: 4,53, statt: 12,62, 35,15, 97,93, 272,82, 760,00, y₁=4,53, y=17,39, y=54,96, y=148,58, y=353,93, y=760,00 und ersieht, dass die y-Reihe wohl wesentlich von einer geometrischen Reihe abweicht. Es besteht daher im vorliegenden Falle zwischen den Veränder- lichen das in der Besprechung befindliche Gesetz nur wenig ange- nähert und können daher von einer diesem Gesetze entsprechenden empirischen Formel wohl keine brauchbaren Resultate erwartet werden. Steinhauser, empirische Formeln. 11 162 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Da es sich hier aber vorzugsweise um die Art und Weise der Ausführung der Rechnung handelt, so möge trotzdem die Aufstellung einer speciellen empirischen Formel nach der Form: log y = a + bx oder anders geschrieben: y = 10(a+bx) vorgenommen werden. Man sucht zuerst die Näherungswerthe a' und b' für die Con- stanten a und b nach den von Seite 155 her bekannten Gleichungen: a' = log y₁ log y₁-log e und b b'= d log e d' worin den einzelnen Grössen jetzt folgende Zahlenwerthe zukommen: y₁ als dem ersten Glied der y-Reihe Y1 X1 29 و" x-Reihe 4,53, 0,00, der constanten Differenz der x-Reihe 20,00, 29 ?" 99 d 22 e وو dem mittleren Exponenten der (durch graphische Interpolation erhaltenen) y-Reihe 2,7857. Es werden daher: a' = log y₁ blog log e d - X1 d • loge= 0,6560982, 0,022247154, und ergibt sich als Näherungsformel: y' = 10(0,6560982+0,022247154-x) Aus derselben sind nun die den verschiedenen in der ursprünglich gegebenen Reihe der Versuchswerthe enthaltenen Werthen von y ana- logen Werthe y' zu berechnen. Zum Zwecke dieser Berechnung hat man der vorstehenden Formel die folgende Form zu geben: • log y' = 0,6560982 + 0,022247154 x. Sie gibt dann: 0, 23,85, für x1 X2 33 وو X3 Ха X5 1 = = log y₁ = 0,6560982 also y₁ = 4,53000, log y₂ = 1,1866928 52,12, log y = 1,8156198 91,34, log y = 2,6881532 29 Y₂ = 15,37067, Ys' = 65,40635, y₁ = 487,70056, و" 100,87, log y = 2,9001686 y= 794,63680. دو Man braucht nun zur Berechnung der an a' und b' anzubringenden Verbesserungen offenbar folgende Zahlenwerthe: Y₁y₁ = 20,49825000, - Y2Y2 = 341,84376752, Ysys=6632,20399140, II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 163 Y₁y=269713,03903771, y5y=619602,15518292, Σ(10) = 896309,74022955; Σωυ) (y₁)2= 1 20,520900000000, (y₂')2 - 236,257588472929, (Y3)² = = 4277,990751135201, (14)² = 237851,833298110249, (y)² = 631447,650271334416, (y)²=873834,252809052795; X1 (y₁)² = = 0,0000000000, X₂ (Y2)² = 5634,7434850793, X3 (Y3) 2 222968,8779491667, = x₁ (4)² = 21725386,4534493900, x (y)2=63694124,4828695025, (x(y)) = 85648114,5577531385; 0,0000000000, 8152,9738553520, 345670,4720317680, 34321 = 24635588,9857044314, Y₁y₁x₁ = = Y 2 Y2' X 2 Y 3 Y 3' x g - Y 4Y X Y5Y 5'x5 (x₁y₁)²= (y) = (X2 Y2)² = (X3Y3)2 - 62499269,3933011404, Zyy'x)=87488681,8248926918; 0,0000000000, 134388,6321191424, 11621137,9187105671, (x494)2=1984396798,6580672957, (x,y)2=6424826336,5870467214, {(xy')} = 8420978661,7959437266. Setzt man die Zahlenwerthe, welche den einzelnen Gliedern der auf Seite 158 angegebenen und für den vorliegenden Fall giltigen allgemeinen Normalgleichungen entsprechen, in diese ein, so erhält man die nachstehenden speciellen Normalgleichungen: 896309,74022955 873834,252809052795 + +85648114,5577531385.8, • 11* 164 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 1 87488681,8248926918 - 85648114,5577531385 y + +8420978661,7959437266 8. Aus denselben werden: y = + 2,37856846 und d = 0,01380256. Da nun die Constanten a' und b' der Formel: y 10[(a+a)+(b+8) · x] = durch a beziehungsweise ẞ zu verbessern waren, wo nach Seite 158: 7-1 8 α= log nat 10' B = log nat 10 und log nat 10 2,3025851, ferner nach Seite 162: a' = 0,6560982, b' = 0,022247154 sind, so werden vorerst: α= 0,598705, B = — 0,005994, mithin die verbesserten Constanten: a = a + a = 1,254803 und bb'+ p=0,016253. Es lautet somit die durch die Constanten verbesserte specielle empirische Formel (in welcher y' statt y gesetzt wurde, weil sie wohl noch nicht die richtige, sondern eine einer weiteren Verbesserung fähige Formel darstellen wird): oder: y' = 1011,254803+0,016253 - x] log y' = 1,254803 +0,016253. x. = 0, Sie gibt für: X1 X2 = 1 Xg= 23,85, log y = 1,642437 log y₁ = 1,254803 also y= 17,980 statt y₁ = 4,525, وو Y2= 43,897 = 29 Y2 22,240, 52,12, log y = 2,101909 "" y' = 126,447 29 Y3 X4 X5 = وو y₁ = 548,721 Y4 101,400, 553,030, 22 27 y5 = 779,730, = 91,34, log y = 2,739352 100,87, log y = 2,894243 y = 783,868 und betragen somit die Fehler der Rechnungswerthe, sofern die Ver- suchswerthe als fehlerlos angenommen werden: d₁ = Y₁ — Y₁ = + 13,455, - 8₂ = Y2 - Y₂ = +21,657, - 83 = Y3 — Y3 = +25,047, d₁ = Y₁ — Y 4 - = - 4,309, 85 = y; — Y5 = + 4,138. =+ Die algebraische Summe der Fehler ist: S= =(8) = +59,988. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 165 Würde man die obigen Werthe der Constanten 7 und d in jene auf Seite 158 angeführte allgemeine Formel: y = y' (v + dx) einsetzen, für welche diese Constanten eigentlich berechnet wurden, so erhielte man: und hieraus: für 1 وو y"=y' (2,37856846 - 0,01380256x) = 1 y₁"= 10,775 statt y₁ وو = = 0, = 4,525, X2 23,85, y2 y2" = 31,500 Y2 22,240, 22 X3 1 52,12, Y3" = 108,521 29 y3 = 101,400, 22 X4 X5 11 91,34, - Y₁"= 545,172 Y4 = = 100,87, ys"= 783,754 22 Y5 553,030, 779,730. Es haften somit, die Richtigkeit der Versuchswerthe vorausgesetzt den Rechnungswerthen folgende Fehler an: d₁ = Y₁" - Y₁ = +6,250, 83 4 = = = -- Y₂ = +9,260, Y2 Y2 Y3 - Y3 ys = +7,121, - 7,858, — 05 = y − y =+4,024, = deren algebraische Summe: beträgt. - S= s = (8) = +18,797 Entsprechend dem auf Seite 158 Gesagten, gibt diese Formel bessere Resultate wie die von gewünschter Form, da beide Formeln nicht identisch sind, weil die Verbesserungen a und ß noch keine sehr kleinen Werthe besitzen. Wollte man und zwar vorerst in der Formel: γ · y" = y' (y+dx) = y' (2,37856846 - 0,01380256 x) bloss die Constante y verbessern, sie nämlich so corrigiren, dass sich die Fehler in der algebraischen Summe besser ausgleichen, so hat man nur, da ja y" der Reihe nach die in der Versuchsreihe erscheinenden Werthe annehmen und die Constante dungeändert bleiben soll, aus den Bedingungsgleichungen: die Normalgleichung: Y₂ = Y2Y + SXqY2', Ys=Y3⋅ 7+ Sxg Ys', Yn Yn 7 + 8xnyn' = 166 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. abzuleiten, aus der Σω-Σ+Σ) (y) - 8. (xy') 2= y' folgt. Da nun: y)=1460,925, y)=1367,64438 und = 0,01380256 - (xy) = 128477,15286, sind, so wird: 2 = 2,36482. Es lautet dann die Formel: und gibt selbe: für 66 وو 1 X2 X3 = = = = y" = y' (2,36482-0,01380256. x) 0,00, y"= 10,71265 statt y₁ 23,85, y2" = 31,28905 52,12, y" = 107,62189 وو وو = 4,525, Y2 = 22,240, Y3 101,400, 91,34, y" - 538,46945 100,87, y" = 772,83205 وو X4 X5 = Y₁ = 553,030, y5 779,730. = Die den Rechnungswerthen anhaftenden Fehler sind somit: 1 d₁ = y₁" — Y₁ =+ 6,18765, d₂ — Y½" — Y₂ = + - 9,04905, 83 = Y3" — Y3 =+ - 6,22189, = Y4 = 14,56055, - 5 y5 = 6,89795, und beträgt ihre algebraische Summe: S - Σ (6) = + 0,00009. Soll die sichtbare Besserung so gut als möglich auf die die ge- wünschte Form besitzende Formel: y = 10l(a+a)+('+). x) - 1011,254803+0,016253 x] übertragen werden, so bedenke man nur, dass nach Seite 164: α= 7-1 log nat 10' B = also jetzt: dann wie früher: δ log nat 10' α= a = 0,6560982, b = 0,022247154, 2,36482 1 - 2,30258 = 0,59274, II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 167 mithin: B = 0,00599, (a' + a) = 1,24884, (b+B) = 0,01625 sind. Man erhält daher die Formel: y' = 10[1,24884+0,01625-x] welche für x1 1 oder log y' = 1,24884 +0,01625x, = 0,00, log y log y = 1,24884 also y₁ = 17,735, = 23,85, log y₂ = 1,63640 y₂ = 43,292, 52,12, log y = 2,09579 ys' = 124,678, ” X4 = 99 X5 = 2,73312 y₁ = 540,903, 27 y = 772,627 22 وو X2 X3 = 91,34, log y 100,87, log y = 2,88797 gibt. Es betragen somit die den Rechnungswerthen anhaftenden Fehler: d₁ = y₁ — Y₁ = + 13,210, - d₂ = Y2 - Y₂ = + 21,052, ds=ys — Y3 = +23,278, 4 d₁ = Y₁ — Y₁ - d5 = Y5 — Y5 - 1 - 12,127, 7,103, und die algebraische Summe derselben: S - Σ (6) = + 38,310. Wegen der noch immer nicht erfolgten Uebereinstimmung der beiden verschieden geformten Formeln wird hier die Fehlersumme noch nicht Null. Eine Besserung ist aber doch erfolgt, da die Fehlersumme früher (Seite 164) + 59,988 betrug. Es erübrigt noch die Angabe der geometrischen Bedeutung der Gleichung: y = 10a+bx oder log y = a + bx. Geht man von dem schon früher in Figur 2 Seite 51 dargestellten Coordinatensystem IO,I, in welchem man sich die der Gleichung ent- sprechende Curve liegend denken mag, auf jenes IIO,II über, so ändern sich nur die Abscissen x der Curvenpunkte und ist jedes x in ersterem Systeme, nämlich x = m + x2, wenn mit x, das jenem Curven- X2 punkte zugehörige, sich aufs System IIO,II beziehende x bezeichnet wird, dessen Abscisse im System IO,I das x, war. Es geht dann, wenn vorübergehend zur Bezeichnung des Systemes, auf welches die Gleichung der Curve jeweilig bezogen wird, die Zeiger eingeführt werden, die Gleichung: in: log y₁ = a + bx₁ log Y2 = a + b (m + x2) 168 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. über, worin nach dem unmittelbar Vorhergehenden x₁ =mx2, und weil die Ordinaten y keine Aenderung erfahren, y₁ = y₂ ist. Letztere Gleichung bezieht sich offenbar auf das System IIO,II, und es können jetzt, wenn man dies im Gedächtniss behält, die Zeiger weggelassen werden. Nachdem nun die bezügliche Gleichung auch wie folgt geschrieben log y = (a+bm) + bx und m so gewählt werden kann, dass (a+bm) = 0 wird, was m — a b bedingt, so gelangt man auf die möglichst vereinfachte Gleichung der Curve, welche log y = bx lautend, den Lehren der analytischen Geometrie zufolge der sogenannten logarithmischen Linie entspricht. Unter Bezug auf gemeine Logarithmen kann diese Gleichung be- kanntlich in der Form: y = 10bx Fig. 11. y 10 9- 7- 6- +S 4- 3+ 2- M N 1 X-10-9-8-7-6, -4-3-2-α + +α 2 3 4 9 10 C y dargestellt werden und gibt selbe für x=∞, وو y y = 10° = ∞, x = +a, y: = 34 20 = 0, y = 10ba+w, wo w 1 ist, 10⁰ = 1, 1 1 17 X= - -a, y: = 10ba =+ WO w? พ <1, weil w>1 ist, 1 29 X= ∞, y = = 0. 100 Man kann hiernach die Curve der Hauptsache nach leicht zeichnen II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 169 1 = 10 ergibt) und folgende (siehe Fig. 11, welche sich speciell für b allgemeine Eigenschaften derselben erkennen: a) Die Curvenpunkte liegen sämmtlich über der Abscissenaxe, welche eine Asymptote bildet; b) die Ordinaten zweier von der Ordinatenaxe rechts und links gleich weit abstehender Curvenpunkte sind reciproke Werthe (w und 1). Man kann sich nun auch leicht eine Vorstellung machen von der Curve, welche der complicirteren Gleichung: log y = a + bx + cx² entspricht. Bedenkt man nämlich, dass nach Früherem der Ausdruck a + bx + cx² Y = nichts Anderes bedeutet, als die zu den verschiedenen Abscissen x gehörigen Ordinaten Y einer Parabel, deren Axe der Ordinatenaxe parallel läuft, dass also: log y = Y oder y = Num. log Y ist, so ergibt sich, dass die zu den Abscissen x gehörigen Ordinaten y der in Frage stehenden Curve nichts Anderes sind als die Zahlen, welche zu den als Logarithmen angesehenen Ordinaten Y der der Gleichung Y- = a + bx + cx2 entsprechenden Parabel gehören. 1 Eine andere noch zu erörternde Frage ist die, ob das im Punkte 6) ausgesprochene Gesetz, wenn es thatsächlich besteht, immer zum Vor- schein kömmt, wenn man nur die x nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung, im Uebrigen aber gleichgültig nach welcher, fort- schreiten lässt. Es ist nach Seite 155: = Yn y₁e xn-x1 d Lässt man jetzt die x nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung mit der Differenz & fortschreiten, so ist irgend ein Glied der x-Reihe, z. B. das mte, nämlich: Xm = x₁+ (m-1) d und das zugehörige y nach obiger Gleichung offenbar: Ymy₁e xm-x1 d worin noch für xm der angegebene Werth desselben einzusetzen ist. Es wird dann: δ x₁+(m-1) d-x₁ d (m-1) -/14 YmY₁e oder ym y₁e = 170 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. endlich: Ymy, (pa) (m-1) also ym wieder gleich dem mten Glied einer geometrischen Reihe, deren 8 Exponent aber e' ed ist. = Man kann somit bei der Untersuchung der Versuchswerthe immer die x nach einer ganz beliebigen arithmetischen Reihe erster Ordnung fortschreiten lassen und versichert sein, dass das besprochene Gesetz in den zugehörigen Werthen des y zum Vorschein kömmt, sofern es thatsächlich besteht. 7) Die abhängig Veränderliche y schreite nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine geometrische Reihe bilden. X1 Sind y, das erste Glied und d die constante Differenz der y-Reihe, das erste Glied und e der Exponent der x-Reihe, so hat man für die nten Glieder beider Reihen, also für ein Paar zusammengehöriger Werthe von x und y, offenbar folgende Ausdrücke: Yn = Y₁ + (n-1). d, Xn X₁en-1. Logarithmirt man letztere Gleichung, so wird: log xnlog x₁ + (n-1) loge, also: 11 (n − 1) = log x-log x1 log e log n log e folglich: d Yn = Y₁ + • log e log xn — Setzt man für die jedenfalls staben, also etwa: d log e • — log x₁ log e' · log X1. constanten Ausdrücke einzelne Buch- d d - (y₁loge log x)= • = a und log e =b, so wird nach dem Weglassen der jetzt überflüssigen Zeiger: y=a+blog x. Geht man, um vorerst zur geometrischen Bedeutung dieser - Gleichung zu gelangen, von dem Coordinatensystem IO, I, auf welches man die Gleichung der Curve bezogen denkt, auf ein anderes IIO,II über, dessen Ordinatenaxe mit der des ersteren zusammenfallen, dessen Abscissenaxe jedoch um n über der des ersteren liegen möge, so ändern sich nur die Ordinaten der Curvenpunkte und ist jede Or- dinate im ersteren Systeme y, y₂+n, wenn y₂ die zum selben Curvenpunkt gehörige Ordinate im Systeme IIO,II bedeutet. = II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 171 Es geht dann, wenn vorübergehend zur Bezeichnung der Systeme, auf welche sich die Gleichungen jeweilig beziehen, die Zeiger ein- geführt werden, die Gleichung: in: y₁ = a + blog x₁ 1 Y₂+ n = a + blog x2 - über, da nach oben y₁ = y + n und x = x2 sind. Wählt man nun na, so wird, wenn man die Zeiger weglässt, aber nicht vergisst, dass sich die Gleichung jetzt aufs System IIO,II bezieht: y = b.log x oder: 1 log x = b y, 1 b' gesetzt werden kann: log x = b'y. endlich, da der constante Werth Vergleicht man diese Gleichung mit der auf Seite 168 be- sprochenen: log y = b.x, welche der logarithmischen Linie entsprach, so ergibt sich zweifellos, dass auch erstere Gleichung einer solchen Curve entspricht, bei der aber die Abscissen x mit den Ordinaten y vertauscht sind. Es nimmt sodann die Curve nicht die in Fig. 11, sondern die in Fig. 12 dargestellte Lage an, welche sich dadurch charakterisirt, dass die Ordinatenaxe eine Asymptote wird und dass keine Curven- punkte mit negativen Abscissen vorhan- den sind. Würden die vorliegenden Versuchs- werthe dem im Punkte 7) ausgesprochenen 2 Gesetze nicht sehr angenähert entsprechen, so könnte man den beiden Gliedern der oben aufgestellten Formel y = a + blog x noch ein passend gewähltes drittes Glied beifügen, nämlich auf eine Formel von der Form: y=a+b.log x+c log² x 7- 76 5+ 4- 2 २७ -2+ -3+ -4- -5+ y- Fig. 12. 2 3 4 5 6 7 8 x übergehen, deren Constante aus den (ursprünglich gegebenen, nicht etwa aus den durch graphische Interpolation erhaltenen) Versuchs- werthen, wie folgt, direct berechnet werden müssen. 172 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Es lassen sich aus den Versuchswerthen folgende Bedingungs- gleichungen aufstellen: Y1 Y2 Y3 = a + blog x₁ + c. log² x₁ = a+blog x₂+c. log2 x2 - = a + blog x3 + clog² xg Yn = a + blog xn+c log² xn, aus welchen sich nachstehende zur Berechnung der Constanten dienende Normalgleichungen ergeben: (y) = Σ(α) +b.(log x)+c.(log2x) Σ {y log α} = α Σ (10g ») + 1 . Σ (log a) + c . Σ (log a) Σ{y loga} = α·Σ(log a) + 1. Σ (log a) + c Σ (loga). Mit Rücksicht auf das Seite 32 Gesagte soll im vorliegenden Fall, nämlich bei Benützung der vorstehenden Normalgleichungen, die algebraische Summe der Fehler gleich Null werden. Nachdem der jetzt in der Besprechung befindliche Fall 7) gewisser- massen die Umkehrung des demselben unmittelbar vorhergehenden bildet, indem nur x und y mit einander vertauscht sind, so ist es ganz überflüssig, darüber eine Untersuchung zu pflegen, ob, sofern das bezügliche Gesetz besteht, dasselbe auch immer zum Vorschein kommt, wenn man nur die unabhängig Veränderliche x nach einer im Uebrigen beliebigen geometrischen Reihe fortschreiten lässt. Eine charakteristische Eigenschaft der Formel: y = a + blog x + clog² x+... besteht darin, dass selbe offenbar für negative Werthe des x keine reellen zugehörigen Werthe von y gibt, weil bekanntlich die Logarith- men negativer Zahlen imaginär sind. Diese Eigenschaft ist auch schon in Bezug auf die Gleichung y = a + blog x bei der Besprechung der in Fig. 12 dargestellten logarithmischen Linie, welche keine Curvenpunkte mit negativen Ab- scissen besitzt, angedeutet worden. 8) Die abhängig Veränderliche y schreite nach einer geometrischen Reihe fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine ebensolche Reihe, jedoch mit anderem Exponenten bilden. Es ist dann unter Beibehaltung der bereits bekannten Bezeich- uungen das nte Glied der y-Reihe: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 173 Yn = y₁ en-1, und das zugehörige x als ntes Glied der x-Reihe: = xnx₁・en-1. Logarithmirt man beide Gleichungen, um (n - 1) eliminiren zu können, so wird nach der Elimination vorerst: log e log y₁ - • log yn log e, log x₁ log e • + log ex logy. log n En und wenn für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buchstaben gesetzt, sowie die jetzt überflüssigen Zeiger weggelassen werden: log y = a + blog x oder y = 10(a+b.log x), WO: log e . log y₁ ex • — log e, log x₁ und b log ey = α= log ex log ex sind. Um vor Allem einen Begriff zu erhalten von der Natur der Curve, welche der vorstehenden Gleichung entspricht, ist es zweck- mässig, letztere in eine andere Form zu bringen. Man kann nämlich schreiben: log y endlich: blog x = a oder log y 2.6 = a, y Num. log a. = Da nun Num. log a jedenfalls constant, also etwa gleich c ist, so hat man noch y = C oder: ეს y C xb. Die dieser Gleichung entsprechende Curve gehört nun zu den sogenannten Potenzcurven, da ein gewisser constanter Theil (der cte) der Ordinate y immer einer gewissen constanten Potenz (der ben) der zugehörigen Abscisse x gleich ist. Man kann sich hiernach auch leicht eine Vorstellung von der bezüglichen Curve machen, welche für gerade Werthe von b offenbar aus zwei in Bezug auf die Ordinatenaxe symmetrisch liegenden Theilen besteht, mit einem in den Ursprung fallenden Rückkehrpunkt, weil (+ x) = (— x)³, wenn b gerade ist. - Da bei ungeraden Werthen von b aber (+ x)³ — — (— x)³ wird, so liegen dann die gleichgeformten, zu beiden Seiten der Ordi- natenaxe befindlichen Theile der Curve auf verschiedenen Seiten der Abscissenaxe und bilden im Ursprung einen Wendepunkt. 174 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Sollte das in der Besprechung befindliche Gesetz nur annähernd zwischen den Veränderlichen bestehen, so könnte man wieder den zwei Gliedern der hiefür abgeleiteten Formel ein passend geformtes drittes beifügen, also die empirische Formel nach der Form: aufstellen. log ya+blog x + clog² x Es geht nun auch hier wie im Falle 6) aus den schon Seite 156 angeführten Gründen nicht an, die Constanten a, b und e dieser Formel nach der Methode der kleinsten Quadrate auf Grund der Bedingungs- gleichungen: · log y₁ = a + blog x₁+c log² x₁ log y₂ = a + b log x₂+c. Y2 a+blog log² x2 log y = a + blog x + clog² 3 log yn X3 = a + blog xn+c.log² xn direct zu berechnen, da sich dann nicht die Fehler der y selbst, sondern die ihrer Logarithmen ausgleichen würden, und muss daher die Formel in der Form: . y=10(a+b.log x+c log² x} geschrieben werden, wenn mit gemeinen Logarithmen gerechnet wird. Es läuft in Folge dieser Formänderung die Berechnung der Con- stanten nicht einfach ab und kann nur durch successive Verbesserung von Näherungswerthen der Constanten zum Ziel gelangt werden, ganz ähnlich so, wie dies beim Fall 6) auf Seite 160 geschah. Näherungswerthe lassen sich nur von a und b berechnen, da nur hiefür Gleichungen existiren. Es sind nämlich nach Seite 173: • log e log y₁-log 6, log 1 • und b a log ex log ey. log e Von der Constanten c hingegen kann wie auf Seite 160 ein Näherungswerth aus den obigen Bedingungsgleichungen berechnet werden, und zwar entweder mit Hilfe der Gleichung: woraus : Σ (1083) - Σ) +Σ (log α) + c Σ (log a), C= - C Σ (10g y) - Σ (α) (a) b. (log x) Σ (log² x) einfach als ein Mittelwerth folgt oder entsprechend der Methode der kleinsten Quadrate mittelst der jedenfalls grössere Mühe verursachenden Normalgleichung: {(logy) · log² x} = a(log² a) +b. (loga)+c. (log x), woraus: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 175 wird. . {(logy) log2 x} - C= (log2x) b. (logs x) (log+ x) — Die Näherungswerthe der Constanten (a, b und c) sind nun da- durch zu verbessern, dass man a in (a + a), b in (b + B) und c in (cy) übergehen lässt. Es nimmt dann die Formel: y' = 10(a+blog x+c.log² x} die Form: y = 10 {(a+a)+(b+6) logx+(c+y)log2 x } an, und es wird, wenn man unter der bekannten Voraussetzung, dass die Verbesserungen a, ß und 7 sehr kleine Werthe seien, y nach der Taylor'schen Reihe entwickelt: dy' da dy' db y = y' + α + ·B+ dy' dc 2. Nachdem die Differenzialquotienten jetzt folgende Werthe an- nehmen: dy' dy' y' log nat 10, da db y' log x log nat 10, dy' =y' log2 x log nat 10, • dc so ist auch: y = y' (1 + a log nat 10)+y' log x (ẞ log nat 10) + +y' log2 x (y log nat 10). Setzt man jetzt für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buchstaben, etwa: (1 + a log nat 10) = 8, Blog nat 10, y log nat 10 = 9, so wird: y = y'd + (y' log x) + (y' log² x) y. • Nach dieser Gleichung sind aus den ursprünglich gegebenen n Versuchswerthepaaren die nachstehenden n Bedingungsgleichungen aufzustellen: y₁ = y₁d + (y₁log x₁) + (y,'log2 x₁) q 4 • + (y2' log2 x2) q . Y₂ = Y2d + (y2' log x2) Y₂ = y;' d + (y,' log x) 1 + (y log² x) Yn = Yn'd+(yn' log Xn) & + (yn' log² xn) 9, aus welchen sich die folgenden drei Normalgleichungen in bekannter Weise ergeben: 176 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Σ (yy') = 8 · Σ (y')² + ((y) log x} + {(y) log }, ε Zyy' log x) = d((y) log x}+&{(y')² log² x} + +9. {(y')² log³ x}, Zyy' log² x) = d(y) log² x} + {(y)² log³ x} + ε +9.{(y')² log¹ x}. Aus denselben lassen sich nun die Constanten d, ε und Ф be- rechnen, und mit Hilfe derselben die Verbesserungen a, ß und 7, da aus auf der vorhergehenden Seite enthaltenen Gleichungen: 8-1 ε α= log nat 10' B= log nat 10 und 7 ዋ log nat 10 folgen. Selbstverständlich müssen die Werthe yi, y2, yyn aus der Näherungsformel: d. i. nämlich aus: y' = 10{a+b.log x + c. log²x}, logy' = a + blog x + c log² x berechnet werden, zu welchem Zwecke man nur der Reihe nach für x die in den Versuchswerthepaaren erscheinenden Werthe x1, x2, x3 etc. bis xn in die Formel einzusetzen hat. Die Versuchswerthe y rechnet man sodann aus der durch die corri- girten Constanten verbesserten Formel: y = 10 ((a+a)+(+8) log x + (c+y) log2 x } = welche beim Gebrauche in der Form: log y = (a + a) + (b + B) log x + (c + y) log² x anzuwenden ist. Ist eine empirische Formel nach der einfacheren zweigliedrigen Form: log y = a =a+blog x aufzustellen, so vereinfachen sich selbstverständlich die Normalgleich- ungen, da c = 0, also y 0 und = 0 werden. WO: also: Man erhält dann blofs: - Σ(vy') = 8.Σ(y')²+(y) log a), yy' loga)-8( log )+() log" ), {(y')² = (1 + a log nat 10) und ε = = ẞ log nat 10, II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 177 α - - δ 1 log nat 10' ε B = log nat 10 sind und die erforderlichen Werthe von y' aus der Näherungsformel: respective: zu berechnen sind. y' = 10(a+b.log x} log ya+blog x Die Werthe der abhängig Veränderlichen y rechnet man aber aus der durch die corrigirten Constanten verbesserten Formel: y - 10 {(a + a) + (b +ẞ) log x}, welche für den Gebrauch selbstverständlich in die Form: zu bringen ist. log y = (a + a) + (b + B) log x Es ist auch im vorliegenden Fall wünschenswerth zu erfahren, ob man bei der an den Versuchswerthepaaren vorzunehmenden Unter- suchung die Werthe von x nach einer ganz beliebigen geometrischen Progression zunehmen lassen und dabei versichert sein kann, dass das im Punkte 8) besprochene Gesetz in den zugehörigen y-Werthen zum Vorschein kommt, sofern es besteht. und Sind unter der Annahme, dass das Gesetz bestehe: Y₂ = y₁· en-1 X n y n = x₁· en-1 X zusammengehörige Werthe der beiden Veränderlichen, so wird, da aus log x = log x, + (n − 1) log e das n-1- - log xn - log x1 = Yn Y1 Cy log ex . - log x, log x₁ n folgt: log ex Lässt man jedoch x nach einer anderen geometrischen Reihe fortschreiten, nämlich nach einer solchen mit dem Exponenten e, so ist irgend ein Glied der x-Reihe, etwa das mte, also: Xm = X₁· em-1, und das zugehörige y nämlich: oder: YmY1 Cy log xm log ex -logx1 = = Y₁ Cy log e m-1 log ex YmY1 • (m-1) log e log ex also ym wieder das mte Glied einer geometrischen Reihe, deren Ex- ponent aber: ey = = = (ey ex (log) ist. 12 Steinhauser, empirische Formeln. 178 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Es schreiten demnach, wenn das bezügliche Gesetz thatsächlich besteht, die y immer nach einer geometrischen Reihe fort, wenn nur die zugehörigen x eine ebensolche Reihe bilden, deren Exponent jedoch beliebig ist. Die Berechnung eines speciellen Beispieles kann hier entfallen wegen der grossen Aehnlichkeit, welche dieselbe mit jener hätte, die beim Fall 6) auf Seite 161 und weiter durchgeführt erscheint. 9) Die abhängig Veränderliche y schreite nach einer arithmetischen Reihe zweiter Ordnung fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine geometrische Reihe bilden. Unter Beibehaltung der schon mehrfach gebrauchten Bezeichnungen wird das nte Glied der x-Reihe: also: n x = x₁-en-1, n (n-1)= log x log x₁ log ex log x x, n log ex log x₁ 1 gain do -- log eh 1.200 .d, ferner das zu diesem z gehörige y nämlich: Yn videon matt (n-1) (n-2) y₁+ (n-1) a + oder endlich weil auch: ist: Yn Y₁ + (n − 1) a + {(n - 1) [(n - 1) — 1]}· = - d 2 Yn − Y₁ + (n − 1) a + (n − 1)². — (n − 1). 2. - — baie d 2' Führt man jetzt den Werth von (n-1) aus xn in diese Gleichung ein, so wird nach Ausführung der angezeigten Multiplicationen und nach dem Zusammenfassen der Glieder, welche gleiche Potenzen von log an enthalten: Yn nord log x₁ - (1₁ + 2 log e + and log e, 2loge x - Setzt man für die jedenfalls a log x1 log ex d log log² ex :) + + d log² x₁ 2 log² ex d + ·log2 Xxn. 2 log ex 1008). log x constanten Ausdrücke einzelne Buch- staben und lässt die jetzt überflüssigen Zeiger weg, so wird: y= A + Blog x + C log² x, WO: A = (y₁ + d log x1 a log x₁ d log2x, + B = = (10 a log e d 20 2 log ex d 2 log ex log ex 2 log ex d log x₁ log² ex und C = sind. 2 log² ex II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 179 mit die Es ist dies somit die Form, welche der empirischen Formel im vorliegenden Fall zu geben wäre, und dürfte man kaum einen Fehlschluss machen, wenn man mit Rücksicht auf den im Punkt 7) auf Seite 170 behandelten Fall den Schluss zöge, dass die Formel die Form: y=A+Blog x + Clog² x + D log³ x annehmen würde, wenn die y unter den im Uebrigen hier obwalten- den Verhältnissen nach einer arithmetischen Reihe dritter Ordnung fortschritten. Das in Bezug auf die Berechnung der Constanten einer solchen Formel Erforderliche wurde bereits auf Seite 172 angegeben, und kann somit hierauf verwiesen werden. Um nachzuweisen, dass das im vorliegenden Fall besprochene Gesetz, sofern es besteht, in der Reihe der y immer zum Vorschein kommt, wenn man nur die zugehörigen x nach einer übrigens in Bezug auf den Exponenten beliebigen geometrischen Reihe fortschreiten lässt, gehe man wie folgt vor. Man bringe die obige Gleichung für y vorerst in folgende Form: d 0 Yn y₁+ log ex nor (log xn — log x₁) - 2 logex (log xn - log x₁) + (9 gol b+ + 2 log² ex d___ (log Xn — log x₁)2 und erinnere sich, dass nach Früherem auch dem Yn auch demo als tem Glied der Werth: Tomis ir Yn Yn 2197 Y₁ + (n y₁ + (n-1) a +--- (n - 1) (n 1.2 - 2) ⚫d zukömmt. doob Lässt man jetzt die x nach einer anderen geometrischen Reihe fortschreiten und zwar mit dem Exponenten e, so ist irgend ein Glied, der x-Reihe z. B. das mte, nämlich: • Vans dsia in not Xm = X₁⋅ em-1 und das zugehörige y, #quaif sifl nach der ersten der vorstehenden Gleichungen offenbar: Toad A fro d a YmY₁+ log ex (log xm — log x₁) 2 loge (log xm log x₁) + gol + d + (log xm-log x)2-bo 2log ex Setzt man nun den Werth von log xm, d. i.: log xm = log x₁ + (m-1) log e in diese Gleichung ein, so wird: drowegotiada log embord log e YmY₁ + of domu log e log exed A P STI qor ITI ofis? h) robits of low rid (m-1) Hero2loge (m-1) + b d log²e (m1)2. (m 2 logem now 12* 180 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Addirt und subtrahirt man noch das Glied: auf der rechten Seite dieser Gleichung, so wird: d log² e 2 log ex (m-1), Ym = Y₁ + Tog ex a log e d log e (m-1) — 2 log ex (m − 1) + d log² e 2 log e (m − 1) + d log² e + 2 log² ex (m-1)2 - d log² e 2 log e (m-1), oder: - a log e log ex d log e d log² e - 2 log e +alog²+ endlich: Ym = Y₁ + (m − 1) [ d log² e + - 2 log² e [1 2 log ex (m-1) [(m-1) — 1], Ym=Y₁ + (m − 1) [(2a log ez d log ez + d log e). log]+ e 2 e (m - + -1) (m2) 2) d log² e 1.2 log² e also ym gleich dem mten Gliede einer arithmetischen Reihe zweiter Ordnung, deren erstes Glied y₁, deren erstes Glied der ersten Differenz- reihe: a'= = [(2 a log ex log e - d log ex+d log e) 2 log ex 1 d log² e log² e ist. 26 endlich deren constante Differenz d': Man mag somit die Werthe von x in der Versuchsreihe (oder eventuell bei der graphischen Interpolation) nach was immer für einer geometrischen Reihe (Progression) fortschreiten lassen, so wird doch das im Punkte 9) ausgesprochene Gesetz zum Vorschein kommen, sobald es überhaupt besteht. Die der Gleichung y = A + B log x + Clog2 x entsprechende Curve führt keinen besonderen Namen. Denkt man sich zur Verein- fachung der Gleichung die derselben entsprechende Curve auf ein neues Coordinatensystem bezogen, dessen Abscissenaxe um A höher liegt, so wird nur jede der Ordinaten um A verkürzt, also oder: y= Blog x + C log² x · y= log x (B+ C. log x). Bedenkt man jetzt, dass der Ausdruck B+ Clog xy' nach Seite 171 resp. 172 den Abscissen einer logarithmischen Linie entspricht, welche zu den Ordinaten x gehören, so ergibt sich, dass vorstehende Gleichung einer Curve entspricht, deren Ordinaten y erhalten werden, wenn man den Logarithmus der zugehörigen Abscissen (nämlich log x) II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 181 mit den zu x gehörigen Abscissen y' einer in gewisser Lage befind- lichen logarithmischen Linie multiplicirt. Mit einigen Worten wurde dieser Curve übrigens schon auf Seite 172 gedacht. 10) Die abhängig Veränderliche y schreite nach einer Reihe fort, deren erste Differenzreihe eine geometrische Reihe bilde, wenn die zuge- hörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine arithmetische Reihe erster Ordnung darstellen. Sind: X₁, X₂ = x₁+d, xx₁ +2d, x₁ = x₁ + 3d..., X2 Xn X3 x₁ + (n − 1) d == die aufeinander folgenden Glieder der x-Reihe, dann beziehungsweise: Y1, 92, 93, 94, ... die zugehörigen Glieder der y-Reihe, endlich: Yn а₁ =α₁, α=а₁e, a₁ = a₁e², a₁ = a₁ e³,... an-1 = a, en-2 die Glieder der ersten Differenzreihe, welche eine geometrische Reihe, etwa mit dem Exponenten e sein soll, so ersieht man ganz deutlich, dass Y₁ = Y₁, Y2 - Y1 + α₁, Y3 = Y₂ + a₂ = Y₁ + a₁ + a₁e, Y₁ = Y3 + Ag=y₁ + a₁ + a₁e + a₁e² Y4 und ganz allgemein: • Yn = Y₁ + a₁ + а₁e + α₁e² + a₁e³ + ··· + a₁₂en-2 wird. Da nun weiter: ... Yn = Y₁ + a₁ (1 + e + e² + e³ + ··· + en−2) a1 und nach Summirung der in der Klammer eingeschlossenen geometri- schen Reihe Yn y₁ + a₁· e- 1 en-1 1 - . ist, so ergibt sich, wenn in diese Gleichung der aus an folgende Werth von (n-1), d. i.: X n - (n − 1) = -1 - -1 d n d d eingesetzt wird: d (-9). d 1 Yn = Y₁ + a₁. e-1 oder: xn d e Yn y₁ + a₁· -- x1 a1 e-1 (e-1). ed Setzt man für die jedenfalls constanten Werthe einzelne Buch- staben, und zwar: 182 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. bulled und später: a B, 21 ns nob lim baruddinigol nooit (e-1) edili v ossib e (y)-4, = A, erbeg ed=C, so wird, wenn überdies die überflüssig gewordenen Zeiger weg- gelassen werden: XC Yn = A + B.ed, in welcher Gleichung noch e als Exponent der geometrischen und d als Differenz der arithmetischen Reihe erkennbar hervortreten, dann (weil e[e(a)] C ist): ed = y=A+B. Cx. robeil spirologus sib Nach dieser Form wären somit empirische Formeln aufzustellen, wenn das dermalen besprochene Gesetz zwischen den Veränderlichen x und y besteht. Um die Natur der der vorstehenden Gleichung entsprechenden Curve leichter erkennen zu können, ist es nöthig, eine Vereinfachung der ersteren zu erzielen, was wieder leicht durch die Transformation der Coordinaten bewerkstelligt werden kann. Denkt man sich nämlich vorerst die Curve auf ein gewisses System IO,I bezogen und deshalb vorübergehend ihre Gleichung mit Zeigern wie folgt geschrieben: Y₁ = A+B.C, ون المنارة damit man erkennt, dass sich die Coordinaten aufs System 10,I be- ziehen, dann aber auf ein anderes diesem parallel liegendes System IIO,II bezogen, bei dem nun die Abscissenaxe um n über der des ersteren liegt, so bleiben die Abscissen x2 im neuen System ungeändert, während sich die sämmtlichen Ordinaten y₂ um verkürzen. Drückt man in der Gleichung der Curve die alten Coordinaten durch die neuen aus, indem man x, statt x, und y₂+n statt y, setzt, X2 so erhält man: X1 Y₂+ n = A + B. Ca₂ als Gleichung der aufs neue System bezogenen Curve. Wählt man jetzt n = A, so wird nach dem Weglassen der über- flüssigen Zeiger: oder, wenn man die Gleichung logarithmirt: ibn y=B.C log y = log B +x log C. am fea Ws ban odsta II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 183 Man kann für die constanten Werthe wieder einzelne Buchstaben setzen, etwa M für log B und N für log C; es nimmt dann die Formel die Form: y = M + N.x an, welche mit der auf Seite 155 besprochenen: y = a + bx voll- ständig übereinstimmt. Da letztere Gleichung aber nach Seite 167 einer logarithmischen Linie entsprach, so entspricht auch obige Gleichung derselben. Geht man auf die ursprüngliche Form der Formel zurück, d. i. auf: y=A+B. C, um die Art und Weise der Berechnung der Constanten aus den Ver- suchswerthen nach der Methode der kleinsten Quadrate zu besprechen, so erkennt man wohl gleich, dass eine directe Berechnung derselben wieder unmöglich wird, weil die Gleichung in Bezug auf die Con- stanten keine lineare ist. Man hat daher vorerst Näherungswerthe für die letzteren zu suchen und selbe dann successive zu verbessern. Zu den gewünschten Näherungswerthen aber kann man gelangen mit Hilfe der oben angegebenen Gleichungen: A = (y₁ - e- a1 B = = (e - a1 1 C=ed, x1 1) ed in welche nur die bei der Untersuchung der Versuchswerthe erhaltenen Zahlenwerthe von: y₁ als dem ersten Glied der y-Reihe, a, als dem ersten Glied der ersten Differenzreihe, e als dem Exponenten der von den Gliedern der Differenzreihe gebildeten geometrischen Reihe, d als der Differenz der von den x gebildeten arithmetischen Reihe einzusetzen sind. Mit diesen Näherungswerthen stellt die Formel: dam o nim ded or disardegus 08 y' = A + B. Cx (A+ dro Flourod job as eine Näherungsformel dar, welche in die richtige: sib mo asado y = (A + a) + (B + ß) (C+2)*7 h.sib übergeht, wenn man an den Näherungswerthen A, B und C der Con- stanten die erforderlichen Verbesserungen a resp. ß und y anbringt. Unter der bekannten Annahme, dass letztere sehr kleine Werthe seien, kann y wie folgt nach der Taylor'schen Reihe entwickelt werden: wo y y = y' + dy' α+ d A dy' dB • Bdy' 2, d C A+ BC ist, und +BC ist, und infolge dessen den Differe ist, und infolge dessen den Differenzialquotienten y' = nachstehende Werthe zukommen: elow dy' bad Al dy' = 1, = dB Cx1 dy' ac Bx C-1 dolow down 184 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Es wird daher: y = y' + a + ß. Ca+y. Bx. Cx-1, und weil der constante Werth Byd gesetzt werden kann: y=y' + a +8x. Cx-1+ B. C. Man hat jetzt aus den n ursprünglich gegebenen Versuchswerthe- paaren die nachstehenden Bedingungsgleichungen: Y₁ - Y₁ = α + 8x₁ · Сx₁-1 + B. Ca₁ Y2 - Y2 =α + 8x2⋅ Сx₂-1+ B. Cx₂ Y3 — Y₂ = a + dxz⋅ Сx31+ B. C - Yn — Yn = a + dxn Cxn−1 + B. Can - • • aufgestellt zu denken (wo yi, y2 y3', yn die Werthe bedeuten, welche aus der Näherungsformel für y' erhalten werden, wenn der Reihe nach x gleich x1, x2, x3 etc. bis xn gesetzt wird), aus denen sich dann folgende Normalgleichungen ergeben: Σ@-1) = Σ) + δ Σ{20*1 + β .Σ(*), Z{(y-y') xCx-1)=a. Z (xCx-1)+d. Z{(x · Cx−1)² } + =α + ΑΣ (0-1), Σια-1). α) = α Σ) +8.Σ 0-1 +β.Σ (0)*). Aus denselben lassen sich a, ß und d berechnen, worauf sich noch, weil 8 By ist, y = - = δ B ergibt. Sind die Verbesserungen a, ß und y bezüglich an den Näherungs- werthen A, B und C der Constanten angebracht, so hat man nur mehr aus der Formel: y = (A + a) + (B+ B) (C + y)æ die den Versuchswerthen y analogen Werthe zu berechnen, um die Brauchbarkeit der Formel zu prüfen. Wurden entgegen der gemachten Annahme für die Verbesserungen keine sehr kleinen Werthe erhalten, so gibt die Formel noch nicht so gute Resultate, als sie trotz Beibehaltung der Form mit gewissen an- deren Constantenwerthen zu geben vermöchte. Sie gibt dann bekanntlich aber auch nicht dieselben Werthe wie die Formel: y = y + a + B. Cx+y. Bx Cx-1, nach welcher die Bedingungsgleichungen aufgestellt und für welche II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 185 eigentlich die Werthe der Constanten a, ß und 8 berechnet wurden, da sie unter den obwaltenden Umständen mit der letzteren Formel nicht identisch ist, sondern dies erst wird, wenn die bekannte Annahme als gerechtfertigt erscheint. Setzt man, um dies zu erweisen, in die letztere Formel unter anderem den y' entsprechenden Werth: (A + BC) ein, so kann die- selbe auch wie folgt geschrieben werden: y=(A+a) + BC+B.C+y. Bx Cx-1. Erinnert man sich jetzt, dass nach dem binomischen Lehrsatz und weil Glieder mit 2 etc., wenn 7 sehr klein ist, weggelassen werden können: ist, also: 1 (C + y) = Cx + xyCx-1 Cx = (C + y) −xy C-1 und xy Cx-1= (C + y) — Cx, mithin: yBx Cx-1 = B(C) BC, - werden müssen, so geht die obige Gleichung auch über in: y = (A + α) + BC + B[(C + y) - xy Cx-1]+ B(C+y) - BC oder: - y = (A + a) + B (C + y) * x.B.2. Cx-1+ B (C + y)². Nachdem jetzt aber auch das By enthaltende Glied als ver- schwindend klein weggelassen werden kann, so wird schliesslich: y = (A + α) + (B + B) (C + y), und ersieht man hieraus, dass die Formel: y = y' + a + B.Cx+y. Bx Cx-1 thatsächlich in die von gewünschter Form: y = (A + α) + (B+ B) (C + y)æ übergeht, wenn a, ß und 7 so kleine Grössen sind, dass alle Glieder, welche die erste übersteigende Potenzen oder Producte dieser Grössen enthalten, gegen jene Glieder weggelassen werden können, in denen nur die ersten Potenzen derselben erscheinen. Ob das im Punkte 10) ausgesprochene Gesetz, sofern es besteht, in den Werthen von y immer zum Vorschein kommt, wenn nur die zugehörigen Werthe von x nach irgend einer im Uebrigen beliebigen arithmetischen Reihe erster Ordnung fortschreiten, dies wird sich im Folgenden zeigen. Es drückte sich (siehe Seite 181) im vorliegenden Falle das Gesetz, nach welchem sich die Glieder der y-Reihe bilden, durch fol- gende, das allgemeine Glied darstellende Formel aus: 186 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Yn = Y₁ + a₁· en-1 e-1 1 ; W aib dailinapis für dieses allgemeine Glied yn wurde aber noch der folgende Ausdruck gefunden: daisd х 100819 Yn = Y₁ + a₁ e d a₁ X1 e-1' (e-1) ed gitstidors, el nob lot or down disg welcher das zu yn gehörige x nämlich x und die Differenz (d) der arithmetischen Reihe enthält. uspr Fisaurit แฟ Lässt man jetzt die x nach einer anderen arithmetischen Reihe fortschreiten, deren Differenz etwa d sei, so ist irgend ein Glied dieser Reihe, etwa das mte, also: Xm = x₁ + (m1) 8, und das zugehörige y, nämlich: u xm midtion d a1 e 1 Ym = y₁ + a₁· ai rodi (e 1).ea Setzt man hierin den Werth von xm ein, so wird:) oyals boil Ym = Y₁ + a₁ obrediniling A δ X1 ed +(m −1) = / X1 - (e-1). ea To 1102 e - α1 1 стобо aioli bhabarw.do Dividirt man vorläufig den Zähler und den Nenner des zweiten x1 Gliedes durch ed, so geht diese Gleichung in: d +e(m-1) a δ Ym = Y₁ + a₁· oder auch in: a₁ Tce 1 e-1'sib ur deild Baledt (a)m- m-1 Ym = Y₁ + a₁ zoboili) alla azab bangin -1 meow 1980) 1920ib soubor robo esitado bor Tobo 198ildo Tem 1steredit ofans ob über, und nimmt, wenn noch Zähler und Nenner (ea_1) dogradi dolow des Bruches mit multiplicirt werden, folgende Form an: do asters aib tu d d e 1 Jrisdasd eo misto duas D sib on now immo nigd negidefled Ym=y₁ + a1 - A mi esb do m-1 now quithne Wash a 1 W usgrödegus mi dois briw asib notionfortrol gauabs0, toe-1 fiol, godoarteandling In dieser Formel stellt dann ym offenbar das mte Glied einer Reihe dar, welche dem im Punkte 10) bezüglich der y-Reihe ausgesprochenen Bildungsgesetz entspricht, da der Form nach diese Formel genau mit der für dieses Gesetz oben abgeleiteten Formel: nispolis ab abung II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 187 200181T80 0 Yn = Y₁ + a₁ en- en-1 1 e- - 1 doilbas übereinstimmt. Es beginnt dann die erste Differenzreihe nicht mit a₁, sondern mit: oil) madero al 02,81 ov isti ani len um Hatha aa1 - e 1 08. und schreitet die geometrische Reihe nicht mit dem Exponenten e, ns new los son low oliering sondern mit dem Exponenten e'=ed fort. 9 Die Aufstellung einer speciellen empirischen Formel im vor- liegenden Falle möge an folgendem Beispiel erläutert werden. mo Es seien die nachstehenden bekannten Versuchswerthe: = 0 X2 - 23,85x3 4,525' y₂ = 22,24' X4 Y4 - = 91,344 ** = 52,12 29 y 101,40'ervos gush J X5 100,87 553,03' y 1 s = 779,73 but foto! vorerst auf das im Punkte 10) ausgesprochene Gesetz zu prüfen. Zu diesem Zwecke zeichnet man, wie bereits bekannt, die Be- ziehungscurve in möglichst grossem Maassstabe, um für Werthe von x, welche nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung fortschreiten, die zugehörigen Werthe von y erhalten zu können. Man fände nun im Einklange mit den auf Seite 154 angeführten Werthen: xais ed logot ni alla obnovoto in bale embed By für x = 0, x = 20, x=60, x=80, x = 100, xg40, als zugehörige Werthe von y: 00,0 y=4,53, y y = 17,39, y = 54,96, y = 148,58, 760,00.979 mob als l gab adley — 353,93, y = 760,00. Es ergeben sich somit als aufeinanderfolgende Glieder der ersten Justamos ah als h Differenzreihe der y-Reihe: $11979TH a₁ = 12,86, α = 37,57, as = 93,62, a₁ = 205,35, a a5 = 406,07, und es ist der Exponent e dieser Differenzreihe, sofern sie eine geome- trische Reihe bildet, offenbar nach der Formel: OSAT810,0 en-2 = @1000 FL10,1 + gol 1 12,86 und an-1=a5= zu berechnen, wo n = 6, a1 werden muss. Es wird daherbergin a = 406,07 gesetzt ero ab Janal se e¹ = 31,5762052868 or und hieraus durch logarithmische Rechnung: loob aux Edo al 188 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. log e= 0,3748400, endlich e= - 2,370500. Berechnet man jetzt von a = all Jupadiamond 12,86 als erstem Gliede ausgehend, die auf einander folgenden fünf Glieder der geometrischen Reihe mit Hilfe des eben erhaltenen Werthes von e, so erhält man: a₁ = 12,86, a,' = 30,48, a' = 72,26, a 171,30, ag= 406,07, und ersieht, dass obige erste Differenzreihe wohl nur sehr wenig an- genähert einer geometrischen Reihe entspricht. Man würde es demnach jedenfalls unterlassen, eine empirische Formel nach der Form aufzustellen, welche dem im Punkte 10) aus- gesprochenen Gesetze entspricht. Da es sich aber hier wieder vorzugsweise nur darum handelt, den Gang sowie den Umfang der erforderlichen Rechnungen zur Anschauung zu bringen, so möge trotzdem die Aufstellung der speciellen empirischen Formel für den vorliegenden Fall und nach der Form: versucht werden. y=A+B.C Man hat vor Allem Näherungswerthe der Constanten aus den auf Seite 183 angegebenen Gleichungen: zu berechnen, also im vorliegenden Falle in dieselben einzusetzen: für y, als dem ersten Glied der y-Reihe den Werth für x1 1 Α A=(y-1), B- a1 e- und C = ed C- X1 (e-1). ed y₁ = 4,53, für a1 als dem ersten Glied der zur y-Reihe gehörigen Reihe der x den Werth x 0,00, als dem ersten Glied der ersten Differenzreihe den = Werth a = 12,86, für d als der constanten Differenz der x-Reihe den Werth d= 20, für e als dem früher gefundenen (angenäherten oder mitt- leren) Exponenten der a-Reihe den Werth 2,370500. Da nun die Rechnung mit Hilfe dieser Werthe: A = ― - 4,8534367, B = +9,3834367 und log B = 0,9723619, C = + 1,0441000 وو log C = 0,0187420 gibt, so lautet die vorerst aufzustellende Näherungsformel: y' = -4,8534367 + (9,3834367) (1,0441)". Man erhält aus derselben: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 189 für 1 وو 1 0, y=+ 4,5300000 statt y, = 4,525, X2 = 23,85, y2 = + 21,4104233 27 Y2 - 22,240, 52,12, y = + 84,1065833 - وو Y3 101,400, 22 "" 27 X3 XA = = 91,34, y=+ 478,4904633 X5 100,87, y = + 724,3813966 x5 = yo y₁ = 553,030, Y5 = 779,730. Es betragen somit die Differenzen zwischen den analogen Ver- suchs- und Rechnungswerthen: — = = — 0,0050000, Y₂ — Y₂ = d₂ =+ 0,8295767, - Y₂ — Y₂ = Y₁ — Y₁ = - d₂ = + 17,2934167, d₁ = + 74,5395367, Y5 — yś = d₂ =+55,3486034, und die algebraische Summe derselben: S (8)=148,0061335. Um jetzt die den allgemeinen auf Seite 184 angeführten Normal- gleichungen analogen speciellen Normalgleichungen aufstellen zu können, die sodann zur Berechnung der Verbesserungen a, ẞ und y dienen, welche an den Näherungswerthen A, B und C der Constanten anzu- bringen sind, hat man folgende Hilfswerthe auf Grund der ursprünglich gegebenen Versuchswerthe auszurechnen: X1 Clx1-1 X2 Cx2-1 = 0,0000000, 63,9356490, X3 Cx-1 = 473,2553019, X4 Cx4-1 = 4506,2293972, X5Cx-1=-75080,2241319, X C-1)+80123,6444800; Cla 1 1,0000000, JAINSA C2 = 2,7986000, Cas C24 = = 9,4805400, 51,5103240, Cx5 = 77,7150000, Σ(0*) = + 142,5044640; 190 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. OOL TOX (x₁· Cx₁-1)²=80 (X2Cx2-1)² = 0,00000000, 4087,75721304, (xg C-1)2011 223970,58080295, • (x4 C-1)² = 20306103,38000921, (X5. Cxs-1)2 5637040055,69829117, Aygul {(x. C-1)²} = +5657574217,41631637; od eft . X₁· C2x1-1 = X2 C2x2-1 = 0,00000000, 178,95336156, undosil buradona X3 C2x-1 = 4486,71475840, X4 · C2x4-1 = 232117,37127720, = X5 • C2x5-1 583486,81811420, ((x-C2x-1))+820269,85751136; C2x1 = C2x2 = Euodbiera sina bilastridagle pib bo 1,0000000, 7,8341772, C2x3 89,8806000, fauro stulblogon 1802265 obbin us JNE nobtaigne) C2x5 = 2653,3130700, lylent 6039,6382800, one rogolens uogandisty (C2) = + 8791,6661272; dash ne odblow (C2)=+8791,6661272; • igus fh bun wirowell! almoglo em dad baie sgurid of hordland (y₁ = y₁). Cla =0,0050000,Vardagog (Y2Y2) Ca2 2,3216532, (YsY3) Cas+ 163,9509287, (Y4Y4) C . = + +3839,5556862, (Y5 - Ys'). Clas Cas+4301,4167132, {yy') C}+ 8307,2399813; (y₁y₁') (x,· Cx-1)= p0,0000000, (Y2-Y½) (X₂-C¹) = + 53,0395246, (ysys') (x - Cx-1)=+ 8184,2011416, (Y4Y4') (X4· Cx-1)=+ 335892,2515295, (Y5ys') (X5C-1)=+4155585,5486602, Σ{(y—y') (x · Cx-1)} = + 4499715,0408559. Es lauten daher die speciellen Normalgleichungen: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 191 184,0061335 = - 5α + 80123,6444800 8+ +142,50446400 p, +820269,85751136 ß, 4499715,040855980123,644480 a +5657574217,41631648 + 8307,2399813 142,504464 α + 820269,85751148 + Low sho und es ergeben sich hieraus: downside and +8791,6661272 ß nosib baday Ida2 ẞ=+ 1,1228662, um ada baja noliow d = +0,0008622, basisgrov dabin is ― 16,2179810, 0,0008622 ist, ferner weil y = 8 B = 109,3834367 y=+0,0000919. Da die Verbesserungen ß und a keine sehr kleinen Zahlenwerthe besitzen, also die bei der Formelableitung gemachte Annahme nicht zutrifft, so stellt die nachfolgende Formel nicht die richtige, nämlich nicht jene dar, welche die vorgeschriebene Form besitzt und dabei die Versuchswerthe y so gut als möglich gibt, sondern eine Näherungs- formel, weshalb wieder y' statt y gesetzt wurde. Dieselbe lautet: y' = (-4,8534367 16,2179810) + (9,3834367 +1,1228662) (1,0441 0,0000919)*, oder: -- - y' — — 21,071419+ (10,506303) (1,045019)*. Diese Formel gibt nun: 1 = für X1 X2 X3 Y3 0,00, y₁ = - 10,5651 statt y₁ = + =+ 4,525, = 23,85, y2 = + 8,2753 "Y2 22,240, 52,12, y = 83,3079 = 101,400, Y4 99 Y₁ = 553,030, 553,030,st 779,730, mol, sden, doil X4 91,34, y=+ 564,0490 = - "X5 100,87, y=+871,2015 +871,2015, Y5 = und es betragen daher die Differenzen zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen: d₁ = y₁ - Y₁ = +15,0901, - S₂ = Y₂ — Y₂ = + 13,9647, bogdands ძვ - d3 = Ys — Ys' = + 18,0921, 84 - 0 = YAY - - 11 — 11,0190, nó – 91,4715. Die algebraische Summe dieser Differenzen ist: dadoull evib J (1 o ppt 192 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. S= Σ(6) = - 55,3436. Bessere Resultate muss die Formel: y = y +a+B.C+y. Bx Cx-1, . oder weil: y' = A + B C ist: • y = (A + α) + (B+ B) Cx + y B x Cx-1 geben, da die Constanten a, ß und 7 eigentlich für sie berechnet worden sind. Setzt man in dieselbe die bereits bekannten Zahlenwerthe ein, nicht vergessend, dass By = 8 ist, so wird: y=-21,071419 +10,506303 (1,0441) +0,0008622 x (1,0441)-¹. Diese Formel gibt: für x1 X2 • وو - 0, y = 23,85, y2 = + 10,5651 statt y₁ = 8,3866 Y2 1 4,525, 22,240, 27 X3 = 52,12, y = + 78,9420 22 Y3 101,400, X4 91,34, y = + 523,9969 29 Y4 - 553,030, "X5 = 100,87, y=+860,1600 y5 = 779,730, und betragen die Differenzen zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen: d₁ = y₁ — y = +15,0901, 82Y2 Y2 83 бл = = Y2Y2 = 13,8534, Y3Y3 = 22,4580, Y₁- Y₁ = +29,0331, 5 0 = = Y5 - ys = 80,4300. Es gleichen sich jetzt die Fehler doch annähernd aus, da die alge- braische Summe derselben: also nahezu Null wird. s = (8) = +0,0046, S= Durch die Wiederholung des die Verbesserung der Constanten bezweckenden Verfahrens würde man wohl jener Formel schon ziem- lich nahe kommen, welche die Versuchswerthe unter den obwaltenden Umständen so gut als möglich wiedergibt. Im vorstehenden Beispiel wurde die Berechnung der Hilfswerthe soweit dies thunlich war mit siebenstelligen Logarithmen durchgeführt. 11) Die abhängig Veränderliche y schreite nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine Reihe bilden, deren erste Differenzreihe eine geome- trische Reihe ist. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 193 Nachdem das eben ausgesprochene Gesetz mit dem im Punkte 10) behandelten vollständig übereinstimmt, wenn x und y mit einander verwechselt werden, so ist es ganz überflüssig, die Formel für den vorliegenden Fall besonders abzuleiten, da man weit einfacher zu der- selben gelangt, wenn man in der auf Seite 182 erhaltenen Formel: A+ B. C, y=A+B. WO: A = y₁ + a1 e-1' B= α1 und Ced 21 (e-1) ed waren, das x mit dem y vertauscht. Man erhält dann: WO: X = =A+B.C", 1 A=x+, B a1 11 und C = ed yi (e-1).ea e-1' sind, weil ja auch in diesen Werthen das x mit dem y zu ver- tauschen ist. Schreibt man jetzt die Gleichung x = A + B C in der Form: BC-x- =x-A, um durch Logarithmirung zum y gelangen zu können, so wird: log By log C = log (x - A) . mithin: y = - log B log C 1 + log C log (x-4). Setzt man jetzt für die jedenfalls constanten Werthe einzelne Buchstaben, und zwar: = b, überdies A=c, log B log C 1 = a, 1 log C so geht die Formel über in: y= a + blog (x - c), worin: a = log B log C = - d [log a₁ log e - log (e - 1)]}, sind. 1 b log C = d log e' c = A = x₁+ a e-1 Es kommen selbstverständlich den in diesen Constantenwerthen erscheinenden Grössen die im Nachstehenden angeführten Bedeutungen zu. Es ist: Steinhauser, empirische Formeln. 13 194 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. y₁ das erste Glied der von den y gebildeten arithmetischen Reihe, x₁ das erste Glied der von den zu den y gehörigen x gebildeten Reihe a das erste Glied der ersten Differenzreihe der x-Reihe, e der Exponent der geometrischen Reihe, die diese Differenzreihe bildet, d die constante Differenz der y-Reihe. Nachdem durch die bei Beginn der Besprechung des vorliegenden Falles vorgenommene Vertauschung des x mit dem y in der auf Seite 182 angeführten Gleichung nur die Lage, nicht aber die Natur der dieser Gleichung entsprechenden Curve geändert wird, so unter- liegt es keinem Zweifel, dass auch der durch die besprochene Ver- tauschung erhaltenen Gleichung eine logarithmische Linie entspricht. Es ist nun zunächst die Frage zu erörtern, wie empirische For- meln nach der Form: y = a + blog (x — c) aufzustellen sind, wenn die principiell so wie im Punkte 10) durchzu- führende Voruntersuchung ergeben hätte, dass das im Punkte 11) aus- gesprochene Gesetz angenähert besteht. Bestünde nämlich dasselbe genau, so würden sich die Constanten b und c unmittelbar aus obigen in Bezug auf dieselben angeführten Formeln ergeben. a, Es lägen in einem bestimmten Falle folgende drei, je zwei Zeilen in Anspruch nehmende Reihen vor: 11 Y1Y1, Y2 y₁+d, y = y₁ + 2d, y₁ = y₁ + 3d... X1 a1, XA X3 X2 a4... ag, a21 ... Yn-1=Y₁ + (n-2)d, yn y₁ + (n − 1)d, = - ... Xn-1, ...an-1, Xn, nämlich: die nach irgend einer constanten Differenz d fortschreitende y-Reihe, dann die durch die zugehörigen (wenn nöthig durch graphische Interpolation aus den gegebenen Versuchswerthen erhaltenen) x ge- bildete x-Reihe, endlich deren erste Differenzreihe (die a-Reihe), welche sich annähernd als geometrische Reihe erwiese. Unter diesem Umstande werden die Quotienten: an-1 a3 as =en-2 = O2 <= 1, = C21 e3, a1 a2 ag an-2 nahezu gleichwerthig sein und sämmtlich durch jenen Werth e ersetzt werden können, welcher als Exponent in der (n-1) Glieder ent- haltenden a-Reihe von a, auf an-1 führt. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 195 oder: Es muss dann: a₁en-2 = An-1, also en-2 = log a-1-log a₁ log e = sein. n 2 an-1 a1 Mit Hilfe des hieraus leicht zu bestimmenden Werthes von e und der bekannten Werthe von x1, 91, a₁ und d ist es dann leicht mög- lich, für die Constanten a, b und e Näherungswerthe zu berechnen, da ja: und Ɑ= b = {y, d log e - d log e a1 [log a₁ - log (e--1)]}, c = x + sind. e-1 Man gelangt dadurch sodann zur Näherungsformel: - y=a+blog (x — c), in der eben y' statt y gesetzt ist, um anzudeuten, dass selbe nur Näherungswerthe zu geben vermag. Der richtigen Formel, nämlich jener, welche unter Beibehaltung der gewählten Form die Versuchswerthe so gut als möglich wieder- gibt, gehören andere Constantenwerthe A, B und C zu, die sich von ihren Näherungswerthen a beziehungsweise b und c um gewisse Werthe a, ẞ und unterscheiden, die natürlich um so kleiner werden, je angenäherter das ausgesprochene Gesetz besteht. Es stellen dann a, ẞ und y jene Verbesserungen dar, deren die bereits bekannten Näherungswerthe a beziehungsweise b und c be- dürfen, damit sie in jene Constanten A, B und C übergehen, welche der richtigen Formel angehören. oder: Die richtige Formel würde daher lauten: - y= A + Blog (x C), y = (a + α) + (b + B) log [x- (c + y)], und es kann sodann wieder y nach der Taylor'schen Reihe wie folgt entwickelt werden, wenn die Verbesserungen a, ß und 7 sehr kleine Werthe besitzen: WO: y = y' + dy' da • dy' db dy' B+ de 2, y' = a + blog (x - c) ist. Im vorliegenden Falle kommen den Differenzialquotienten folgende Werthe zu: 13* 196 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. dy' da = = 1, dy' db 1 log (x - c) und dy' b. M - de wo M den Modul der Brigg'schen Logarithmen bedeutet. Es wird daher: y = y' + a + Blog (x-c) - y oder wenn man noch den constanten Werth: b.M 2. x-c' δ -7b M-8 das heisst y bM setzt: 1 OC - y-y= a + ẞ. log (x-c)+d( Stellt man jetzt nach dieser Gleichung aus den schon ursprünglich ge- gebenen Versuchswerthen die nachstehenden Bedingungsgleichungen auf: y₁ — y₁ = a + ẞ log (x, c) + d - Y2 - Y₂ = a + ẞ log (x2 - X2 1 - 1 - - c) + d 8 (2₂ = c ), + d ( x - Ys — Ys = a + ẞ log (x − c ) - 1 1 ² c); - Yn — Yn'— « + ß log (£n − c ) + d ( x − c ) › - wo bekanntlich unter y', y2, yyn jene Werthe zu verstehen sind, welche obige Näherungsformel gibt, wenn für x beziehungsweise x1, X2, X3 etc. bis xn gesetzt wird, so können aus denselben die folgen- den drei Normalgleichungen abgeleitet werden: 1 Σ-Σ+Σ (10g (2-0) +8 Σ.). - х - {(y-y') [log (x —c)]}= a(log (x − c)} + + β.Σ {log (@ = *) + * ΣΕ 1.) 10g (@ - 0), 1 Σι-1) = Σ.1.1 + XC- +Blog — α 1 х - (c)])+8.Σ{(¹)"}, х - aus welchen die Constanten a, ß und 8 berechnet werden können. Der Werth von y bestimmt sich sodann aus der oben angeführten Gleichung: y= 8 b.M' worin M = 0,4342944819. ist. Man berechnet somit eigentlich die Constanten aus den nach der Gleichung: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 197 - y-y=a+ẞ·log (x —c) — y α х b M - C aufgestellten Bedingungsgleichungen, setzt sie aber dann in die Formel: . y = (a + a) + (b + B) log [x-(c + y)]. Es ist daher auch hier wieder nachzuweisen, dass beide Formeln identisch werden, sobald die Annahme zutrifft, welche bezüglich der Grösse der Verbesserungen gemacht wurde. Bedenkt man, dass allgemein: log nat (m + n) = log nat m + ist, also ebenso: log nat[(x-c)-7]=lognat (x-c) — n n2 m 2m2 + + X-C y 2 2(x-c)² n3 3m³ - y3 3 (x−c) ³ + ... Y wird, hier aber die Glieder mit den höheren Potenzen von y weggelassen werden können, weil y angenommenermassen sehr klein ist, so folgt: log nat [(x-c)-7]= log nat [x-(c+y)]=[log nat (x-c)] — Multiplicirt man jetzt diese Gleichung mit dem Modul M der Brigg'schen Logarithmen, so geht selbe in: oder: - - M log nat [x-(c + y)] = M log nat (x — c) — log brigg [x-(c+7)] = log brigg (x-c) - über. Es wird daher: х Μγ x-c' MY X-C My х - c' X- - C log brigg (x - c) = log brigg [x- (c + r)] + und wenn man diesen Werth in obige, nur durch das Einsetzen des Werthes von y' der Form nach geänderte Gleichung: - y=a+b.log(x-c)+a+Blog (x-c) y. einführt, welche Brigg'sche Logarithmen enthält: y=(a+a)+b.log [x-(c+y)] + b My х - C b M X- - C' +B log [x-(c+r)] + + Μβγ b My - Lässt man jetzt das der Annahme zufolge verschwindend kleine Glied mit By weg, so geht nach erfolgter Reduction die Formel in die gewünschte Form: y = (a + a) + (b + B) log [x-(c+r)] • über. 198 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Es ist somit die Uebereinstimmung der betreffenden zwei Formeln unter der bekannten Annahme erwiesen. Würde man, wenn Figur 9 möglichst gross und genau gezeichnet wäre, aus derselben eine Reihe von x Werthen aufsuchen, welche be- ziehungsweise zu nach einer arithmetischen Reihe fortschreitenden Werthen des y gehören, so könnten unter anderen folgende Reihen zusammengehöriger Werthe erhalten werden: y-Reihe, x-Reihe, Differenzen der x, also: a-Reihe. 20, 22,27, 29,42 100, 51,69, 12,50 180, 64,19, 8,39 260, 72,58, 6,42 340 79,00, 5,27 420, 84,27, 4,46 500, 88,73, 3,91 580 92,64, 3,47 660, 96,11, 3,14 740, 99,25, Es ist hieraus sehr leicht zu ersehen, dass die erste Differenzreihe der x-Reihe (nämlich die a-Reihe) keine geometrische Reihe bildet, also dem im Punkte 11) ausgesprochenen Gesetz nicht entspricht. Aus diesem Grunde und hauptsächlich deshalb, weil der vor- liegende Fall mit dem ihm unmittelbar vorhergehenden grosse Aehn- lichkeit besitzt, möge die Anführung eines speciellen Beispieles unter- lassen werden. 12) Die abhängig Veränderliche y schreite nach einer geometrischen Reihe fort, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine Reihe bilden, deren erste Differenzreihe desgleichen eine geometrische Reihe ist. Sind: Y1=Y1, y2=-y₁e, y=y₁e², Y₁4-y₁e³, Yn-1-y₁en-2, Yn y₁en-1 die aufeinander folgenden Glieder der mit dem Exponenten e fort- schreitenden geometrischen Reihe, welche die y bilden, II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 199 X1, X2, X3, X47 ... Xn-1, Xn, die der zugehörigen x-Reihe, endlich: = a1, a2 = a₁q, a = a₁q², a₁ = a₁ q³,· An-1 = • a₁9"-2 a1 die Glieder der eine mit dem Exponenten q fortschreitende geome- trische Reihe bildenden ersten Differenzreihe, so ersieht man wieder deutlich, dass: X₁ = X1, X2 = x₁ + α1, X1 X 4 = Xz + Az = und ganz allgemein: X3 = X2 + A₂ = X₁ + α₁ + α₁q, xz a2 x₁ + α₁ + α₁q + a₁ q² Xn = x₁ + a₁ + a₁q + a₁q² + α, q³ + ··· + a₁gn-2 ist. Da nun weiter: Xn oder: ... x₁ + a₁ (1 + q + q² + q³ + ··· + gr−2) log Yn (n-1)= - log y₁ log e Xn = x₁ + a₁ qn-1 — 1 • 9-1 ist, so erhält man, wenn für (n-1) der aus yn resultirende Werth: log yn log e — log y₁ log e gesetzt wird: log Yn log Yi loge log e — q Xn = x₁ + α₁. a 9-1 oder: log yn loge Xn = x₁ + a₁· log Yi a1 9-1 loge (9-1).q Setzt man jetzt für die jedenfalls constanten Werthe einzelne Buch- staben und zwar: 1 X1- - a1 9-1 =A, log Yi = B und später gloge = C, (9-1) glog e so ergibt sich, wenn noch die überflüssigen Zeiger weggelassen werden, vorläufig: logy x = A + B gloge, . in welcher Gleichung noch e als Exponent der einen und q als der der anderen geometrischen Reihe erkennbar hervortreten, dann aber, weil: 200 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. X = = log y glog loge = 1 logy (gloge) 10 = Clogy ist, = x A. A+B Clogy oder B. Clog y • Logarithmirt man diese Gleichung, so wird: log Blog y log Clog (x-A), • oder, wenn für die constanten Werthe einzelne Buchstaben gesetzt werden, und zwar: oder: - log B log C - 1 a, - log C - b, überdies A = c, - log y = =a+b.log(x — c). In dieser Gleichung kommen den Constanten folgende Werthe zu: endlich: log a= log B log C 8 (-1). glo log y₁ loge 1 log q loge • log a log (q-1)- - 1 log e log Y₁.log 9 log e log q loge α= log y₁+ log q [log (1) log a₁], — 1. = log e log q weiter: b und 1 log C c = A = [x₁ 1 1 log gloge - - q 1. Es sind somit nach der obigen Formel: log y = a + blog (x- c) dann empirische Formeln aufzustellen, wenn das im Punkte 12) aus- gesprochene Gesetz in den betreffenden sich aus den Versuchswerthe- paaren (unmittelbar oder wenn nöthig durch graphische Interpolation) ergebenden Reihen mindestens angenähert zum Vorschein kömmt. Um die Natur der Curve, welche der vorstehenden Gleichung ent- spricht, leichter erkennen zu können, ist es nöthig, eine Vereinfachung der letzteren durch Transformation der Coordinaten zu bewerkstelligen. Denkt man sich vorerst die Gleichung auf ein gewisses System 10,1 bezogen und deshalb, wie folgt, nämlich mit Zeigern, geschrieben: log y₁ = a + b. log (x, c), - II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 201 dann aber auf ein anderes System nämlich 110,II bezogen, dessen Ordinatenaxe um m seitwärts und zwar links der des ersteren liegt, so bleiben die Ordinaten y₂ im neuen Systeme ungeändert, während die sämmtlichen Abscissen sich um m verlängern. Drückt man in der aufs System IO,I bezogenen Gleichung der Curve die alten Coordinaten (x, und y,) durch die neuen (x, und y2) aus, indem man y₁ = y2, und x1 = x2+m setzt, was den obwal- tenden Umständen entspricht, so erhält man: X1 log Y2 = a+blog (x2+ m — c) - als auf das neue System bezogene Gleichung der Curve. Wählt man m = c, so geht selbe, wenn überdies die jetzt über- flüssigen Zeiger weggelassen werden, in: log ya+blog x über. Diese Gleichung gibt: 1 ∞ ist, log y = -∞, also y = 0, für x=0, da log 0 für x=+∞, da log (+) = +∞ ist, log y = +∞, also y = +∞, ferner für alle positiven Werthe von x auch positive Werthe von y, nach- dem die zu log (w) gehörige Zahl bekanntlich immer positiv ist; für alle negativen Werthe von x keine reellen Werthe von y, da log (x), also auch log y sodann imaginäre Grössen sind. Man kann sich nach dem Vorstehenden leicht eine allgemeine Vorstellung von der der Gleichung d log y = a + blog x entsprechenden Curve machen, die offenbar vom Ursprung ausgehend, der Abscissenaxe die hohle möglicherweise auch erhabene Seite zu- wendet und im ersten Quadranten verbleibend sich ins Unendliche erstreckt. Vergleicht man überdies die im vorliegenden Falle erhaltene und besprochene Formel: mit jener: log y = a + blog (x- c) y' = a + blog (x - c), welche auf Seite 193 erhalten wurde und einer in gewisser Lage befindlichen logarithmischen Linie entsprach, so erkennt man, da aus: log y = a + blog (x-c) auch: oder: y = Num. log [a + blog (x - c)], y = Num. log y' robe 202 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. folgt, dass die Ordinaten y der eben besprochenen Curve angesehen werden können als die Zahlen, welche zu den als Logarithmen an- gesehenen Ordinaten y' einer in gewisser Lage befindlichen logarith- mischen Linie gehören. Es ist wohl selbstverständlich, dass nur zum Zwecke der Unter- scheidung der Ordinaten beider in eine Beziehung gebrachten Curven die der einen Curve mit y' statt y bezeichnet wurden. Der Nachweis, dass das im Punkte 12) ausgesprochene Gesetz immer zum Vorschein kömmt, sofern es besteht, man mag die y nach was immer für einer geometrischen Progression zunehmen lassen, kann wie folgt geführt werden. Das Gesetz, nach welchem sich die Glieder der x-Reihe bilden, wird durch folgende das allgemeine Glied darstellende Formel aus- gedrückt: Xn = x₁ + a₁ 9-1 1 Für dasselbe wurde aber noch folgender Ausdruck gefunden: log yn loge a1 q Xn = X₁ + α ₁ log Yi 9-1' (9-1).q log e welcher unter anderem das zu xn gehörige y, nämlich yn und den Ex- ponenten e der von den y gebildeten geometrischen Reihe enthält. Lässt man jetzt die y nach einer anderen geometrischen Reihe fortschreiten, deren Exponent etwa & sei, so ist irgend ein Glied dieser Reihe, etwa das mte, also: Ym=y₁· εm-1, und das zugehörige x, nämlich: logym loge q Xm = X₁ + a₁ log y a₁ q 1 (9-1).q log e Setzt man in diese Gleichung, berücksichtigend dass: log Ym log y₁+ (m-1) log & ist, den Werth von log ym ein, so wird: log & xm = x₁ + a₁. gloge (m-1)+ log Yi loge a1 (q-1).q log yi loge 9-1' oder, wenn man Zähler und Nenner des zweiten Gliedes durch q dividirt: log yi loge II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 203 log e (m-1) loge q Xm = x₁ + α₁ (q-1) Schreibt man diese Formel in folgender Form: Xm = log ε (m-1) loge 9-1 - log & so braucht man nur mehr Zähler und Nenner des Bruches mit Laloge -1] - zu multipliciren, um: log & loge logε (m-1) loge a₁ q - 1 Xm = Xx₁ - 9-1 log & loge zu erhalten, nämlich das mte Glied einer x-Reihe, welche das im Punkte 12) ausgesprochene Gesetz befolgt, da die Form dieser Formel genau mit jener übereinstimmt, welche für das nte Glied dieser Reihe oben abgeleitet worden ist, und lautete: n-1 q - Xn = x₁ + α₁ 9-1 Es beginnt nur dann die erste Differenzreihe nicht mit a,, sondern mit log & loge a' a₁ g 1 1 und es schreitet die a-Reihe nicht mit q, sondern mit: log & qqloge als Exponenten fort. Noch ist anzugeben, wie empirische Formeln nach der Form: log y = a+b log (x-c) aufzustellen sind, wenn die Voruntersuchung ergibt, dass das im Punkte 12) ausgesprochene Gesetz annähernd besteht. Bestünde nämlich das Gesetz genau, so würden sich selbstver- ständlich die Constantenwerthe einfach und unmittelbar aus den obigen für dieselben angeführten Formeln ergeben. Es lägen in einem bestimmten Falle folgende drei Reihen vor: Y1=Y1, Y2-y₁e, y=y₁e², y₁-Y₁es, Yn-1-y₁en-2, Yn - Y₁en-1, ... Xn, X37 X17 X27 X4,.. a4. Xn-1, an-1 A27 a12 nämlich: die mit dem Exponenten e fortschreitende y-Reihe, dann die durch die zugehörigen (etwa durch graphische Interpolation erhaltenen) x 204 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. gebildete x-Reihe, endlich deren erste Differenzreihe (die a-Reihe), welche sich annähernd als geometrische Reihe erwiese. Unter den obwaltenden Umständen werden die Quotienten: a2 = 91, a1 a3 A2 921 = 937 as an-1 an-2 =9n-2 nahezu gleichwerthig sein und durch jenen Werth q ersetzt werden können, welcher als Exponent in der (n-1) Glieder enthaltenden a-Reihe von a, auf an-1 führt. oder: Es müsste dann: = a₁gn-2 <= An-1, also gn-2 = a n-1 a1 logan-1 - log a₁ log q = n-2 sein. Mit Hilfe des hieraus leicht zu bestimmenden Werthes von q und der bekannten Werthe von x1, y₁, a₁ und e ist es jetzt leicht möglich, für die Constanten a, b und c Näherungswerthe zu berechnen, da ja nach Seite 200: log e α= log y₁ + log q [log (91) - 1) - log a₁], log e b = und C = X1 - log q a1 q-1 sind, folglich auch möglich eine Näherungsformel aufzustellen, welche lautet: log ya+b log (x-c). In derselben wurde nebenbei bemerkt wieder y' statt y geschrieben, um anzudeuten, dass diese Formel nicht die richtigen Werthe y, sondern nur Näherungswerthe y' zu geben vermag. Jetzt sind aber die Constanten a, b und e noch in der bereits be- kannten Weise zu verbessern. Zu diesem Zwecke muss die Formel aus schon Seite 156 dargelegten Gründen bezüglich der Form so geändert werden, dass sie für y aufgelöst erscheint. Unter der Voraussetzung, dass mit gemeinen Logarithmen gerechnet wird, ist sodann: y' = 10(a+b.log(x—c)}. Nimmt man an den Constanten a, b und c die erforderlichen Ver- besserungen vor, nämlich bringt man an denselben beziehungsweise die Correcturen a, ß und 7 an, so geht die Näherungsformel in die richtige Formel: y = 10{(a+a)+(b+B) log [x-(c+x)]} über. Unter der Annahme, dass a, ß und 7 sehr kleine Werthe seien, kann dann y, wie folgt, nach der Taylor'schen Reihe entwickelt werden: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 205 Wo bekanntlich: dy' da dy' db y = y' + α+ B+ y' = 10(a+b.log(x-c)} dy' de 7, ist. Die Differenzialquotienten nehmen hier folgende Werthe an: =y' log nat 10 log (x - c) und dy' da =y' log nat 10, dy' db dy' = = — y'. х b - C und es wird daher: de y=y'+(y'log nat 10). a +[y'lognat 10.log(x-c)] B-y'.. oder: y=y' (1+ a log nat 10)+(log nat 10) B.y' log(x-c) - y'· by x-c' 30 by - C Setzt man für die jedenfalls constanten Werthe einzelne Buch- staben, etwa: (1 + a log nat 10)=d, Blog nat 10 = ε, -by=9, woraus: α 8-1 log nat 10' ε B = und log nat 10 y = - ф b folgen, so wird schliefslich: y = y' · d + y' · ε log (x-c) + y'. . & х ф -C - Nach dieser Gleichung sind jetzt aus den ursprünglich gegebenen Versuchswerthen die folgenden Bedingungsgleichungen aufzustellen oder eigentlich nur aufgestellt zu denken: y₁ = y₁d + ε y₁ log (x, c) + yi. . - Y₂ = Y₂ d + ε · y log (x2 c) + y2· • - Y3 = Ys'd + ε yg log (xgc) + ys' • ф X1 C' ዎ X2 - C' ዋ X3 C' • = ε · Yn Yn'd & yn' log (xn−c) + yn' op adief • х C' n aus welchen sich die nachstehenden, zur Berechnung der Constanten dienenden Normalgleichungen ergeben: '(yy') = 0·Z(y)² + ε · Z((y) log (x - c)} + +9. Σω. 1 OC bitegian at 206 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. {yy').log(x-e)}=d. {(y) log(x-c)}+&{[y log(x-c)]²)+ 1 +9{[(y) log (x - c)] · _—_e}, 1 X- - 1 Σ {(vv) ___} = d.Σ{(~))+{[() log(-e)])+ X- - 1 - Hat man aus denselben die Werthe der Constanten 8, & und o berechnet, so ergeben sich leicht die Verbesserungen aus den oben angegebenen Formeln: α= 8-1 1. log nat 10' ε B = log nat 10 und y = y= ዋ b' WO: log nat 10 1 = M log nat 10 = 0,43429448... 2,30258509..., also ist, und b einen der bekannten Näherungswerthe bedeutet. Die Werthe der Verbesserungen sind sodann selbstverständlich in die Formel: y = 10 {(a + a)+(b+B) log [x-(c+r)]} einzusetzen, welche aber zum Gebrauch in die Form: log y = (a + a) + (b + B) log [x - (c + y)] zu bringen ist. Ueber den vorliegenden Fall möge wieder ein specielles Beispiel folgen. Es liegen die bekannten Versuchswerthepaare: [x₁ = 0 Jx1 \y=4,525 [x2 = 23,85 - \ =22,24 y2 = 52,12 101,40' 91,34 5 = 100,87 - ly₁ = 553,03' l = 779,73 vor und es wären selbe vorerst auf das im Punkte 12) ausgesprochene Gesetz zu untersuchen. Da die Werthe der y nicht wie erforderlich nach einer geometri- schen Reihe fortschreiten, so muss man, um zu dieser Anforderung entsprechenden Werthen zu gelangen, wieder zur graphischen Inter- polation seine Zuflucht nehmen, also die Beziehungscurve möglichst genau darstellen, ähnlich so, wie dies in Figur 9, jedoch in kleinem Maassstabe geschah. Man könnte dann dieser Darstellung unter anderen etwa folgende zusammengehörige Werthe von y und x entnehmen, wenn die Figur in genügend grossem Maassstabe gezeichnet worden wäre. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 207 y₁ = 5, 5, x = 1,36 Differenz der ' a₁ = 10,01 x' y= 10, x2 = 11,37 a₂ = 10,90 ys = 20, 20, x = 22,27 ag = 11,89 Y₁ = 40, x = 34,16 y = 80, 80, x = 47,22 y= 160, x = 61,59 y=320, x = 77,53 yg = 640, xg = 95,73 a₁ = 13,06 a = 14,37 a = 15,94 a = 18,20 Da im vorliegenden Falle die Anzahl n der Glieder der y-Reihe 8, also n = 8 ist, ferner das erste und letzte Glied der a-Reihe be- ziehungsweise a = 10,01 und a= 18,20 sind, so ergibt sich, sofern die a'-Reihe eine geometrische wäre, der Exponent q derselben aus der auf Seite 204 aufgestellten Formel, wie folgt: - log 9 log a log a₁' = n 2 0,2596373 6 = = 0,0432729, also q = 1,104772. Berechnet man von a = 10,01 als erstem Gliede ausgehend die darauffolgenden sechs Glieder der geometrischen Reihe mit dem Ex- ponenten q = 1,104772, so erhält man: a₁ = 10,010, az = a5 - 11,059, ag 14,912, 6 = 12,217, a₁ = 13,479, 16,474, ar 18,200, a = 10,01, az a2 = 10,90, 10,90, a = 11,89, a = 13,06, az = = 14,37, a 1 15,94, a - 18,20 und findet, dass diese Werthe relativ gut mit jenen der ersten Differenz- oder der a'-Reihe übereinstimmen. Es dürfte daher angezeigt sein, die Aufsuchung einer empirischen Formel nach der Form: zu versuchen. y= 10(a+b.log(x-c)} Zu diesem Zwecke bedarf man vor Allem der Näherungswerthe der Constanten, um mit Hilfe derselben die Näherungsformel aufstellen zu können. Man gelangt nun zu denselben mittelst der auf Seite 204 an- geführten Formeln: 208 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. a = log y₁ + log e log q [log (1) log a₁], log e b = log q a C = X1 q - 1' wenn in denselben für: Y1 X1 als erstem Glied der (durch graphische Interpolation erhaltenen) y-Reihe der Werth y = 5, als erstem Glied der zur vorhergehend erwähnten y-Reihe gehö- rigen x-Reihe der Werth x = 1,36, a₁ als erstem Glied der Differenzreihe der Werth a e als dem Exponenten der y-Reihe der Werth 2, = 10,01, q als dem angenäherten Exponenten der a'-Reihe der Werth 1,104772 eingesetzt wird. Es werden dann: a = = 13,0763710 b=+ 6,9565800 C= 94,1807933, und es lautet die Näherungsformel: oder: y' = 10-13,076371+6,95658 log (x+94,1807933)} log y' = 13,076371 +6,95658 log (x + 94,1807933). - Dieselbe gibt: für x1 X2 66 = = 0, 23,85, Y2 . وو 101,400 y₁ = + 4,5253852 statt y₁ 21,7585555 = 4,525 Y2 22,240 Y3 Y4 27 y5 x = 52,12, ys' 99 99 Ха X4 X5 = 91,34, y 11 - 100,87, y = 96,9036220 505,6888000 716,5150000 وو - = = 553,030 779,730. Es betragen somit die Differenzen zwischen den analogen Ver- suchs- und Rechnungswerthen: = - - 0,0003852 d₂ = Y₂- Y₂ = + 0,4814445 82 d3 = Y3 — Y3 + 4,4963780 - d₁ = Y4 - Y₁ = + 47,3412000 5 = = + 63,2150000 und die algebraische Summe derselben: S= (0) = +115,5336373. nedoversy II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 209 Um nun die speciellen Normalgleichungen aufstellen zu können, mit Hilfe deren sich die Verbesserungen der Constanten berechnen lassen, bedarf man offenbar folgender Hilfswerthe, deren Berechnung vorausgehen muss: 20,4773680 Y2 Y2 = 483,9102743 Y3 Y3' = - 9826,0313268 Y4 Ya = 279661,0770640 Y5 y = 558688,2409500 (y₁')2= Σ(yy') = 848679,7369831 ; 20,4791111 (y2)² = 473,4347373 (y)²= 1 9390,3119568 (y)²=255721,1624454 (y)²= 513393,7452250 (y₁')2 log (x, c) = — (y2)2 log (x2c) = (y)² log (x —c) = [(y)] = 778999,1334756; 40,4249931 980,9545504 20332,3419764 (y)² log (x4 c) = 580075,9669823 - (y)2 log (x-c) = 1175747,5048214 (y')' log (x-e)) = 1777177,1933236; 1 (y₁')2. 0,2174445 X1- C 1 (Y2)². 4,0108693 X2 C 1 (y)2. 64,1849701 Xs C (94)2. 1 - X4 C 1 1378,3961370 (15)2. - X5 C = 2632,1014502 (())=4078,9108711; 14 Steinhauser, empirische Formeln. 210 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. (y₁y) log (x,c) = 40,4215523 (y2 Y2) log (x2 — c) = = 1002,6598140 (ys ys') log (x - c) = 21275,7819044 (Y₁ Y₁) log (x - c) = = 634381,0897536 (YY) log (x,- c) = 1279477,5900286 (y) {y₁ log (x₁- c)}2 = log (ac)} = 1936177,5430529; 78,0208237 {y₂ log (x₂- c)}2 = = 2032,5332070 {y log (x, c)}2 = — = 44024,5363028 {y log (x4 - c)}2 = 1315839,8808120 {y log (x - c)}2=2692635,4440607 {ly' log (x-c)]} 1 0,2174260 = 4054610,4152062; Y1 Y1 X1 1 C 1 Y2 Y2 · = 4,0996166 X - C 1 Y3 Y3 67,1432135 X3 C 1 X4 X5 - 1 C [(y). log (x,- c)]· [(y)² log (x,- c)]· • с [(ys') log (x, - c)]· • [(y) log (x —c)] [(y)² log (x - c)] · are . {[(y)² - 1507,4378070 2864,3203057 (())-4443,2183688; X1 X2 1 - 1 - 1 1 C 0,4292272 8,3105026 138,9762947 X3 - C 3126,7434595 с 6027,9010827 X4 -- 1 - -= X5 C log (-e)]}=9302,3605667; II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 211 (via)² = 0,0023086 X1 - X2 1 1)² = 0,0339778 (yś 2)²= 0,4387059 - (vi X4 1 — = - 7,4297226 (y)-13,4940410 (y)) = 21,3987559. Xx - Setzt man diese Zahlenwerthe in die allgemeinen Normalgleich- ungen ein, so ergeben sich folgende specielle Normalgleichungen: 848679,7369831 778999,13347568+ 1777177,1933236. & + • 1777177,1933236.8+4054610,4152062 · ε + +4078,9108711 9, 1936177,5430529 = +9302,36056679, = 4443,2183688 4078,9108711 d 4078,9108711d +9302,3605667 & + · aus welchen: б = +21,3987559.9, 1,00427 ε=+0,80884 9 = +47,64815, und dann mit Hilfe der auf Seite 206 erscheinenden Formeln die Werthe der Verbesserungen: δ - 1 log nat 10 - 0,87045, -- ε B = log nat 10 +0,35128, ф 2= b 47,64815 6,95658 6,84937 loin doon erhalten werden. Es gehen somit die Näherungswerthe a, b und c der Constanten in die besseren Werthe: a+a= 13,076370,87045 = b+B+ 6,95658+0,35128=+ c+y=-94,18079-6,84937 = - 13,94682 7,30786 101,03016, und die durch die Constanten zu verbessernde Formel selbst in: 14 212 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. oder: y' = 10-13,94682 +7,30786 log (x+101,03016)} = - logy' — — 13,94682 +7,30786 log (x+101,03016) über, worin wieder y' statt y gesetzt wurde, da auch diese Formel nicht die richtige, sondern nur eine Näherungsformel sein wird, nachdem die Verbesserungen noch nicht sehr kleine Werthe sind. Für den praktischen Gebrauch ist selbstverständlich nur die letztere Formel geeignet. Sie gibt: für x₁ = 0, logy,' -0,70143, also y= 5,0284 statt "x2=23,85, log y =1,37406, = " X3 = 29 X4 = دو "" = = 4,525 23,6624 Y2= 22,24 وو yg'=105,8546 y3=101,40 99 52,12, log y=2,02171, y=556,3400 91,34, log y=2,74534, ,, x=100,87, logy,' =2,89879, 29 " 14=553,03 y=792,1181 » 3=779,73, und es betragen somit die Differenzen zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungswerthen: d₁ = y₁ — y₁ = —- 0,5034 Y2 - Y2 = 1,4224 83 = Y3 Y3 - — 4,4546 - 3,3100 Y5y5 = - 12,3881, 84Y4Y4 бл 5 = sowie deren algebraische Summe: S= Σ(6) 22,0785. Die Formel ist thatsächlich wesentlich verbessert, aber selbst- verständlich noch einer weiteren Verbesserung fähig, da, wie schon bemerkt, die Verbesserungen noch nicht sehr kleine Werthe sind. Aus demselben Grunde ist auch die Formel: oder: . log y = (a + a) + (b + B) log [x-(c+ y)] y = 10 {(a+a)+(b+p) log [x − (c+r)]} noch nicht identisch mit jener: • y = y'. d + y' · · log (x - c) + y'. ዋ X-C oder: y = 10 (a+b·log (a−c)). [8+ & log (x − e) + ], - — & und ዋ be- х ф für welche eigentlich die Werthe der Constanten d, & rechnet wurden. Es gibt letztere Formel mit Hilfe der auf Seite 208 angegebenen Werthe von yi, ya, ya' etc. bis y': II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 213 für 1 19 X2 X3 X4 = = 0, 23,85, Y₁" = 4,97003, statt y₁ = 4,525 Y2" = 23,39762, = Y4 29 17 X5 = 52,12, y," = 103,95336, 91,34, y = 549,84553, 100,87, y" = 782,69949, Y2 22,240 = Y3 101,400 y5 = 553,030 = 779,730, wo die infolge des Nichtstatthabens der bekannten Annahme bezüglich der Werthe der Verbesserungen nur Näherungswerthe darstellenden Formelwerthe wegen der Unterscheidung von y und y' mit y" be- zeichnet wurden. Die Differenzen zwischen den analogen Versuchs- und Rechnungs- werthen betragen daher: = - = — 0,44503 d₂ = Y2 - Y½" = -1,15762 $2 d3 = Y3 — Y3" 84 = = Y4 - Y4" း 5 - " = - 2,55336 + 3,18447 = = und haben als algebraische Summe: S = - 2,96949 - Σ(6) = - 3,94103. Im vorliegenden Fall ist ein vollständiger Ausgleich der Diffe- renzen, resp. Fehler nach dem auf Seite 32 Gesagten nicht zu erwarten. Dass aber die beiden obigen Formeln mit einander identisch werden, wenn die Verbesserungen a, ß und y in bekannter Weise klein sind, dies wird sich aus dem Nachfolgenden ergeben. Es kann die erste der beiden Formeln nämlich: y = 10 { (a + a) + (b +8) log (x − (c + y)] }, weil nach Seite 197 unter der Voraussetzung, dass y sehr klein sei: log brigg [x-(c+7)] = log brigg (x- c) - ist, auch wie folgt geschrieben werden: My X-C oder: y=10 10 {a+blog (x−c)} + { a +ẞ log (x — c) — by M } X-C y=10 {a+blog (x-c)} 10 {a+Blog (x-c) - - by M } X-C wo die vorkommenden Logarithmen als gemeine anzusehen sind, und im Exponenten des zweiten Factors das (weil auch ẞ als sehr klein anzunehmen ist) verschwindend kleine Glied - By M X-C Nach der schon auf Seite 159 angeführten Formel: weggelassen wurde. 214 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. zm+n = gm+mn log nat +m n2 2 wird: oder: - n3 log² nat 2 +zm log³ natz+... 2.3 y = 10 ( a + b log (x − e) ) + 10 (a+blog (-)). log nat 10. [a+ + Blog brigg (x — c) - by M - х - y = 10 (a+b log (x−c)}) . {1+ a log nat 10+ +ẞ log nat 10 log brigg (x-c) 1 х by - C Auf dieselbe Gleichung gelangt man aber auch ausgehend von der zweiten der obigen Formeln, das ist ausgehend von: • y = y'd + y'ε · log brigg (c) + y' · oder: ф х C ф y=y' [8+ log brigg (-e)+], ε wenn man für d, & und op die bekannten Werthe setzt. Da nämlich nach Seite 205: d = (1 + a log nat 10), ε = ẞ log nat 10 und -- by sind und überdies ist, so folgt: y' = 10(a+blog (x-c)} y = 10 (a+blog(x)).1+ a log nat 10+ • +ẞ log nat 10 log brigg (x - c) — - х by - Das zuletzt, nämlich auf Seite 206 etc. behandelte Beispiel zeigt, dass zwischen den Temperaturen x und den Spannkräften y, welche der Wasserdampf bei denselben besitzt, eine Beziehung herrscht, welcher das im Punkte 12) ausgesprochene Gesetz so ziemlich entspricht. Eine weitere Verbesserung der Constantenwerthe würde die für das bezügliche Gesetz aus den Versuchswerthen abgeleitete Formel ohne Zweifel der Brauchbarkeit noch näher zu rücken im Stande sein. Wirklich brauchbar aber könnte die Formel erst gemacht werden durch eine Verbesserung der Formelform, wie dies im letzten Capitel dieses Buches gelehrt wird. 13) Die abhängig Veränderliche y schreite nach einer Reihe fort, deren erste Differenzreihe eine geometrische Reihe sei, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x auch eine geometrische Reihe aber mit anderem Exponenten bilden. Sind: X1, X2 = X1, X3 = x₁е², x₁ = x₁e³, ... Xn Xnx₁e"-1 on II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 215 die aufeinander folgenden Glieder der x-Reihe, dann beziehungsweise: Y1, Y21 Y3, Y47 ... die zugehörigen Glieder der y-Reihe, endlich: a1 a1, a2 = = = Yn ... an-1 = a₁gn-2, die Glieder jener ersten Differenzreihe, welche eine geometrische Reihe, etwa mit dem Exponenten q sein soll, so ersieht man wie in vorher- gegangenen Fällen ganz deutlich, dass: Y₁ = Y₁, Y2 - Y1 + a₁, Ys - Y₂2 + a₂ = Y₁ + a₁ + a₁q, Y1 Y₁ = Ys + Ag=y₁ + α₁ + α₁ q + a₁ q² und ganz allgemein: Yn = Y₁ + а₁ + а₁q + a₁ q² + α₁ q³ + ··· + a₁ gn-2 wird. Da nun weiter: Yn y₁ + a₁ (1 + q + q² + q³ + ··· +gn—2) und nach der Summirung der in der Klammer enthaltenen Reihe: qr-1 1 Y n = Y₁ + a₁ 9-1 ist, so ergibt sich, wenn in diese Gleichung der in bereits bekannter Weise aus folgende Werth von (n - 1), nämlich: log xn log i O (n-1) = log e oder: (er - (n − 1) = log xn loge log x1 log e eingesetzt wird: - Yn = Y₁ + α₁ oder: Yn = Y₁ + a₁· glog e log x₁ (91).q log e log an log e - log x1 log e q-1 log xn - 1 E a1 9-1 ---- Setzt man für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buch- staben und zwar: 1 (3-1) - A, a1 = -B und später gloge = C, log x1 (a1).q loge so wird, wenn überdies die überflüssig gewordenen Zeiger weggelassen werden: log n y=A+B gloge, 216 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. in welcher Gleichung noch e und q als Exponenten der geometrischen log x Reihen erkennbar hervortreten, dann aber [weil glog e y=A+B. Clog a ¸ 1 log (log) log = ist] Mit dieser Gleichung stimmt jene vollständig überein, welche er- halten würde, wenn man in der auf Seite 199 für den Fall 12) abge- leiteten Formel x mit y vertauscht. Es ist nämlich vor der letzten, das Wesen der Formeln nicht mehr berührenden Umformung: dort: log y x=A+Bqloge, dann: x = = A+ B. Clogy, log x hier: y = A + B gloge, dann: y = A + B. Clog, und es erklärt sich diese Erscheinung durch den Umstand, dass das im Punkte 12) behandelte Gesetz mit dem im Punkte 13) ausgesprochenen allsogleich übereinstimmt, wenn x mit y vertauscht wird. Nachdem durch die Vertauschung der Abscissen x mit den Ordi- naten y, wie schon früher einmal besprochen, nur die Lage, nicht aber die Natur der einer Gleichung entsprechenden Curve geändert wird, so unterliegt es keinem Zweifel, dass der jetzt abgeleiteten Formel jene keinen besonderen Namen führende Curve entspricht, welche beim vorhergegangenen Fall auf Seite 201 näher untersucht worden ist. Es wären also, sofern das im Punkte 13) ausgesprochene Gesetz zwischen den Veränderlichen x und y annähernd besteht, empirische Formeln nach der Form: y=A+B.Clog x aufzustellen, welche erkennen lässt, dass eine directe Berechnung der Constanten nach der Methode der kleinsten Quadrate nicht vorge- nommen werden kann, weil die Gleichung in Bezug auf die Con- stanten keine lineare ist. Man hat daher vorerst Näherungswerthe für die letzteren zu suchen und dann selbe successive zu verbessern. Zu den gewünschten Näherungswerthen aber kann man gelangen mit Hilfe der oben angegebenen Gleichungen: A = (1-1), B a1 B= a1 1 C = glog e, log x1 (9-1). glog e in welche nur die bei der Untersuchung der Versuchswerthe erhaltenen Zahlenwerthe von: y, als dem ersten Gliede der y-Reihe, a, als dem ersten Gliede der ersten Differenzreihe, e als dem Exponenten der von q als dem Exponenten der von der Differenzreihe gebil- den x - und II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 217 deten geometrischen Reihe einzusetzen sind. Mit diesen Näherungs- werthen stellt die Formel: y=A+B. Clog x eine Näherungsformel dar, welche in die richtige Formel: y = (A + α) + (B+ B) · (C + y)log x • übergeht, wenn man an den Näherungswerthen A, B und C der Con- stanten die erforderlichen Verbesserungen a resp. ß und 7 anbringt. Unter der bekannten Annahme, dass diese Verbesserungen sehr kleine Werthe seien, kann y wie folgt nach der Taylor'schen Reihe entwickelt werden: WO: y = y' + dy' d A ·α + dy' d B B+ y' = A + B. Clog x dy' dC ist und in Folge dessen den Differenzialquotienten nachstehende Werthe zukommen: dy' d A = 1, dy' dB - Clog x, dy' d C = • Blog x Clog x) — 1]. Es wird daher: • y = y + a +ẞ. Clogy. B log x Clog x)-1], oder wenn man: 7. B · C schreibt und: log x Clog x statt y Blog x C(log x)-1] setzt, . y B C y=y' + a + B. Clog+.log x Clog x. · Man hat jetzt aus den n ursprünglich gegebenen Versuchswerthe- paaren die nachstehenden Bedingungsgleichungen: Y₁ — y₁ = a + B. Clog + d log x₁ • Clog x1 Y2 - Y2 =α + B. Clog 2+ a+B. x₂ log x Clog x2 - Ys — Ys' = a + B. Clog + log x • Clog x3 Yn Yn' = a + B. Clog and log xn Clog - ก aufgestellt zu denken (wo yi, ya, Y... bis yn die Werthe bedeuten, welche aus der Näherungsformel für y' erhalten werden, wenn für x der Reihe nach x1, x2, x3 etc. bis xn gesetzt wird), aus denen sich die folgenden Normalgleichungen ergeben: 218 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Zv-v')=(a)+B.Z(Clog a) +8.(log - Clog}, 2 log: . Σιω-υ). (108) = α Σ (C108 *) + β .Σ(03108*) + +d.{log x. C2loga}, · (y-y') log x. Clog a} = a. (log a Clog a} + • + B. (log 2. C210g 2)+d([log · Clog a]2}. Aus denselben lassen sich a, ß und d, dann mit Hilfe von d auch berechnen, da YB C &=d, d, also: 8C = ist. B 2= Jetzt sind die Verbesserungen a, ß und 7 an den Näherungs- werthen A, B und C der Constanten anzubringen und nach der Formel: y = (A + α) + (B+ B) · (C + y)log x die Versuchswerthe y zu berechnen, um die Brauchbarkeit der Formel zu prüfen. Sind für die Verbesserungen keine sehr kleinen Werthe erhalten worden, ist also die diesfalls gemachte Annahme nicht zutreffend, so gibt die Formel noch nicht so gute Resultate, als sie überhaupt zu geben vermöchte. Sie gibt dann bekanntlich aber auch nicht dieselben Werthe wie die Formel: y=y'+a+B. Clog +8. log x. Clog x, nach welcher die Bedingungsgleichungen aufgestellt, und für welche eigentlich die Werthe der Constanten a, ß und 8 berechnet wurden, da sie unter den obwaltenden Umständen mit dieser Formel nicht identisch ist, sondern dies erst wird, wenn die Annahme als gerecht- fertigt erscheint. Führt man, um dies zu erweisen, in die letztere Formel unter Anderem den y' entsprechenden Werth: y=A+B Clog x, ein, so kann dieselbe auch wie folgt geschrieben werden: y = (A + α) + B. Clog + B. ClogyBlog x. C[(log x)-1]. Erinnert man sich jetzt, dass nach dem binomischen Lehrsatz, und weil Glieder mit 72 etc., wenn 7 sehr klein ist, weggelassen werden können: (C + y)log x = folglich: Clog (log x)y. C[(log x)-1] II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 219 Clog x = (C+y)log x (log x)y. Clog x — 1], oder: endlich auch: x (log x) 7. C(log)-11 = (C+ y)log - Clog x, • y Blog Clog )-11 B (C + y)log x 1] = — B Clog X wird, so geht die in der Umformung befindliche Formel noch über in: y = (A + a) + Blog + B [(C + y)log x y log x C[(log)-11] + oder: x +B(C+7)log - BClog x, X • y = (A + α) + B (C + y)log - By log x. By log x Clog x)-1) + B (C+y)log x. Nachdem jetzt aber auch das By enthaltende Glied als ver- schwindend klein weggelassen werden kann, so wird schliesslich: • y = (A + a) + (B+ B) · (C + y)log, und man ersieht hieraus, dass die Formel: y = y' + a + B. Clogy Blog x. C[(log x)-1)] oder was dasselbe ist: thatsächlich in: • y=y' + a + B. Clog + log x Clog x • y = (A + α) + (B+ B). (C+)log x übergeht, wenn a, ẞ und 7 so kleine Grössen sind, dass alle Glieder, welche die erste übersteigende Potenzen oder etwa Producte derselben enthalten, gegen jene Glieder weggelassen werden können, in denen nur die ersten Potenzen dieser Grössen erscheinen. Mit Rücksicht auf das im Falle 10) auf Seite 187 durchgeführte Beispiel kann hier wegen der grossen Aehnlichkeit der speciellen Rech- nungen ein solches entfallen. Bezüglich der anderen Erörterungen, welche sonst noch immer gepflogen wurden, kann auf den Fall 12) verwiesen werden, der ja principiell mit dem vorliegenden gleichbedeutend ist und, wie schon gesagt, in denselben übergeht, wenn y mit x vertauscht wird. 14) Es schreiten die beiden Veränderlichen x und y gleichzeitig nach Reihen fort, deren erste Differenzreihen geometrische Reihen sind. Da Sind x, und y, die ersten Glieder der von den Veränderlichen ge- X1 bildeten Reihen, der ersten Differenzreihen, ax ex 29 ay "gey دو دو و" ,, Exponenten dieser, angenommenermassen geo- metrischen Reihen, so ist gerade so wie früher auf Seite 199 irgend ein Glied der x-Reihe, etwa das nte: 220 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Xnx₁+ ax X · & x — — 1 - 1 also in gleicher Weise das zugehörige Glied der y-Reihe: Yn = Y₁ + ay n-1 en- y ey — 1 1 Löst man jetzt, um den Werth (n-1) aus beiden Gleichungen eliminieren zu können, jede derselben für (n - 1) auf, so wird: log [(x-x1)(x-1)+ax] log ax - - (n − 1) = log ex = log ex dann offenbar ebenso: - log [(Yny₁) (e,-1) + a,] log ay — (n-1)= log by log e, y mithin: log [(yn-y₁)(e,-1)+a,] log ay n log [(x-x1)(-1)+ax] log ax log ey log by log e log ex Diese Gleichung hat nun eine Reihe von Umformungen zu erleiden. Es ist nämlich weiter: log [yn (ey-1)-y₁ (e,-1)+a,]-loga, log[x(x-1)-x1 (e-1)+a]-log a dann: log by - log e 1 log ("%m (e,−1)—, (e,−1)+,).loge, log ((-1)-, (-1)+a) n ay loge=log log [y₁. 3-14, (e,-1)-a, Yn 31 (0, 1) —ay] = log [2 [Yn. ay Setzt man jetzt: ay e-1 ex endlich noch: ау a - 1 = ex . a 1 x₁ (ex-1)-ax Y₁ (e̟y — 1) — αŋ a - x1 (ex-1) — αx -a", = a', ax log by <= c, log ex = b" = b', ax .log ey, ] log ey log ex so wird, wenn man überdies die jetzt überflüssigen Zeiger weglässt: oder: log [a" y+b"]=c log [a' x + b'], a" y+b" (a' x + b'). 1 Löst man diese Gleichung für y auf, so erhält man: b" 1 y = — • a" a" a + · (a' x + b')°. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 221 Werden für die constanten Ausdrücke neuerlich einzelne Buch- staben gesetzt, nämlich: und - b" a " = y₁ (e,-1)-a, ay so folgt schliesslich: WO: a = yı und c = - ay ey-1' logy sind. log ex y ay 1 a " = y ay 1 — a ey 1 ey - 1 dy ey-1 =b, y=a+b (ax + b'), b = ay ey-1' a' 1 20 — ax 1 — b' - x - x1 (ex - 1) = ax Diese fünf Constanten der Formel müssen für die vorstehende, nämlich für y aufgelöste Formel berechnet werden. Die zu gewissen Werthen von x gehörigen y kann man aber nur erhalten, wenn man der Formel die Form: log (y-a) = log b + c log (ax + b') gibt, in der sie zum Gebrauche geeignet erscheint. Hat man, da die Constanten a, b, a', b' und c der Formel: y = a + b (ax + b') c selbstverständlich aus den Versuchswerthen nicht direct nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet werden können, mit Hilfe der obigen Formeln nach den Ergebnissen der Voruntersuchung Nähe- rungswerthe berechnet, so ist mit denselben die Formel: y' = a + b (ax + b')c nur eine Näherungsformel, deren Constante als Näherungswerthe erst verbessert werden müssen. Bringt man die erforderlichen Verbesserungen a, ẞ, a', p' und y beziehungsweise an a, b, a', b' und c an, so geht die Formel in die richtige: y= (a + a) + (b + B). [(a' + α)· x + (b' + ẞ')](c+r) über, wo unter der Voraussetzung, dass die Verbesserungen sehr kleine Werthe seien, y wie folgt nach der Taylor'schen Reihe entwickelt werden kann. Es wird: dy' y=y' + . α + da dy' db · B+ dy' a' + dy· B' + dyr, . da' db' dc WO: y' = a + b (a' x + b') ist. 222 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. Da nun im vorliegenden Falle die Differenzialquotienten folgende Werthe annehmen: dy' da = = 1, dy' db = (a' x + b'), dy' = da' bex (ax+b)-1, dy' = be (a' x + b')-1, dy' =b (ax+b'). log nat (a' x + b'), db' so wird: de y=y' + a + B (a' x + b') + a'bcx (a' x + b)-1+ + B' be (ax+b')c-1+yb (a' x + b') log nat (ax+b). Setzt man für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buch- staben, nämlich: a'bed, B' be=& und 7b = 9, woraus: 8 a' ε = bc' B' = be bc' r = // ф b folgen, so wird etwas einfacher: y=y' + a +ẞ(a' x + b') + dx (a' x + b')c-1 + ε (a' x + b')−1 + +9 (ax+b') log nat (a' x + b). Nach dieser Gleichung sind aus den ursprünglich gegebenen Ver- suchswerthen die Bedingungsgleichungen aufzustellen und aus letzteren die Normalgleichungen in bekannter Weise abzuleiten. Aus diesen können sodann die Constanten a, B, 8, & und q und mit Hilfe derselben sowie der obigen Formeln noch a', B' und y berechnet werden. Da sich wohl kaum Jemand entschliessen dürfte, eine Formel nach der für den vorliegenden Fall abgeleiteten Form aufzustellen, wegen der ohne Zweifel äusserst mühsamen Berechnung der Constanten, an- dernfalls die Ableitung der Normalgleichungen auf Grund des Vorher- gegangenen und Vorstehenden von Jedermann vorgenommen werden kann, so möge die Angabe derselben entfallen und überhaupt eine weitere Behandlung des Falles unterbleiben. Es sind im Vorhergehenden die wichtigsten und einfachsten Grundformeln abgeleitet und besprochen worden, welche bei der Auf- stellung empirischer Formeln Verwendung finden können. Die Zahl dieser Grundformeln kann nun allsogleich vervielfacht werden, wenn man statt y eine Function von y setzt, und zwar ins- besondere: a) eine gewisse Wurzel aus y, b) eine gewisse Potenz von y, c) den Logarithmus von y. II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 223 Man gelangt dadurch zu neuen Formelformen, welche gleichfalls zur Anwendung kommen können. Einige Beispiele werden dies erläutern. Setzt man in dem auf Seite 147 angeführten Gesetze 3) statt y die mte Wurzel aus y, so lautet dasselbe: 15) Die mte Wurzel aus der abhängig Veränderlichen y wächst nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x nach einer anderen derartigen Reihe derselben Ordnung fortschreiten. m Es geht daher die dort abgeleitete Formel: y = a + bx in Vy== a + bx über, welche Gleichung entweder in der Form: 2 z= a + bx oder y = (a + bx)m geschrieben werden kann. Auch für diese Formeln gelten die früher abgeleiteten, zur Berechnung von Näherungswerthen der Constanten dienenden Hilfsformeln: a= — (% d 2 dx x.) d₂ und b 1 d x wenn in denselben statt y, das erste Glied & der z-Reihe und deren constante Differenz dz statt dy gesetzt wird. Die Untersuchung der Versuchswerthe oder der, wenn nöthig, durch graphische Interpolation aus denselben erhaltenen Werthe auf das vorstehende Gesetz hat nun selbstverständlich in folgender Weise zu geschehen: Man untersucht, ob nicht irgend eine gewisse Wurzel, gezogen aus sämmtlichen zu den nach der arithmetischen Reihe fortschreitenden x gehörigen y, eine Zahlenreihe entstehen lässt, welche gleichfalls eine arithmetische Reihe erster Ordnung ist. Welche Wurzel etwa diese Bedingung erfüllt, dies muss durch Probieren ausgeforscht werden. Bei angenähertem Bestehen des Gesetzes könnten die besten Werthe der Constanten a und b aus den vorliegenden Versuchswerthen auf Grund der Formel: 2= a + bx und zwar mit Hilfe der für den Fall 3) giltigen übrigens schon auf Seite 32 angegebenen Normalgleichungen berechnet werden, in denen nur 2 statt y zu setzen wäre. Es würden aber dann mit den auf diese Art erhaltenen Con- stantenwerthen aus der Formel: y = (a + bx)m für X1, X2, X3 bis Xn 224 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. nicht Werthe y erhalten werden, deren Fehler sich auszugleichen strebten, da sich in diesem Falle offenbar die Fehler in den 2, d. i. die Fehler in den mten Wurzeln aus den y ausgleichen würden. Aus diesem Grunde ist es nöthig, die besten Werthe der Constanten a und b unmittelbar aus der für y aufgelösten Formel: y = (a + bx)m nach der Methode der kleinsten Quadrate abzuleiten, was wie folgt geschehen kann. Man hat dabei wie in so vielen vorhergegangenen Fällen von der Näherungsformel: y' = (a + bx)m auszugehen, deren Constante a und b auf Grund der Ergebnisse der Voruntersuchung nach den obigen Hilfsformeln vorerst näherungs- weise berechnet, dann aber successive verbessert werden müssen, da eine directe Berechnung aus den Versuchswerthen wieder nicht vor- genommen werden kann, weil die Formel in Bezug auf die Constanten keine lineare Gleichung ist. Lässt man die erforderlichen Verbesserungen & und ẞ anbringend die Näherungsformel in die richtige Formel: . y= [(a + a) + (b + B) · x]m übergehen, so kann unter der Voraussetzung, dass a und ẞ sehr klein seien, y wie folgt nach der Taylor'schen Reihe entwickelt werden: WO: y = y' + α + dy' da . dy' db y' = (a + bx)m ẞ, ist. Es nehmen jetzt die Differenzialquotienten folgende Werthe an: dy' da m (a + bx)m-1, dy' db mx (a + bx)m-1, und es wird daher: y=y' + a m (a + bx)m-1 + ẞmx (a + bx)m-1. Setzt man für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buch- staben, und zwar: woraus: amy und ẞm = 8, α= und B = y m folgen, so erhält man schliesslich: = 8 m y — y' = (a + bx)m-1 + dx (a + bx)m-1, - nämlich jene Formel, nach welcher man sich aus den ursprünglich ge- gebenen Versuchswerthen die Bedingungsgleichungen: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 225 - 1 Y₁ — y₁ = r (a + bx)m-1 + dx (a + bx,)m-1 Y2 - Y₂ = 7 (a + bx2)m-1 + dx (a + bx)m-1 Yn - Yn y (a + bxn)m-1+ dx (a + bxn)m-1 aufgestellt zu denken hat, um in bekannter Weise die folgenden Normalgleichungen: Σ((y-y') (a + bx)m-1)= y. Z{[(a + bx)m−1]² } + +d⋅ Σ {x · [(a + bx)m−1]²}, (y-y).x.(a+bx)m-1)=(x[(a+bx)m−1]²}+ +d. Σ (x² • [(a + bx) m−1]² } ableiten zu können, aus denen man vorerst die Constanten und 8, Y m und B= = m 2 auch a und B dann mit Hilfe der obigen Formeln: a = berechnen kann. Setzt man jetzt die Werthe der Verbesserungen a und ẞ in die Näherungsformel ein, so wird: [(a + α) + (b + B)⋅ x]m und es ist diese Formel noch anf ihre Brauchbarkeit dadurch zu prüfen, dass man untersucht, ob sie, wenn man für x der Reihe nach die Werthe von x1, x2, x3 etc. bis xn setzt, die zugehörigen Werthe von y so mit den in der Versuchsreihe erscheinenden y-Werthen überein- stimmend gibt, als man es wünscht. Die Formel hat den überhaupt erreichbaren Grad der Vollkommenheit erreicht, wenn für die Ver- besserungen & und ẞ thatsächlich sehr kleine Werthe erhalten wurden. Ist dies nicht der Fall, so hat man nur das Verfahren genügend oft zu wiederholen. Formeln nach der vorstehend besprochenen Form sind thatsächlich und zwar von Thomas Young, Dulong, Arago und anderen Physikern aufgestellt worden. Eine ebenfalls wichtige und mehrfach benützte Formel wird im folgenden Punkte 16) besprochen werden. Setzt man in den auf Seite 181 angeführten Gesetz 10) statt y, Logarithmus von y, so lautet dasselbe: 16) Der Logarithmus der abhängig Veränderlichen y schreite nach einer Reihe fort, deren erste Differenzreihe eine geometrische Reihe bilde, wenn die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen x eine arithmetische Reihe erster Ordnung darstellen. Es geht dann die auf Seite 182 erhaltene Formel: y=A+B Ca Steinhauser, empirische Formeln. 15 226 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. in: logy A+B C oder = A + B. Ca = 1 über. Auch für diese Formel gelten der Hauptsache nach die früher abgeleiteten, zur Berechnung von Näherungswerthen der Constanten dienenden Hilfsformeln: A = 4-(-), B= e a 1 und C=ed, x1 (e-1). ed in welchen aber offenbar statt y, jetzt z₁ log y₁ erscheint, also: 21 und x, die ersten Glieder der von den z resp. x gebildeten Reihen, X1 a, das erste Glied der Differenzreihe der z-Reihe, a1 d die constante Differenz der von den x gebildeten arithmetischen - und e den Exponenten der von den Gliedern der Differenzreihe gebildeten geometrischen Reihe bedeuten. Die Untersuchung der Versuchswerthe oder der, wenn nöthig, durch graphische Interpolation aus denselben erhaltenen Werthe auf das vorstehende Gesetz hat nun selbstverständlich in folgender Weise zu geschehen. Man untersucht, ob die Logarithmen sämmtlicher zu den nach einer arithmetischen Reihe fortschreitenden x gehörigen y eine Zahlenreihe bilden, deren erste Differenzreihe eine geometrische Reihe ist. Bei angenähertem Bestande des Gesetzes hat man aus ähnlichen Gründen wie sie beim vorhergegangenen Fall 15) angeführt wurden, sowie im Einklange mit Seite 156 die Constanten A, B und C nicht aus der Formel: 2 = log y logy = ABC, sondern aus der für y aufgelösten Gleichung abzuleiten. Es wird dann vorerst, sobald wegen der leichteren Schreibweise die kleinen Buch- staben statt der grossen gesetzt, überdies gemeine Logarithmen voraus- gesetzt werden: y=10+30) Denkt man sich in diese Formel die aus den Hilfsformeln auf Grund der Ergebnisse, welche die Untersuchung der Versuchswerthe zu Tage förderte, berechneten Näherungswerthe eingeführt, so stellt sie nur eine Näherungsformel: y' = 10(a+bc®) dar, deren Constante nun nicht direct nach der Methode der kleinsten Quadrate aufgesucht, sondern nur successive verbessert werden können, weil sie in Bezug auf die Constanten keine lineare Gleichung ist. Lässt man, die erforderlichen Verbesserungen a, ß und y an den Constanten anbringend, die Näherungsformel in die richtige Formel: II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. 227 y = 10[(a+a)+(b+ß) (c+y)*] übergehen, so kann unter der Voraussetzung, dass a, ß und 7 sehr klein seien, y wie folgt nach der Taylor'schen Reihe entwickelt werden: WO: dy' y = y' + dy' · db da ·B+ y' = 10(a+bc²) ist. =10 dy' . dc 2, Es nehmen jetzt die Differenzialquotienten folgende Werthe an: dy' 10(a+b). log nat 10, da - dy' — 10(a+b). log nat 10, db dy' 10(a+b). b. x. cx-1. log nat 10, de und es wird daher: = y=y'+(a log nat 10). 10(a+b) +(ẞlog nat 10). c. 10 (a+bo³) + +(yblog nat 10). xcx-1.10(a+b) Werden für die jedenfalls constanten Ausdrücke einzelne Buch- staben gesetzt und zwar: (a log nat 10)=8, (ẞ log nat 10) = ε, (ẞ log nat 10) = ε, (yb log nat 10)= = 9, woraus: δ E απ log nat 10' B = log nat 10' y = ф blog nat 10 folgen, so erhält man: - y — y' = d. 10(a+bo®) + ε · c². 10(a+bo²) und weil: 10(a+b) — y' ist: +9・x.cx-1.10(a+bc). y — y' = dy' + ε · c² · y + · x. cx-1. y', nämlich jene Formel, nach welcher man sich aus den gegebenen Ver- suchswerthepaaren die folgenden Bedingungsgleichungen: - . . • · Y₂ = dy₂+ &• c²². Y₂+ x2 c2-1. 1 -1 1. - Yn Yn' = dyn' + ε.cn. Yn' + 9. xn con¹· Yn' C aufgestellt zu denken hat, um in bekannter Weise die nachstehenden Normalgleichungen: 15* 228 II. Die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form. င် • ((y--y)·y')-8-((y)² + {e (y)² + (x.c-1. (y)²), (y-y').ey')=8.Σ{e (y)² +ε· Z{x. c* (y)) + Ca - +9⋅ Z{x.c²x−1 (y')²}, ableiten zu können, mit denen man vorerst die Constanten 8, & und 9, dann mit Hilfe der Formeln: Ꮄ ε α= = log nat 10 8.M, B B = = log nat 10 M, 7b.log nat 10 ф ф M b berechnen kann. Setzt man jetzt die Werthe der Verbesserungen a, ß und die Näherungsformel ein, so wird: y = 10[(a+a)+(b+f) (c+r)*] oder, wenn man a + a A, b+B=B, c+y=C setzt: = y = 10(4+B.ca) endlich für den Gebrauch geeignet: log y A+ B. C, worin gemeine Logarithmen zu verstehen sind. γ in Diese Formel ist sodann noch auf ihre Brauchbarkeit dadurch zu prüfen, dass man untersucht, ob sie, wenn man für x der Reihe nach die Werthe von x1, x2, x3 etc. bis xn setzt, die zugehörigen Werthe von y so mit den in der Versuchsreihe erscheinenden y-Werthen überein- stimmend gibt, als man es wünscht. Die Formel hat den überhaupt erreichbaren Grad der Vollkommenheit erreicht, wenn für die Ver- besserungen a, ß und y thatsächlich sehr kleine Werthe erhalten wurden. Ist dies nicht der Fall, so hat man nur das Verfahren genügend oft zu wiederholen. Den in dem zweiten Capitel dieser Schrift besprochenen relativ einfachen Gesetzen könnten immerhin noch weitere beigefügt werden. Da dieselben aber dann minder einfache oder auch mitunter solche Formeln geben würden, welche schon erörtert worden sind, so möge auf ihre Besprechung nicht eingegangen werden, um so mehr als das Vorhergegangene genug Anhaltspunkte bietet, um auch nicht besprochene Fälle behandeln zu können. Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 229 Würden, um nur noch Eins zu erwähnen, die Werthe der abhängig Veränderlichen y gleichnamige Potenzen darstellen von den zugehörigen Werthen der abhängig Veränderlichen x, so führte dieses Gesetz offen- bar auf die Formel y=x", oder wenn das Gesetz in gewisser Weise verdeckt erschiene, auf: y = a + bxn. a+ Diese Formel ist aber als ein specieller Fall der schon auf Seite 29 behandelten allgemeineren Formel: y 1 a + bx + cx² + dx³ + + pxn ... anzusehen, da in dieser (mit Ausnahme von p) nur b-cd-...=0 zu setzen sind, damit: y = a+px", nämlich y gleich einem Aus- drucke werde, welcher dem Wesen nach vollständig mit dem recht- seitigen Theil der obigen Gleichung übereinstimmt. In den wenigsten der speciellen Beispiele, welche im gesammten Vorhergehenden durchgeführt wurden, gelang es, eine strengeren An- forderungen genügende empirische Formel aufzustellen. Der Grund davon liegt vorwiegend darin, dass die in den 16 Punkten abgeleiteten Formeln, welche Grundformeln genannt wurden, durchaus nicht ausreichen, um alle zwischen Veränderlichen möglicherweise be- stehenden Abhängigkeitsgesetze, selbst nur näherungsweise, zum Aus- druck bringen zu können. Man wird daher, wenn man nicht die Anzahl der Grundformeln noch weiter vermehren will, trachten müssen, mit denselben dadurch das Auslangen zu finden, dass man sie in für die jeweilig vorliegenden Fälle entsprechender Weise ergänzt oder verändert, mit einem Worte verbessert, bis sie den Anforderungen genügen. Die Art und Weise, wie hierbei vorzugehen ist, findet nun im folgenden und letzten Capitel dieses Buches seine Besprechung. Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Dieselbe kann der Hauptsache nach bewirkt werden: 1) durch die Verbesserung der Werthe der Constanten; 2) durch die Vermehrung der Glieder der Formel; 3) durch die Substitution einer Function von x für x, oder für eine oder mehrere der Constanten. 1) Die Verbesserung der Werthe der Constanten. Sind von den Constanten einer Formel nur Näherungswerthe be- kannt, so können diese nach der auf Seite 117 etc. erörterten, sowie an vielen Beispielen zur Anwendung gebrachten Methode verbessert werden. 230 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Da eine Verbesserung der Constanten auch nothwendig eine Ver- besserung der Formel selbst zur Folge hat, so wird der bezüglichen Methode hier nochmals Erwähnung gethan. Sie ist bekanntlich zumeist sehr mühsam und in allen jenen Fällen nicht umgehbar, in denen die Bedingungsgleichungen, also auch die aus denselben abgeleiteten Normalgleichungen, in Bezug auf die Con- stanten keine linearen Gleichungen werden. Es sind dann für die Constanten zuerst Näherungswerthe aufzu- suchen und diese durch so lange wiederholte Anwendung des Ver- fahrens zu verbessern, bis die Verbesserungen selbst sehr kleine (mög- lichst weit unter 1 liegende) Werthe werden. Ist dies erreicht, so kann die Formel durch ihre Constanten nicht mehr erheblich verbessert werden, gar nicht aber dann, wenn die Ver- besserungen sämmtlich den Werth 0 annehmen würden. Ein Kennzeichen dafür, ob durch weitere Verbesserung der Con- stanten noch eine wesentliche Verbesserung der Formel zu erhoffen ist, bildet der Grad der Uebereinstimmung der Resultate jener beiden Formeln, welche bei sehr kleinen Werthen der Verbesserungen iden- tisch werden sollen. So gibt beispielsweise auf Seite 212 die Formel von gewünschter Form die Fehlersumme - 22,0785, jene Formel aber auf Seite 213, für die eigentlich die Constanten, welche die Verbesserungen darstellten, be- rechnet wurden, die Fehlersumme - 3,94103. Aus der nicht unbedeutenden Differenz beider Summen kann ge- schlossen werden, dass durch die Wiederholung des Verfahrens noch eine erhebliche Verbesserung der Constantenwerthe und dadurch auch eine solche der Formel bewirkt werden kann. 2) Die Vermehrung der Glieder der Formel. Auch von diesem Mittel der Formelverbesserung ist im Vorher- gegangenen bereits mehrfach Gebrauch gemacht worden, indem nach erwiesener Unbrauchbarkeit von Formeln noch ein Glied denselben beigefügt wurde, was mit einer Vermehrung der Constanten gleich- bedeutend ist. Da aber die Vermehrung der Constanten bekanntlich eine Ver- besserung der Formel zur Folge hat, so ist es erklärlich, dass durch dieses Verfahren die gewünschte Wirkung (allerdings nicht immer in ausreichendem Maasse) erzielt werden kann. Im Vorhergehenden wurde aber diese Art der Formelverbesserung in willkürlicher Weise zur Anwendung gebracht, indem zu Gliedern immer ein solches hinzugefügt wurde, welches dem Bildungsgesetz der- selben entsprach, ohne dass darüber eine Untersuchung gepflogen Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 231 worden wäre, ob das hinzugefügte Glied wohl befähigt ist, eine möglichst gute Wirkung hervorzubringen. Es hatte der besprochene Vorgang immerhin gewisse Erleichterungen in den Rechnungen zur Folge, da manche der erforderlichen Zahlen- werthe aus schon berechneten relativ leicht abgeleitet werden konnten. Gegenüber der Nothwendigkeit, eine thunlichst entsprechende Formel aufzustellen, kann aber auf derartige Erleichterungen keine Rücksicht genommen werden. Im Folgenden wird nun untersucht, was zu thun ist, um Glieder ausfindig zu machen, welche möglichst geeignet er- scheinen, bereits vorhandenen beigefügt zu werden. Es wäre vorerst: y' = f'(x) eine die Beziehung zwischen den Veränderlichen x und y nur ganz roh darstellende empirische Formel, deren Constante noch nicht durch Zu- hilfenahme der Methode der kleinsten Quadrate berechnet oder ver- bessert worden sind. Da die Formel, welche aus den Versuchswerthepaaren: Jx1 โ X3 [ xn X2 Y2 Lys' \Y n aufgestellt wurde, die in der Versuchsreihe erscheinenden Werthe von y nicht mit gewünschtem Genauigkeitsgrade wiederzugeben vermag, so solle sie durch Vermehrung der Glieder verbessert werden. Die Formel wird, wenn der Reihe nach für x die in der Ver- suchsreihe enthaltenen Zahlenwerthe x1, x2, xg bis xn gesetzt werden, ... offenbar gewisse fehlerhafte Werthe y resp. 92, yg welche zur Richtigstellung gewisser Verbesserungen d, bis yn geben, resp. 82, 83. bis on bedürfen, die sich sehr leicht aus folgenden Gleichungen er- geben: - Y₁ — Y₁ = d₁, Y2 - Y₂ = 82, Ys - Ys' = 88, 1 Yn — Yn' = dn. - - Es geht dann obige Näherungsformel y' f'(x) ohne Zweifel in eine die Versuchswerthe richtig wiedergebende Formel über, wenn dem Gliede f'(x) ein anderes f'(x) beigefügt wird, welches desgleichen eine Function von x ist, die aber der Reihe nach die Werthe d1, d2, ძვ . bis da annimmt, wenn man in ihr für x beziehungsweise x1, X2, X3 bis xn setzt. • 232 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Man hat daher jetzt in ganz bekannter Weise eine neue empiri- sche Formel: aus den nachstehenden Werthepaaren: d = f" (x) J x 1 10, 182 X2 [x3 δε [ xn aufzustellen und dann der obigen Formel das Glied f"(x) beizufügen, um die nahezu richtige Formel: y = f'(x) + f'(x) zu erhalten. Vollkommen richtig wird die Formel wohl nicht werden, weil ja die empirische Formel d f(x) auch nicht den oben ausgesprochenen Anforderungen vollkommen zu genügen im Stande sein wird. Für die Aufstellung der die Werthe d so gut als möglich wieder- gebenden Formel gilt natürlich Alles, was überhaupt in Bezug auf die Aufstellung empirischer Formeln gesagt wurde. Es kann daher vorerst die Form der Formel: 8 = f(x) ent- weder willkürlich gewählt werden oder auf Grund der Ergebnisse, welche die (in bekannter Weise vorzunehmende) nähere Untersuchung der d-Reihe liefert. Wären die Constanten der ursprünglich gegebenen Formel y=f'(x) nicht ganz rohe Näherungswerthe, sondern nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet worden, so würden sich bekanntlich die Differenzen & in der algebraischen Summe annähernd oder vollständig auszugleichen suchen. Sie erschienen daher bald mit positivem, bald mit negativem Zeichen behaftet und in annähernd gleicher numeri- scher Grösse. Sie bildeten sodann in ihrer Aufeinanderfolge (in der d-Reihe) offen- bar keine jener Reihen, welche in den Grundgesetzen von den Werthen der abhängig Veränderlichen y (die hier ja d vertritt) gebildet werden, und es vermöchte in Folge dessen auch keine der Grundformeln das Gesetz d= f'(x) darzustellen, nach welchem sich die Werthe von d aus denen von x entwickeln. Es wurde daher angenommen, dass die Constanten der Formel y' f'(x) bloss rohe Näherungswerthe seien. = Die im Vorstehenden angegebene Methode würde mithin nur dann von gutem Erfolg begleitet sein, wenn die Untersuchung der d-Reihe zeigt, dass dieselbe einer jener Gattungen von Reihen (arithmetische erster und zweiter Ordnung, geometrische etc.) angehört, welche von den Werthen der abhängig Veränderlichen y in den vorhergegangenen Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 233 Grundgesetzen gebildet werden, sobald die zugehörigen Werthe der unabhängig Veränderlichen ebenfalls nach einer gewissen (arithmeti- schen oder geometrischen etc.) Reihe fortschreiten, da man nur dann unter den Grundformeln eine findet, welche dem Gesetz der Fort- schreitung der d mit den x annähernd entspricht. Würde man die Mühe nicht scheuen, so könnten die Constanten- werthe der nun zweigliedrigen Formel: y = f'(x) + f'(x) nach der bekannten Methode verbessert werden, da es wohl keinem Zweifel unterliegt, dass man andere und weit bessere Werthe sowohl in f'(x), als auch in f"(x) erhalten wird, wenn man bei der Berech- nung aller Constanten das Vorhandensein beider Formelglieder berück- sichtigt, was bei den in f'(x) enthaltenen Constanten nicht der Fall war. Durch die Aenderung der Constantenwerthe in f'(x) werden aber selbstverständlich auch jene in f'(x) geändert. Man kann die Formel: y = f'(x) + f'(x) offenbar als die Summe der folgenden Gleichungen: y' f'(x) und y"-f"(x), wo y'+y"=y ist, ansehen, deren jede vom geometrischen Standpunkt einer Curve entspricht. Es ist mithin die geometrische Bedeutung einer mehrgliedrigen empirischen Formel auch eine Curve, deren Ordinaten (y) man als die Summe (y+y") der analogen Ordinaten (y' und y') jener Curven ansehen kann, welche den einzelnen Gliedern [f'(x) und f'(x)] der Formel entsprechen. So kann z. B. die der Formel: y= a + bx + cx² entsprechende Curve (welche nach Seite 52 eine Parabel ist, deren Axe der Ordinatenaxe parallel läuft und deren Scheitel nicht im Ur- sprung liegt) auch angesehen werden als eine Curve, deren Ordinaten y sich zusammensetzen aus den analogen (nämlich zum gleichen x ge- hörigen) Ordinaten: y' = a, einer zur Abscissenaxe im Abstande a parallel laufenden Ge- raden, y"- bx, einer geneigten und durch den Ursprung gehenden Geraden, y" cx², einer Parabel, welche den Ursprung zum Scheitel und die Ordinatenaxe zur Axe hat. = Aus dem Umstande, dass die zweigliedrige Formel: 234 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. y = f'(x) + f'(x), sofern ihre Constanten zweckmässig bestimmt wurden, nothwendig bessere Resultate geben muss, wie jede der einfacheren Formeln: y' f'(x) und y"-f"(x) (in denen aber andere Constantenwerthe wie in der zweigliedrigen Formel erscheinen, weil die der letzteren offenbar mit Rücksicht auf das Vorhandensein der beiden Glieder bestimmt worden sind) ergibt sich die Möglichkeit, im Falle als mit den Grundformeln das Aus- langen nicht gefunden würde, zu entsprechenden Formeln auch dadurch gelangen zu können, dass man zweckmässig ausgewählte Grundformeln mit einander verbindet. Derart entstandene Formeln mögen combinirte Grundformeln ge- nannt werden. So bildet beispielsweise eine combinirte Grundformel die bekannte von Biot vorgeschlagene und von Regnault zur Berechnung der Spann- kraftstabellen verwendete Formel: log ya+box+dex, da sie offenbar als die Summe der aus dem sechzehnten und zehnten Gesetze hervorgegangenen Grundformeln: und beziehungsweise: 2= log y'abcx y"=ẞ+ dex, α wo y"+2=y"+ log y'= log y und a+ẞ= a sind, angesehen werden kann. der Mit Rücksicht auf die bezüglichen Gesetze ist somit die Reihe: Y1, 92, 93, Y47 . Yn y, welche zu den nach einer arithmetischen Reihe: X1, X2, X3, X4, Xn fortschreitenden x gehören, so beschaffen, dass die hieraus abgeleitete Reihe: log y₁, log y2, log ys, log Y4, in zwei Reihen: 21 log yn = log y, z= log y2, 23 22 = logy, 24-logy, 2n = log yn' Y2", Yn" und Y₁", (wo offenbar: y'"+ y" log y = log y₁, ys"+ log y = log y, zerlegt werden kann, deren erste y2"+ log y₂ = log y₂, Yn"+ log yn log yn sind) Differenzreihen geometrische Reihen Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 235 bilden. Es wird daher die Aufstellung der Biot'schen Formel nur dann von Erfolg begleitet sein, wenn sich die aus der y-Reihe abgeleitete log y-Reihe in zwei Reihen (in die log y'- und y"-Reihe) zerlegen lässt, welche die angeführte Eigenschaft sehr angenähert besitzen. Man wird somit in jenen Fällen, in denen man sich genöthigt sieht zu combinirten Grundformeln zu greifen, weil die reinen oder einfachen nicht ausreichen, vor Allem die Frage zu beantworten haben, welche Grundformeln jeweilig verbunden werden sollen. Dies wird möglich werden, wenn es gelingt ausfindig zu machen, in was für Reihen sich die y-Reihe zerlegen lässt, da dann einfach jene Grundformeln zu combiniren sind, welche den Gesetzen der Fort- schreitung dieser Reihen mit x entsprechen. Es folgt daher zunächst und zwar vom Einfachen zum Complicir- teren übergehend die Besprechung der: Zerlegung von Reihen in Reihen soweit dies hier von Interesse ist. a) Es ist wenn möglich die Reihe: Y1, 92, 93, Yn in zwei arithmetische Reihen erster Ordnung zu zerlegen. Sind: und Yi, Y2, Y3', Ys', ... Yn' Yn" Y₁", Y2", Y3", diese Reihen, so hat man vor Allem die Bedingung: y₁+yi" = Y₁, = Y2+ Y2" - Y2, Y3 +Y3" = Y3 und allgemein: Yn' + Yn" = Yn. Wären d, beziehungsweise da die constanten Differenzen beider arithmetischen Reihen, so ist bekanntlich wie schon auf Seite 148 das allgemeine Glied: ebenso Yn' = y₁ + (n − 1) d₁, Yn"=y," + (n-1) dą, und wenn man beide Gleichungen addirt: Yn' + Yn" = Y₁ + y₁" + (n - 1) (d₁ + d₂), oder auch, wenn man noch d₁ + da d setzt: Yn Yny₁+ (n-1). d. = Da nun offenbar yn selbst als ntes Glied einer mit der constanten. Differenz d fortschreitenden arithmetischen Reihe erscheint, so folgt hieraus, dass die Zerlegung der y-Reihe in zwei arithmetische Reihen 236 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. erster Ordnung nur dann genau möglich wird, wenn sie selbst eine solche (und zwar mit der Differenz dd₁ + d₂) ist. Dieses Resultat hat immerhin vorausgesehen werden können, weil die Summe zweier arithmetischer Reihen nothwendig wieder eine solche wird. Nachdem man nun zur Berechnung der Bestimmungsstücke (d, da, y und y") der beiden fraglichen Reihen nur die folgenden zwei Bedingungsgleichungen: und d₁ + dz Yn Yı = n 1 - yi+y₁"= Y₁ hat, so sind nur die Summen der constanten Differenzen (d, und da) sowie der ersten Glieder (y und y") an gewisse Zahlenwerthe -- Yn Yı (nämlich: beziehungsweise y gebunden und können somit unter n 1 - - Einhaltung dieser Bedingungen im Uebrigen die Differenzen wie auch die ersten Glieder beliebig gewählt werden. Die gestellte Aufgabe ist in Folge dessen auf unendlich viele verschiedene Arten lösbar. Ist die y-Reihe nicht genau eine arithmetische Reihe erster Ord- nung, so wird nur eine näherungsweise Lösung möglich. Beispiel. Es soll die Reihe: y₁ = 4, y₂ = 9, ys = 15, y₁ = 20, у5=24 wenn möglich in zwei arithmetische Reihen erster Ordnung zerlegt werden. Aus obigen Bedingungsgleichungen folgen, wenn man noch überdies berücksichtigt, dass hier offenbar n = 5 ist: d₁ + d₂ = Yo-y₁ Y5 Y1 5-1 = 24-4 4 = 5 und yiy₁" y₁ = 4. Lässt man jetzt beispielsweise die erste Reihe mit y1 be- ginnen und mit der Differenz d zweite Reihe mit y," y₁- 1 = 3 fortschreiten, so muss man die Y₁- 1-3 beginnen und mit der Differenz d25-32 fortschreiten lassen. Die Reihen lauten dann: und y₁ = 1, y₂ = 4, y₁"=3, y₂"= 5, ys"=7, y = 7, y₁ = 10, y = 13 y"= 9, y"= 11. 4, 9, 14, 19, 24 Sie geben als Summe: statt: Y₁ = 4, Y₂ = 9, y = 15, y₁ = 19, y = 24, s weil letztere Reihe nicht genau eine arithmetische Reihe ist. Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 237 Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x eine arithmetische Reihe bilden, so hätte man zufolge der beiden soeben aufgefundenen Reihen auf Grund des Seite 147 angeführten Gesetzes 3) die einfachen Grundformeln: y=a+b₁x und y"= a + b₂ x aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y' + y" = (a₁ + α2) + (b₁ + b₂) x oder, weil y'+y" y ist, und a₁ + a2 = a sowie b₁ + b = b gesetzt werden können: y = a + bx. Es bringt somit unter den obwaltenden Verhältnissen die Sum- mirung der gleichartigen Grundformeln keinen Gewinn, da man auf eine Formel kommt, welche direct erhalten werden kann, sobald, was ja hier vorausgesetzt werden muss, die y-Reihe wenn auch nur an- genähert eine arithmetische Reihe ist. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x eine geometrische Reihe bilden, so hätte man zufolge der beiden aufgefundenen Reihen auf Grund des Seite 170 angeführten Gesetzes 7) die einfachen Grund- formeln: y' = a + b₁ log x und y" = a + b₂ log x aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y' + y" = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) · log x oder, weil y'+y" werden können: y ist, und a₁+ a2 = a sowie b₁ + b = b gesetzt y= a + blog x. Auch diese Formel könnte direct aufgestellt werden, sobald, was ja hier vorausgesetzt werden muss, die y-Reihe wenn auch nur angenähert eine arithmetische Reihe ist. b) Es ist wenn möglich die Reihe: Y1, Y2, Y3, Yn in eine arithmetische Reihe erster Ordnung und in eine geometrische Reihe zu zerlegen. Sind: und Y₁, Y2', Y3', Yn' Y", Y2", Y3",... Yn" beziehlich diese Reihen, so hat man vor Allem die Bedingung: 238 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Yi Yi" Y₁, Y2+ Y2" - Y2, Y3 + Ys" = Ys und allgemein: Yn' + Yn"= Yn. Wäre d die constante Differenz der arithmetischen - ferner e der Exponent der geometrischen Reihe, so ist bekanntlich (siehe Seite 170, dann 173) das allgemeine Glied: der arithmetischen Reihe: yn y₁ + (n − 1). d, der geometrischen Reihe: und die Summe beider Gleichungen: Yn" = y₁". en-1 Yn' + Yn" = Yi + (n-1). d + y₁" · en-1. Schreibt man, was ja obiger Bedingung entspricht, yn statt yn Yn", so wird: Yn = yi+ (n-1). dy₁" en—1. Man gelangt jetzt zu einer möglicherweise überschüssigen Anzahl 'von Bedingungsgleichungen für die Bestimmungsstücke (y, d sowie y", e) der beiden fraglichen Reihen, wenn man in der zuletzt erhal- tenen Gleichung für n der Reihe nach die Zahlenwerthe 1, 2, 3 etc. bis n setzt. Es wird nämlich: für n = 1, y₁ = y₁ + y₁", n = 2, y₂ = y + d + y₁" · e, n = 3, y = y₁ + 2d + y₁" · e², n = 4, y₁ = Yi + 3d + y₁" · e³, n = n, Yn = yi + (n-1) d + y₁" · en-1. Von diesen Bedingungsgleichungen genügen vier, um die vier Un- bekannten (yi, d, y" und e) berechnen zu können, die übrigen aber dienen dazu, zu erproben, ob auch für sie die zuvor berechneten Werthe der Unbekannten (wenigstens angenähert) noch Geltung besitzen, was der Fall sein muss, wenn die zwei Reihen von genannten Eigenschaften die zu zerlegende Reihe (wenigstens angenähert) zur Summe haben sollen. Löst man die ersten vier der obigen Gleichungen für die in ihnen enthaltenen Unbekannten auf, was durch eine zweckmässige Combina- tion der Gleichungen ohne Schwierigkeit geschehen kann, so werden folgende Werthe erhalten: e Y4-2y3+Y2 Y3-2Y2 + Y1 - Y₁" — Y 3 - 2 Y₂ + y₁ y₁"= e-1 oder allgemein e= = = (Y3-2y₂+Y₁)2 (Y4-3Y3+3Y2 - Y1)' Ym+1-24m+Ym-1 Ym-29m-1+ Ym-2 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 239 Y₁ = y₁ — y₁", • d = y₂- yiyi" e, wo der Einfachheit wegen in y' und d die bereits bekannten Werthe von y" und e erscheinen. Zeigt sich, dass die vorstehenden Werthe der Unbekannten für die überschüssigen Gleichungen nicht mehr giltig sind, was man schon bei e unter Benutzung der allgemeinen Formel versuchen kann, so ist die gewünschte Zerlegung der gegebenen Reihe wenigstens genau nicht möglich. Man kann dann nach der für e oben angegebenen allge- meinen Formel, wenn man aufeinanderfolgend sämmtliche Glieder der gegebenen Reihe benützt, eine Reihe differirender Werthe von e be- rechnen und wenn sie nicht allzusehr von einander abweichend sind, das arithmetische Mittel davon nehmen. Beispiel. Es soll die Reihe: = y5 = 64, Y6 115 y₁ = 7, y₂ = 13, y 13, y=22, Y₁ = 37, Y5 YA wenn möglich in eine arithmetische Reihe erster Ordnung und in eine geometrische Reihe zerlegt werden. Man wird zunächst den Exponenten e der geometrischen Reihe berechnen und zwar unter successiver Berücksichtigung sämmtlicher Glieder der gegebenen Reihe nach der Formel: e Ym+1-2ym 24m+ym-1 Ym-2ym-1+ Ym-2 um darüber Aufschluss zu erhalten, ob die Aufgabe lösbar ist. - Nachdem der kleinste vorkommende Zeiger in den y Eins der grösste sechs ist, so kann m- 2 nicht kleiner als 1 und m + 1 nicht grösser als 6, folglich m nicht kleiner als 3 und nicht grösser als 5 werden. Es wird nun für: m = 3, e= m = 4, e= Y4-2y3+ Y2 Y3-2Y2+Y1 Y5-294+Y3 Ys - 2y3+Y2 = = 2, = 2, Y6-295+Y4 m=5, e= 2. Y5-2Y4+Y3 Da mit Rücksicht auf sämmtliche Glieder der gegebenen Reihe immer der nämliche Werth von e resultirt, so ist mit Berechtigung eine genaue Lösung der Aufgabe zu erhoffen. Es wird nun weiter: dann: y₁"= Y32Y2 - Y1 e-1 = 3, 240 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. endlich: Y₁ = y₁ - Y₁" = 7—3—4, d = y₂ — y₁ — y₁" e = 3. - Die beiden fraglichen Reihen lauten nun: • y₁ = 4, y₂ = 7, y2 y₁"=3, y2"-6, y = 10, y y = 13, = 13, 95 y=16, y = 19, y" = 12, y₁ = 24, y5"=48, y"= 96 und geben thatsächlich zur Summe die gegebene Reihe: y₁ = 7, y₂ = 13, y = 22, Y2 = 22, y₁ = 37, y = 64, 6 115. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x eine arithmetische Reihe bilden, so hätte man zufolge der beiden soeben aufgefundenen Reihen auf Grund der Seite 147 und 154 angeführten Gesetze 3) be- ziehungsweise 6) die einfachen Grundformeln: y=a+b₁x respective y"= 10(α₂+b₂ x) aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y' + y" = a₁ + b₁x + 10(α₂+b₂ x) oder, weil y'+y"=y ist: y = a₁ + b₁ x + 10 (α₂+b₂x), wo die Constanten a, und b, sich nach den auf Seite 148 angegebenen und für den vorliegenden Fall bezüglich der Buchstaben modificirten Formeln: a₁ = y₁ - d d X1 und b₁ = d d aus dem ersten Glied y, der y'-Reihe, dem zugehörigen x nämlich x₁, der constanten Differenz d der y'-Reihe und jener & der x-Reihe ergeben. Die Constanten a und b₂ hingegen ergeben sich nach den auf Seite 156 angegebenen und für den vorliegenden Fall bezüglich der Buchstaben modificirten Formeln: logy"-"loge und b₂ a₂ = log y," = log e d aus dem ersten Glied y," der y"- Reihe, dem zugehörigen x nämlich x1, dem Exponenten e der y"-Reihe und der Differenz & der x-Reihe. Würde die gegebene y-Reihe nur annähernd richtig in die zwei gewünschten Reihen zerlegbar gewesen sein, so wären die Constanten a, und b, nach den auf Seite 32 angegebenen Normalgleichungen aus den abgeleiteten Werthepaaren: JX2 X3 Jx4 Jxn โข \y' \y' \ys' \y' \yn' zu berechnen. Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 241 Von den Constanten a und be hingegen erhielte man aus den oben angegebenen Formeln nur Näherungswerthe, welche nach dem auf Seite 156 angegebenen Verfahren, auf Grund der abgeleiteten Werthepaare: Jx1 X2 Jx3 ly," Y2 successive zu verbessern wären. Y3 Jxs Xn lyn" Noch weiter verbessert könnten gleichzeitig sämmtliche Constante (a, b, und a, b) werden, wenn man die auf die eben besprochene Art erhaltenen Werthe derselben nicht als Werthe der Constanten der einfachen Grundformeln: y=a+b₁x und y" 10(a+b₂ x), = sondern als Näherungswerthe der Constanten der durch Combination von einfachen Grundformeln zu Stande gekommenen Formel: y = a₁ + b₁ x + 10 (α₂+b₂x) betrachtet und als solche auf Grund der ursprünglich gegebenen Ver- suchswerthepaare: X3 [x1 X2 ly₁' ly₂' lys' 194 Jxn lyn nach dem auf Seite 117 etc. ganz allgemein beschriebenen Verfahren successive verbessert. Die erforderlichen Werthe der Differenzialquotienten fände man jeweilig dort, wo jene einfachen Grundformeln besprochen werden, welche in der combinirten Formel erscheinen. Dieses äusserst mühsame Verfahren wäre wohl nur dann zur An- wendung zu bringen, wenn die einfacheren Mittel versagen. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x eine geometrische Reihe bilden, so hätte man zufolge der beiden aufgefundenen Reihen (nämlich der y'- und y"-Reihe) auf Grund der Seite 170 und 172 an- geführten Gesetze 7) resp. 8) die einfachen Grundformeln: y= a + b₁log x respective y"= 10(a+blog x) aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y' + y" = a₁ + b, log x + 10a2+b₂logx) oder, weil y'+y" y ist: - y = a, b, log x + 10(a+blog), wo die Constanten a, und b, sich nach den auf Seite 170 angegebenen und für den vorliegenden Fall bezüglich der Buchstaben modificirten Formeln: Steinhauser, empirische Formeln. 16 242 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. d a₁ = y₁ + 1 log x₁ und b₁ log q d log q aus dem ersten Glied y,' der y'-Reihe, dem zugehörigen x nämlich x₁, der constanten Differenz d der y'-Reihe und dem Exponenten q der x-Reihe ergeben. Die Constanten a und b₂ hingegen ergeben sich nach den auf Seite 173 angegebenen und für den vorliegenden Fall bezüglich der Buchstaben modificirten Formeln: a2 log q. log y,"-loge log x₁ log q log e und ba = log q aus dem ersten Glied y," der y"-Reihe, dem zugehörigen x nämlich x₁ und den Exponenten e und q der y"- beziehungsweise x-Reihe. Würde die gegebene y-Reihe nur annähernd richtig in die zwei gewünschten Reihen zerlegbar gewesen sein, so wären die Constanten a und b₁ nach den ersten zwei der auf Seite 172 angeführten Normal- gleichungen aus den abgeleiteten Werthepaaren: zu berechnen. Jx1 ly,' \y2' \y,'' \y' โบว a₂ JX3 Jx s Jxn Yn' Von den Constanten a und be hingegen erhielte man aus den oben angegebenen Formeln nur Näherungswerthe, welche nach dem auf Seite 175 angegebenen Verfahren auf Grund der abgeleiteten Werthepaare: [x1 X4 X2 [X3 [x4 โขล ly" ly" lys" """ successive zu verbessern wären. Y3 Xn Yn" Noch weiter verbessert könnten gleichzeitig sämmtliche Constante (a₁, b₁ und ag, b) werden, wenn man die auf die eben besprochene Art erhaltenen Werthe derselben nicht als Werthe der Constanten der einfachen Grundformeln: y' = a + b₁log x und y" 10(a+b₂ 10gx), sondern als Näherungswerthe der Constanten der durch Combination von einfachen Grundformeln zu Stande gekommenen Formel: y = a + b₁log x + 10(a+blog æ) betrachtet und als solche auf Grund der gegebenen Versuchswerthe- paare: [X1 X2 X3 X4 [ xn โม y₁' 2' 13' 14 Lyn Y4 nach dem auf Seite 117 ganz allgemein beschriebenen Verfahren successive verbessert. Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 243 Die erforderlichen Werthe der Differenzialquotienten fände man jeweilig wieder dort, wo jene einfachen Grundformeln besprochen wurden, welche in der combinirten Formel erscheinen. Nach den bezüglich der Zerlegung der y-Reihe im Punkte b) erfolgten weitläufigen Auseinandersetzungen können die folgenden Punkte kürzer abgehandelt werden, da in denselben keine principiellen Aenderungen eintreten, also ganz analoge Erörterungen gepflogen werden müssten. c) Es ist, wenn möglich, die Reihe: y1 y2 y37 ... in zwei geometrische Reihen zu zerlegen. Yn Sind: und Yi, Y2, Y3', Yn' Y₁", Y2", Y3",... Yn" bezüglich diese Reihen, so hat man vor Allem die Bedingung: Y₁+ Y₁"=Y₁, Y2 + Y2" - Y2, Ys' + Ys" = Ys, e2 Yn' + Yn" = Yn. der der zweiten geo- Wäre e, der Exponent der ersten, ferner metrischen Reihe, so ist bekanntlich (siehe Seite 155) das allgemeine Glied: der ersten geometrischen Reihe Ynye-1, der zweiten وو Ya"-ye-, und die Summe dieser Werthe: Yn' + Yn" = Y₁'en-1+ y₁"en-1. - Schreibt man, was ja obiger Bedingung entspricht, yn statt yn+Yn", so wird: Yn y₁'en-1+ y₁"en-1. Man gelangt jetzt zu einer möglicherweise überschüssigen Anzahl von Bedingungsgleichungen für die Bestimmungsstücke (y', e, und yi", e) der beiden fraglichen Reihen, wenn man in der zuletzt erhaltenen Gleichung für n der Reihe nach die Zahlenwerthe 1, 2, 3 etc. bis n setzt. Es wird nämlich: für n = 1, y₁ = yi + y₁", 22 n = 2, وو n = 3, 22 y₂ = yie₁+ y₁"e2, 2 2 3 n = 4, y₁ = ye³ + y "es y = y₁₁² + y₁"e₂², 27 n = n, Yn = y₁en-1+ y₁"en-1. Von diesen Bedingungsgleichungen genügen vier, um die vier Un- bekannten (yi, e, y₁" und e) berechnen zu können, die übrigen aber 16* 244 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. dienen dazu, zu erproben, ob auch für sie die zuvor berechneten Werthe der Unbekannten (wenigstens angenähert) noch Geltung besitzen, was der Fall sein muss, wenn die zwei Reihen von genannter Eigenschaft die zu zerlegende Reihe (wenigstens angenähert) zur Summe haben sollen. Löst man die ersten vier der obigen Gleichungen für die in ihnen enthaltenen Unbekannten auf, was durch eine zweckmässige Combi- nation der Gleichungen ohne Schwierigkeit geschehen kann, so werden folgende Werthe erhalten: e1= C2= 1 2 (Y1Y3-Y22) 1 2 (Y1 Y3-Y22) = Y1Y2 ege1 - Y2 Y11 e2-e1 [(Y ₁ Y₁ — Y₂ Ys) — V (Y ₁ Y ₁ — Y₂ Y³) ² — 4 (Y₁ Y 3—Y ½³) (Y2 Y ₁—Y¸²)], -- [(Y₁ Y₁-Y2Y8)+V (Y₁ Y₁—Y₂Y)²-4 (Y₁ Y-Y2²)(Y 2 Y₁—Ys³)], - Y₁ - Y₁', wo der Einfachheit wegen in y, und y," die bereits bekannten Werthe von e, und es erscheinen. Beispiel. Es soll die Reihe: y₁ = 7, y₂ = 18, ys = 48, Y₁ = 132, y = 372, = 94 132, y = 372, y = 1068 wenn möglich, in zwei geometrische Reihen zerlegt werden. Man wird zunächst die Exponenten e, und es der beiden frag- lichen Reihen aus den obigen Formeln berechnen. Es wird: 1 2(7X48-18×18) 7x132-18×48- -V(7×132-18×48)-4(7-48-18><18) (18x132-48×48)=2 1 2(7X48-18X18) 7x132-1848+ +V(7×132—18×48)³—4(7×48—18×18)>(18×132—48×48)]= Mit Hilfe dieser Werthe werden nun weiter: yi- = 7X3-18 3-2 18 7X2 = = 3 und y"= = 4. 3-2 Es lauten daher die beiden fraglichen Reihen: Y₁ = 7, y₂ = 18, y=48, y₁ = 132, y Y2 94 y=3, y2 = 6, y = 12, y = 24, 24, y y = 48, ye 96,... y₁"=4, y₂"= 12, y"= 36, y"= 108, y"- 324, y"-972,... und haben dieselben thatsächlich zur Summe die gegebene Reihe: 372, 96 1068. = = Es muss sich hierbei in den vier ersten Gliedern nothwendig die Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 245 Uebereinstimmung ergeben, da die Bestimmungsstücke der fraglichen Reihen aus den Werthen der ersten vier Glieder der gegebenen Reihe berechnet worden sind. Dass sich aber die Uebereinstimmung auch auf die weiteren Glieder erstreckt, beweist, dass die gegebene Reihe genau in zwei geometrische Reihen zerlegt werden kann. Würde man anstatt aus den Gliedern (y₁, y2, ys und y₁) aus den Gliedern (y2, 93, 94 und 5) oder (ys, 94, 95 und y) die Exponenten (e, und e) sowie die ersten Glieder (y und y") der aufzustellenden geometrischen Reihen berechnen wollen, so hätte man nur in den entsprechenden der obigen Formeln die betreffenden Zeiger um eine, bezüglich zwei Einheiten zu erhöhen. Man könnte daher, sofern die Zerlegung nicht genau möglich ist, für jedes der Bestimmungsstücke verschiedene Werthe erhalten und das Mittel aus letzteren nehmen, wenn sich nicht allzu grosse Unter- schiede ergäben. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x eine arithmetische Reihe bilden, so hätte man mit Bezug auf die beiden soeben auf- gefundenen Reihen auf Grund des Seite 154 angeführten Gesetzes 6) die einfachen Grundformeln: y' = 10(α₂+b₁ x) und y"- 10(ɑ₂+b₂x) aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y' + y" = 10(a+b₁x) + 10(α₂+b₂x), oder, weil y'+y"=y ist: y = 10(α₂+b₁x) + 10(α₂+b₂x), wo sich die Constanten a, und b₁, eventuell Näherungswerthe derselben, aus den auf Seite 155 angegebenen und für den vorliegenden Fall be- züglich der Buchstaben modificirten Formeln: a₁ = log y₁- log e, und b d = loge, d ebenso auch die Constanten a, und b, wie folgt ergeben: e a2 log y" — X1 d log eg und und b₂: log 2. 1 d Hierin ist d die Differenz der von den x gebildeten arithmetischen Reihe. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x hingegen eine geometrische Reihe bilden, so hätte man mit Bezug auf die beiden auf- 246 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. gefundenen Reihen (nämlich der y'- und y"-Reihe) auf Grund des Seite 172 angeführten Gesetzes 8) die einfachen Grundformeln: y' = 10(a+b₁ log) und y" 10(a+b₂ log x) aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y' + y" = 10(a+b₁ log x) + 10(α₂+b₂ logx), = oder, weil y'+y" y ist: y 10(a+blog x)+10(a₂+b₂ log x) wo die Constanten a, und b₁, eventuell Näherungswerthe derselben, sich aus den auf Seite 173 angegebenen und für den vorliegenden Fall be- züglich der Buchstaben modificirten Formeln: log e₁ log q a1 = log q log y₁-log e, log x₁ log q und b₁ - ergeben: log 2. ebenso auch die Constanten ag und b, wie folgt a2 log q log y,” — log e, log ₁ und b₂ log q log q Hierin ist mit q der Exponent der von den x gebildeten geome- trischen Reihe bezeichnet. stanten der Formel: Auch hier können gleichzeitig die Con- y = 10(α, + b, log x) + 10(a+b₂ log x) nach dem auf Seite 117 beschriebenen Verfahren verbessert werden, wenn sie, weil die gegebene Reihe nicht genau zerlegt werden konnte, nur Näherungswerthe sind. d) Es ist, wenn möglich, die Reihe: Y1, y2 y3, Yn in eine arithmetische Reihe erster und in eine solche zweiter Ordnung zu zerlegen. Sind: und Yi, Y2, 93, ... Yn Y₁", Y2", Y3", ... Yn" = Y2, Ys' + Y3" = Ys, Yn + Yn" = Yn. bezüglich diese Reihen, so hat man vor Allem die Bedingung: Y₁+Y₁"=Y1, Y2 +Y2" = Wäre d die constante Differenz der ersten Reihe, ferner bezüglich der eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung bildenden zweiten Reihe, a, das erste Glied der ersten Differenzreihe, endlich die constante Differenz derselben, so ist bekanntlich nach den Seiten 148, dann 151 das allgemeine Glied der arithmetischen Reihe erster Ordnung: Ynyi + (n-1)d, das der arithmetischen Reihe zweiter Ordnung: Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 247 (n Yn" = y₁" + (n-1) a₁ + -1) (n-2). 8, 1.2 und die Summe dieser beiden Werthe: Yn + Yn" = Yi + (n − 1). d + y," + (n − 1) a₁ + (n − 1) (n-2). §. - - Schreibt man, was obiger Bedingung entspricht: so wird: = Yn statt yn Yn", Yn Yi + (n-1) d + y," + (n-1) a, + 1.2 - (n − 1) (n − 2). §. 1.2 Aus dieser Gleichung könnten die Bedingungsgleichungen für die Bedingungsstücke (yi, d, yi", a und d) der beiden zu suchenden Reihen in bereits bekannter Weise aufgestellt werden. Da aber, weil yiyi" y, ist, auch: = Yn y₁ + (n-1) (a, + d) + (n-1) (n-2) .8, 1.2 nämlich gleich dem nten Gliede einer arithmetischen Reihe zweiter Ord- nung wird, welche mit dem Gliede y, beginnt, während ihre erste Differenzreihe mit (a, + d) beginnt und mit der constanten Differenz d fortschreitet, so folgt, dass, sobald die gewünschte Zerlegung der y-Reihe (eventuell annähernd) möglich sein soll, sie selbst (eventuell annähernd) eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung sein muss. Ist sie aber dies, so entspricht dann dem Falle bekanntlich nach Seite 151 die einfache Grundformel: y= A + Bx + Cx², oder nach Seite 178 die einfache Grundformel: y= A + Blog + Clog² x, je nachdem nämlich die zu den y gehörigen x nach einer arithme- tischen beziehungsweise geometrischen Reihe fortschreiten. Dass man auf Grund der zuletzt durchgeführten Zerlegung der y-Reihe zu diesen Formeln gelangt, folgt auch daraus, dass, sobald: sind, oder sobald: sind, y' = a+b₁x und y" = a + b₂ x + c₂ x² y' + y"=y= A + Bx + Cx², y' = a + blog x und y" = a + b₂ log x + c₂ log² x wird, wobei y' + y" = y = A + Blog + Clog² x und c₂ = C a₁+ a₂ = A, b + b₂ = B gesetzt wurden. 248 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. ... e) Es ist, wenn möglich, die Reihe y1, 92, 93, Yn in eine arith- metische Reihe zweiter Ordnung und in eine geometrische Reihe zu zer- legen. Sind: und Yi, Y2', Ys', ... Yn Y1", Y2", Y3", ... Yn" beziehlich diese Reihen, so 1 hat man vor Allem die Bedingung: Y₁ + Y₁" = Y₁, Y2 + y2 Y2, Y3 +Y3" =Y3, Yn Yn" - Yn. Wäre & die constante Differenz der ersten Differenzreihe, a, deren erstes Glied, e der Exponent der geometrischen Reihe, welche mit y beginnt, endlich y das erste Glied der arithmetischen Reihe (erster Ordnung), so ist bekanntlich nach Seite 151, dann 155 das allgemeine Glied der arithmetischen Reihe zweiter Ordnung: -- Yn = y₁ + (n − 1) a₁ + das der geometrischen Reihe: (n-1) (n-2) Yn" = y₁" en-1, und die Summe dieser beiden Werthe: 1.2 2). 8, (n − 1) (n − 2) . ♪ + y₁" en-1. Yn + Yn" = Y₁ + (n-1) a₁ + 1.2 Schreibt man, was obiger Bedingung entspricht, yn statt yn+yn", so wird: - Yn Yi + (n-1) a₁ + (n − 1) (n-2) • 8+ y₁"en-1. 1 • 2 Man gelangt jetzt zu einer möglicherweise überschüssigen Anzahl von Bedingungsgleichungen für die Bestimmungsstücke (y a₁, α17 δ und y", e) der beiden fraglichen Reihen, wenn man in der zuletzt erhaltenen Gleichung für n der Reihe nach die Zahlenwerthe 1, 2, 3 etc. bis n setzt. Es wird nämlich: • Y₂ = Y₁ + a₁ + y₁" · e Y₂ = y₁ + 2α₁ + d + y₁" · e² Y₁ = Y₁ +3α₁ + 38+ y₁" · e³ Y₂ = y₁ + 4α₁ +68+ y₁" · e¹ für n = 1, Y₁ = Y₁ + y₁" n = 2, 19 n = 3, دو n = 4, "2 n = 5, 27 n = n, Yn y + (n-1) a₁ + -- . (n-1) (n-2) 1.2 2). 8+ y₁"en-1. Von diesen Bedingungsgleichungen genügen fünf, um die fünf Unbekannten (yi, a₁, d, yi" und e) berechnen zu können, die übrigen dienen dazu, zu erproben, ob auch für sie die zuvor berechneten Werthe der Unbekannten (wenigstens angenähert) noch Geltung besitzen, was der Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 249 Fall sein muss, wenn die zwei Reihen von den genannten Eigenschaften die zu zerlegende Reihe (wenigstens angenähert) zur Summe haben sollen. Löst man die ersten fünf der obigen Gleichungen für die in ihnen enthaltenen Unbekannten auf, was durch eine zweckmässige Combina- tion der Gleichungen ohne Schwierigkeit geschehen kann, so werden folgende Werthe erhalten: e = y5 Ys3y+3ys-Y2 Y43y3+3y2-y₁' 3ym-1+3m-2 Ym-3 Ym-1 3ym-2+3ym-3 -Ym-4' allgemein: Ym - e= ferner: y"= ? Y4-3Y3 + 3Y2 - Y1 (e - 1)3 - - - a₁ = Y2 - Y1 y₁" (e 1), δ -Ys - 2y₂+y1-y₁" (e - 1)2, = Y3 wo der Einfachheit wegen bei yi", yi, a, und 8 bereits bekannte Werthe erscheinen. Beispiel. Es soll die Reihe: 145, Y₁ = 7, y₂ = 15, y = 28, Y₁ = 49, у5 = 84, Y6 Y5 wenn möglich, in eine arithmetische Reihe zweiter Ordnung und eine geometrische Reihe zerlegt werden. Man wird zunächst den Exponenten e der geometrischen Reihe berechnen. Er wird: 8414784-15 e - = 2. 49 84+45 7 - Mit Hilfe desselben werden: y," 498445-7 (2-1)³ y=7-3=4, a₁ = 3, = 15-7-3 (2-1)=5, 2830+7-3 (2-1)² = 2. Es lauten daher die beiden fraglichen Reihen: = y=4, y29, y' 16, y = 25, y = 36, y=49, WO a₁ = 5, α = 7, a3 = 9, a₁ = 11, a5 = 13, 8=2, 8=2, 8=2, 8=2, sind, und y."-3, y," - 6, ys" 12, y."- 24, y2"-6, = y"-24, Sie haben thatsächlich zur Summe die gegebene Reihe: - y₁ = 7, y₂ = 15, y = 28, Y₁ = 49, y = 84, y"-48, y" - 96. 84, Y6 145. 250 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Es muss sich hierbei in den ersten fünf Gliedern nothwendig die Uebereinstimmung ergeben, da die Bestimmungsstücke der fraglichen Reihen aus den Werthen der ersten fünf Glieder der gegebenen Reihe berechnet worden sind. Dass sich aber die Uebereinstimmung auch auf das sechste Glied erstreckt, beweist, dass die gegebene Reihe genau in die zwei ge- wünschten Reihen zerlegt werden kann. Würde man anstatt aus den Gliedern (y1, 92, 93, 94 und 5) aus den Gliedern (y2, Y., Y4, 5 und y) den Exponenten e, sowie die übrigen Bestimmungsstücke der aufzustellenden Reihen berechnen wollen, so hätte man nur in den entsprechenden der obigen Formeln die be- treffenden Zeiger um eine Einheit zu erhöhen. Man könnte daher, sofern die Zerlegung nicht genau möglich ist, für jedes der Bestimmungsstücke verschiedene Werthe erhalten und das Mittel aus letzteren nehmen, wenn sich nicht allzu grosse Unter- schiede ergäben. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x eine arithmetische Reihe bilden, welche mit der constanten Differenz d fortschreitet, so hätte man mit Bezug auf die beiden früher aufgefundenen Reihen auf Grund der Seite 150 und 154 angeführten Gesetze 4) resp. 6) die ein- fachen Grundformeln: = 10(a+blog x) y' = A + Bx + Cx2 resp. y" aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y+y" = A + Bx+Cx² + 10(a+blog x), oder, weil y'+y" y ist: y = A + Bx + Сx² + 10(a+blog ∞), wo die Constanten A, B und C eventuell Näherungswerthe derselben sich nach Seite 151 offenbar aus folgenden Formeln: A = yi - (a - б 2d δ 2d2 x1). 21, B = (a/4 Ꮄ 8 d — 2 d d2 x₁) und C 2d2 d ergeben. Die Constanten a und b, eventuell Näherungswerthe der- selben sind aber aus den auf Seite 155 angeführten Formeln: a = - X1 d logy" loge und b = log e d zu berechnen. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x hingegen eine geometrische Reihe bilden, welche mit dem Exponenten q fortschreitet, Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 251 so hätte man mit Bezug auf die beiden früher aufgefundenen Reihen (nämlich der y' und y"-Reihe) auf Grund der Seite 178 und 172 an- geführten Gesetze 9) und 8) die einfachen Grundformeln: = x y' A+ Blog + Clog² x und y" = 10(a+b.log x) aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann: y' + y" = A + Blog x + Clog2x+10(a+blog x), oder, weil y'y" = y ist: y= A + Blog + Clog² x + 10(a+b.log x), wo die Constanten A, B und C eventuell Näherungswerthe derselben sich nach den auf Seite 178 angeführten Formeln: A = (yi + 8 log X1 2 log q 8 B = (10 a1 log q 2 log q und δ C= -- a₁ log x₁ 8 log² 2₁) log q 8 log 1 log² q + 2 log² q ergeben. 2 log² q Die Constanten a und b eventuell Näherungswerthe derselben sind aber aus den auf Seite 173 angeführten und für den vorliegenden Fall bezüglich der Buchstaben modificirten Formeln: 3 log q log y," - log e log x₁ log e und b a log q logg zu berechnen. f) Es ist, wenn möglich, die Reihe 91, 92, 93, arithmetische Reihen zweiter Ordnung zu zerlegen. und ... .. Yn in zwei Aus dem Umstande, dass die Summe der allgemeinen Glieder: Yn' = Y₁ + (n − 1) a, + - - Yn" = y₁" + (n − 1) a₂ + der zu suchenden Reihen, das ist: (n − 1) (n-2) 2).81 1.2 (n -1) (n-2) 1.2 - .82 — d₁+ Yn +Yn" =Yi + Y₁" + (n-1) a, + (n-1) a + (n − 1) (n − 2). 8, + oder, wenn 1.2 (n-1) (n-2) + Yn + Yn" = Yn, y₁ + y₁" = Y₁, a₁ + α₂ = a gesetzt werden: 1.2 • 821 und d₁ + d₂ = d --- Yn y₁ + (n-1) a + (n − 1) (n − 2) δ 1.2 wird, diese Summe mithin das nte Glied einer arithmetischen Reihe 252 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. zweiter Ordnung darstellt, (deren erstes Glied y, ist, deren erste Differenz- reihe mit a beginnt und mit der constanten Differenz & fortschreitet), kann geschlossen werden, dass die ursprünglich gegebene y-Reihe, so- bald sie sich in gewünschter Weise zerlegen lässt, selbst eine arith- metische Reihe zweiter Ordnung sein muss. Dann aber entspricht dem vorliegenden Falle bekanntlich nach Seite 151 die einfache Grundformel: y= A + Bx + Сx², oder nach Seite 178 die einfache Grundformel: y= A + Blog x + Clog² x, je nachdem nämlich die zu den y gehörigen x nach einer arithmeti- schen beziehungsweise geometrischen Reihe fortschreiten. Dass man auf Grund der zuletzt durchgeführten Zerlegung der y-Reihe zu diesen Formeln gelangt, folgt auch daraus, dass sobald: y' = a₁ + b₁ x + c, x² und y" = α₂ + b₂ x + cq x² sind: oder sobald: y' + y" = y = A + Bx + Cx², y' = a + b₁log x + c log² x und y" = a + b₂ log x + c₂ log² x sind: y' y" y = A + Blog + Clog² x wird, wobei a + a₁₂ = A, b₁ + b₂ = B und C + c = C gesetzt wurden. Es könnten jetzt noch mehrere Fälle von Zerlegungen der y-Reihe besprochen werden, wenn auch solche Reihen Berücksichtigung fänden, deren erste Differenzreihe eine geometrische ist. Nachdem aber der Vorgang hierbei ganz analog dem bisher beobachteten ist, überdies keine besonderen Schwierigkeiten auftreten, so möge hievon Umgang genommen werden bis auf jenen Fall, der schon bei der Erwähnung der Biot'schen Formel angedeutet worden ist. Derselbe folgt nun: ... g) Es ist, wenn möglich, die Reihe y₁, Y2, Ys, Yn in zwei Reihen zu zerlegen, deren erste Differenzreihen geometrische Reihen sind. Sind: Yi, Y2, Y3', ... Yn und Y₁", Y2", Y3", Yn" diese beiden Reihen, so hat man vor Allem die Bedingung: Yi + Y₁" = Y₁, Y2 + y2"-Y2, Ys+ys"-Ys, .. Yn +Yn" = Yn Sind beziehlich a, und as die ersten Glieder der Differenzreihen, Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 253 e, und e, die Exponenten, nach denen diese Reihen fortschreiten, so ist bekanntlich nach Seite 215 das allgemeine Glied: der ersten zu suchenden Reihe yn y + a₁ وو zweiten 99 وو Yn" = y₁" + a₂ . und die Summe dieser beiden Werthe: en-1 - 1 Yn' + Yn" = Yí + yi" + α₁· 1-1 +az en-1 e1 n-1 1 1 e2 C2 - - 1 19 n-1 e2 - e2-1 1 Schreibt man, was obiger Bedingung entspricht, yn statt yn+yn", so wird: Yn = Y₁ + Y₁" + a₁· en-1 1 e-1 n-1 e2 + a. - 1 e2-1 Man gelangt jetzt zu einer möglicherweise überschüssigen Anzahl von Bedingungsgleichungen für die Bestimmungsstücke (y, a₁, e und y", a, e) beider fraglichen Reihen, wenn man in der zuletzt erhaltenen Gleichung für n der Reihe nach die Zahlenwerthe 1, 2, 3 ... bis n setzt. Es wird nämlich: für n = = 1, Y₁ = Yi + yi" n = 2, Y₂ = y₁ + y₁" + a₁· e1 1 e1 -- 1 + aq C2 1 e2 - 1 2 1 27 n = 3, " n = 4, " n=5, n= 29 6, Y₂ = Yi + y₁" + a₁ Y₁ = Yi + Y₁" + a₁ Y = y₁ + y₁" + a₁ Y6 = Y₁' + Y₁" + a₁ . e1 e1 e1 5 - - 1 • C2 e2 e2 Ca e2 3 5 - - - 1 1' 1 1' 1 1' e1 1 + a2 e2 1' e1 1 e1 - 1 + а₂ 1 1 + a2 1 n = n, Yn = Y₁ + Y₁" + a₁ • e1 -1 - 1 1 + a2 . n-1 ໒໑ 1 - 1 ez Zieht man je zwei aufeinander folgende Gleichungen von einander ab, so gelangt man zu den folgenden wesentlich einfacheren Gleichungen: - Y2Y₁ = a1 + a2 Y2 Y 3 - Y₂ = α ₁ е 1 + α ₂ e q Y4 - = y5 Y4 = 2 3 von denen die ersten vier zur Berechnung der vier Unbekannten (a, d, e, e) vollkommen ausreichen würden. 254 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Vergleicht man diese Gleichungen aber mit jenen auf Seite 243, so zeigt sich eine volle Uebereinstimmung, wenn dort statt: beziehungsweise: Y1, Y2, Y3, Y4 etc. - (Y2 - Y1), (Y3 - Y2), (Y4-Y3), (Y5Y4) etc., überdies statt y, und y," beziehungsweise a, und a, geschrieben wird. Man kann daher die Werthe der Unbekannten von Seite 244 hier benützen, wenn man nur die entsprechenden Substitutionen vor- nimmt. Es wird dann: e1 e2 - 1 2[(Y2-Y1)(Y4-Ys)-(Ys-Y2)²] - {[(Y ₂ — Y₁ ) (Y¸ — Y₁)-(Yз-Y2) (Y-Yз)]— — V[(Y2 — Y1) (Y¿ — Y₁) — (Y3 — Y½) (Y₁ — Ys)]² — —4 [(Y ₂ — Y₁) (Y₁—Y₂) — (Ys—Y2)²] · [(Ys—Y₂) (Yь—Y₁)—(Y₁—Y)²]}, 1 - - - 2 [(Y₂-Y₁) (Y-Ys) — (Ys — Y₂)²] - · {[(Y ₂ — Y₁) (Yь — Y₁) - (Y3-Y½) (Y-Y3)]+ - - +V[(Y2 - Y1) (Yь — Y₁) — (Yз — Y½) (Y₁ — Y3)]² — —4[(Y₂-y₁) (Y₁—ys)-(Ys-Y₂)³] · [(Ys-Y₂) (Y: Y₁) — (Y₁—Ys)²]}, (in welchen Werthen wegen Mangel an Raum die Wurzelausdrücke abgebrochen, nämlich auf je zwei Zeilen vertheilt werden mussten), endlich: a1 a2 (Y2 - Y1)-2-(Y3-Y2) e2-e1 (Y3Y2)-(Y2-y₁) 1. e2-e1 Da in den obigen Bedingungsgleichungen y, und y," immer gleich- zeitig mit einander verschwinden, also nicht separirt werden können, so hat man in Bezug auf diese Grössen nur die eine Bedingungs- gleichung: welche erfüllt werden muss. Y₁ + Y₁" = Y₁, Beispiel. Es ist die Reihe: y=4, y2-9, y3=23, 94-63, y=179, y=519, y=1523, wenn möglich, in zwei Reihen zu zerlegen, deren erste Differenzreihen geometrische Reihen sind. Man wird zunächst die Exponenten der Differenzreihen nach obigen Formeln berechnen. Es werden: Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 255 e1 = 2[5.40 1 • 142] {[5.116-14.40] - {20 - V/16} = -V[5.116-14.40]2-4[5.40-142].[14.116-402]= 1 8 und C2 }{20+V16} = 3. Mit Hilfe der Werthe dieser Exponenten erhält man dann weiter: a1 = 5X3-14 3-2 - 1 und a2 14-52 = 3 2 4. Yn' = y₁ + a₁ Es wird für: Ueberdies muss y₁+ y₁" = Yı = Y₁ = 4 werden. - Nimmt man nun, was beliebig ist, y = 1, also y₁"=4-1-3 an, so gelangt man zu den aufeinander folgenden Gliedern der ge- wünschten Reihen mit Hilfe der die allgemeinen Glieder derselben darstellenden und früher angegebenen Formeln: . en-1 G1 — 1 1 e2 und yn"=y" + α₂ · e2 -1 - - - 1 1 Diff.-Reihe Diff.-Reihe n = 1, y₁ = 1 = 3 a₁ = 1, a2 = 4 n = 2, Y2 = 2 Y2" = 7 2, 12 n = 3, Y₂ = 4 = 19 4, 36 n = 4, Y₁ = 8 == 55 8, 108 n = 5, y = 16 163 16, 324 n = 6, Yo' 32 Ye" 487 32, 972 n = 7, y₁ = 64 y" = 1459 Die Summe der beiden y-Reihen, nämlich: yi + y₁" = 4, "y½ + Y½" = 9, Ys + ys" = 23, y+y" = 63, ys+ys" = 179, yeye" 519 und 1+ y₁": 1 stimmt thatsächlich mit der ursprünglich gegebenen Reihe: y₁ = 4, y₂ = 9, y = 23, Y6 - 519 und 1 = 94 = 63, Y₁ = 63, Y5 = 179, 1 1523 1523 überein, und es besitzen beide y-Reihen die noch überdies geforderte Eigenschaft, eine geometrische Reihe zur ersten Differenzreihe zu haben. Es muss sich hiebei in den fünf ersten Gliedern die Ueberein- stimmung ergeben, da die Bestimmungsstücke der fraglichen Reihen 256 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. aus den Werthen der ersten fünf Glieder der gegebenen Reihe be- rechnet worden sind. Dies aber geschah deshalb, weil im vorliegenden Falle eigentlich nur fünf Unbekannte [nämlich: e1, e2, a1, a2 und (y+y")] zu be- stimmen, also auch nur fünf Bedingungsgleichungen erforderlich waren. Da die besprochene Uebereinstimmung aber auch noch in den späteren Gliedern erfolgt, so unterliegt es keinem Zweifel, dass die gegebene Reihe genau in zwei Reihen zerlegt werden kann, welche die gewünschten Eigenschaften besitzen. Man könnte noch unendlich viele, den gestellten Anforderungen entsprechende Reihen erhalten, wenn man die sämmtlichen Glieder einer der obigen zwei Reihen um eine constante Anzahl von Einheiten ver- mindert, die der anderen aber um eben so viele Einheiten vermehrt. Es würden daher ebenso entsprechen die Reihen: y₁ = 2, y2 = 3, y = 5, y₁ = 9, y = 17, y = 33, y=65, y₁"=2, y2" =6, y3"-18, y=54, y"-162, y6"-486, y"=1458, da man von vorneherein y = 2, also y" 4-2 = 2 hätte wählen können. = Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x eine arithmetische Reihe bilden, welche mit der constanten Differenz d fortschreitet, so hätte man mit Bezug auf die beiden früher aufgefundenen Reihen auf Grund des Seite 181 angeführten Gesetzes 10) die einfachen Grund- formeln: + = B₂ 2 y' = A, B, C und y" A, + B, Ca aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann, weil y'+y" y ist: y = (A₁ + A₁₂) + B₁ C² + B₂C², - wo sich die Constanten A, B, und C, eventuell Näherungswerthe der- selben aus den auf Seite 182 angegebenen und für den vorliegenden Fall bezüglich der Buchstaben modificirten Formeln: 4-(y-1), B₁ = a und C₁ed, X1 (e₁ 1) ed ebenso auch: = 4-(y"-"), B.- Ag = und C₂ = ed x1 d (21) e . ergeben. Würden die gemeinsam zu den aufeinander folgenden Werthen von y, von y' und von y" gehörigen Werthe des x hingegen eine geometrische Reihe bilden, welche mit dem Exponenten q fortschreitet, so hätte Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 257 man zufolge der beiden aufgefundenen Reihen auf Grund des Seite 214 angeführten Gesetzes 13) die einfachen Grundformeln: x y' = A + B₁ Clog und y" = A, B, C, 10g 2 + aufzustellen und zu summiren. Sie gäben dann, weil y' + y"=y ist: y = (A₁ + A₂) + B₁Clog + B,C,log, wo sich die Constanten A, B, und C₁, eventuell Näherungswerthe der- selben sich aus den auf Seite 215 angegebenen und für den vorlie- genden Fall bezüglich der Buchstaben modificirten Formeln: 1 ebenso auch: 4,- (vi), B₁ = a1 und C₁ = elog (e-1) e log x1 log q а2 A 1 und C₂ = eq log 9 log i (e-1) e log 9 ergeben. 4,- (y"), B.- Es sind jetzt die Mittel angegeben, durch welche man bei der Biot'schen Formel die nach Seite 234 erforderliche Reihenzerlegung vornehmen, sowie die Constanten berechnen kann. Geht man hierbei wie Regnault von folgenden durch graphische Interpolation erhaltenen Versuchswerthepaaren aus: X1 Jx₁ = 0 y₁ = 4,60' so sind: log y₁ = J X2 25 23,55' Y2 - J X5 Y5 0,6627578, log ya - = J X3 50 y=91,98' [x4 75 Y4 y₁ = 288,50' 100 760,00' 1,3719909, log y = 1,9636934, log y₁ = 2,4601458 und log y = 2,8808136. ya Die von den vorstehenden Logarithmen gebildete Reihe ist nun in zwei Reihen zu zerlegen, deren erste Differenzreihen geometrische Reihen sind. Es sind jetzt nach den auf Seite 254 angegebenen Formeln, in welche man allgemein die Werthe von log y statt y einzusetzen hat, die Exponenten e, und es dieser Reihen: e1 oder: = 1 0,003977254 1 {0,004599402-V/0,000001704103977972}, e1 = • 0,003977254 {0,004599402 - 0,001305413}= 0,82820685, und ebenso: Steinhauser, empirische Formeln. 17 258 Ueber die Verbessernng empirischer Formeln. e2 1 0,003977254 {0,004599402+0,001305413} 1 1,48464619, ferner die (jetzt deutlichkeitshalber mit a, und a" statt mit a, resp. a bezeichneten) ersten Glieder der Differenzreihen: a₁ = 0,7026662 und a," 0,006566943. Bezeichnet man die aufeinander folgenden Glieder der beiden Reihen beziehungsweise mit: 21, 221 23 ... bis 2n und: Y₁", Y2", Y3" bis ya", so müssen vorerst: 1+ y₁ = log y₁ = 0,6627578, nämlich gleich dem ersten Gliede der zu zerlegenden Reihe sein. Nimmt man jetzt, was beliebig ist: an, so muss demnach: 2₁ = 0,1 y₁"= 0,5627578 werden. Nachdem man die Bestimmungsstücke der beiden fraglichen Reihen kennt, so hat die übrigens überflüssige, etwa nur zur Con- trolle vorzunehmende Aufstellung derselben keine Schwierigkeit. Man bildet zuerst die erste Differenzreihe der jeweilig aufzustellenden Reihe, dann mit Hilfe der ersteren die letztere selbst, und wird dadurch hier zu folgenden Werthen gelangen: a=0,70267, a2 = 0,58195, ag=0,48198, a₁ = 0,39918, weil ana en-1 ist. 2₁ =0,1, 22=0,80267, = 1,38462, 24=1,86660, 25 = 2,26578. a"=0,00657, a" =0,00975, ag"=0,01447, a"=0,02149, y₁"=0,56276, y2"-0,56933, y,"=0,57908, y"=0,59355, y"=0,61504. Die Summe der beiden soeben berechneten Reihen stimmt, wie man sich leicht überzeugen kann, sehr befriedigend mit der zu zer- legenden Reihe überein, insbesondere wenn man bedenkt, dass die ein- zelnen Glieder nur mit fünf Decimalen berechnet worden sind. Es lassen sich nun nach Seite 257 zwei empirische Formeln: 2= = A, B, C und y" - A + B₂ Ca aufstellen, deren Summe: 1 2 z+y" = log y = (A, + A₂) + B, C + B, C, oder, wenn A, A, A gesetzt wird: + log y = A + B, C + B, Ca A+ B,C+B₂ 2 die gewünschte Formel gibt. Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 259 Die Constanten derselben findet man jetzt leicht mit Hilfe der auf Seite 256 angegebenen Hilfsformeln, welche man nur mit Rück- sicht auf die hier gebrauchten Bezeichnungen (, a, a," beziehungs- weise statt y, a, und a₂) geschrieben zu denken hat. Es sind hiernach: A₁ = (2₁ A2 = B₁ = B₂ = = - e1 a1 a) = 4,1901875 (y) a (e₁ - 1). e₁ a," (eg 1) e 1 d - • X1 d X1 d = 0,5492078 ' also A+ A₂ = 4,7393953, 4,0901875, = +0,01354997, = C₁ = e₁ = 0,9924887, 1 C₂ = eqd = 1,0159325, und es lautet somit die Formel: log y = 4,7393953-4,0901875 (0,9924887) +0,01354997 X (1,0159325)*. Folgende Zusammenstellung zeigt eine befriedigende Ueberein- stimmung zwischen den vorstehenden und den von Moritz verbesserten Regnault'schen Werthen: A = 4,7393953 log (-B₁) = 0,6117432 log B₂ = 0,1319383-2 bei Regnault a = 4,7393707 وو وو log c = 0,611740767 1 logb 0,131990711 logß == log a α= - log C₁ - 0,99672554-1 log C₂ = 0,006864920, 66 27 وو 2 0,996725536-1 0,006864937, wenn bedacht wird, dass hier die Rechnungen nur mit 7 Decimalen durchgeführt wurden. Würden die Constanten keine abgebrochenen Decimalbrüche sein, so müsste die Formel die fünf gegebenen Versuchswerthe y vollkommen genau wiedergeben, da sie fünf Constante enthält. Weil die Constante A etwas zu gross ausfiel, so wurde die im zweiten positiven Glied enthaltene Constante B zu klein. Selbstverständlich könnten nun auf Grund einer Reihe unmittel- bar erhaltener möglichst verlässlicher Versuchswerthe die Constanten der vorstehenden Formel nach dem bekannten Verfahren, nämlich mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate verbessert werden. 17* 260 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 3) Die Substitution einer Function von x für x oder für eine oder mehrere der Constanten. Gerade so wie nach Seite 222 die Zahl der Grundformeln ver- mehrt werden kann, wenn man statt y eine Function von y setzt, so könnte oder kann dieselbe auch dadurch vermehrt werden, dass man statt x eine Function von x setzt. Es ist dies immerhin unabsichtlich beispielsweise schon bei jenen Formeln geschehen, in denen log x statt x erscheint. Da die besprochene Substitution aber in manchen Fällen sehr gut als Mittel zur Verbesserung von Formeln verwendet werden kann, so möge dieselbe von diesem Gesichtspunkte aus hier besprochen werden. Wären: y' = f(x) eine die Beziehung zwischen den Veränderlichen x und y annähernd darstellende empirische Formel, und X1 X2 X3 [ xn " Yn Y2 y3 die Versuchswerthepaare, welche der Aufstellung zu Grunde lagen, so ist leicht zu beweisen, dass auf folgende Weise diese Formel ver- bessert werden kann. Setzt man in dieselbe der Reihe nach für x die bekannten weil gegebenen Werthe: X1, X2, X3, . . bis xn ein, so erhält man angenommenermassen für y beziehungsweise nicht: Y1, Y2, Y3, o bis yn bis yn. sondern andere, nämlich fehlerhafte Werthe: Yi, Y2', Ys' ys Wollte man die richtigen Werthe für y erhalten, so müssten in die Formel für x statt: X1, X2, Xz bis Xn x1, x2, x3 bis xn offenbar andere, vorläufig unbekannte Werthe: eingesetzt werden, zu denen man einfach gelangt, wenn man in der Gleichung y' = f(x) für y der Reihe nach die Werthe: Y1, Y2, Y3 bis yn setzt und die dadurch erhaltenen Bedingungsgleichungen für x auflöst. Es geht somit die obige Näherungsformel y'=f(x), wenn x' statt x gesetzt wird, in eine die Versuchswerthe richtig wiedergebende Formel: Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 261 y = f(x') über, da diese nothwendig die in der Versuchsreihe enthaltenen Werthe von y (nämlich: yi, y2, y3 ... bis yn) geben muss, wenn der Reihe nach für x' die nach Obigem verhältnismässig leicht zu berechnenden Werthe x1, x2, xg etc. bis xn eingesetzt werden. Diese Formel vermag aber deshalb noch nicht zu entsprechen, weil sie x' statt der unabhängig Veränderlichen x enthält. Es handelt sich jetzt offenbar darum, in die aus angegebenem Grunde noch nicht entsprechende Formel statt x' eine Function von x einzuführen, welche die Werthe x1, x2, xg... bis x annimmt, wenn für x der Reihe nach beziehungsweise die Werthe x1, x2, xg bis Xn gesetzt werden. Diese oder eine solche Function wird aber im Allgemeinen dadurch gefunden werden können, dass man in bekannter Weise aus den fol- genden Werthepaaren: Xn X1 X2 X3 xn X1 X2 X3 eine empirische Formel: x' = q(x) aufstellt, in der x' als Function von x erscheint, also x' die abhängig Veränderliche und x die unabhängig Veränderliche bilden. Setzt man den Werth von x' in die obige Formel y = f(x') ein, so wird: y = f[x (x)], nämlich eine verbesserte Formel erhalten, welche die Veränderlichen x und y enthält. Vollkommen richtig wird auch diese Formel die Versuchswerthe nicht wiederzugeben vermögen, weil ja die empirische Formel x' = q(x) den an sie gestellten Forderungen gleichfalls nicht vollkommen zu ge- nügen im Stande sein wird. Für die Aufstellung der letzterwähnten Formel gilt natürlich Alles, was in Bezug auf die Aufstellung empirischer Formeln über- haupt gesagt wurde. Es kann daher die Form der Formel x' = q(x) entweder will- kürlich gewählt werden, wobei ein sonderlich guter Erfolg nicht ver- bürgt ist, oder auf Grund der Ergebnisse, welche etwa die nähere Unter- suchung des jeweilig vorliegenden Falles zu liefern vermag. Es möge jetzt die Anwendung der besprochenen Verbesserungs- methode an einem einfachen Beispiel erläutert werden. Auf Seite 33 findet sich die empirische Formel: 262 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. y= 4,809 +0,141 x vor, deren Constante nach der Methode der kleinsten Quadrate aus den folgenden Werthepaaren: Ly - = [x3=+16,3 - 17,8 2,48' y₂ [X₂ = +4,2 [x₁ = +20,3 5,00❜ lys 7,00' 19₁ = = 8,00 berechnet worden sind. Dass hier x und y statt t beziehungsweise p gesetzt sind, dürfte wohl nicht befremden. X1 - 17,8, x2 + 4,2 = Die Formel gibt für: x2 = +4,2, x3 = + 16,3 +16,3, x+20,3 y= statt: Y1 11 2,30, y2= 5,40, y3 7,10, y= 7,67 2,48, y2 = 5,00, Y3 = 7,00, y₁ = Y4 8,00. Löst man die Formel für x auf, wie dies schon auf Seite 35 für t geschah, so wird: und man erhält hieraus für: Y₁ = = x₁ = statt: - X= = - 34,106+7,092 y, 5,00, Ys = 7,00, 94 = Y4 = 8,00 2,48, Y2 = y3 16,518, x2+1,354, x = +15,538, x=+ 22,630 x₁ = X1 - 17,8 X₂ = +4,2 X316,3 X₁ = +20,3. Es ist jetzt offenbar die Behauptung gestattet, dass die Formel: y = 4,809 +0,141 x' nämlich y = f(x') die Versuchswerthe richtig geben werde, da ja die Werthe von x' aus den zugehörigen Werthen von y berechnet worden sind. Man hat nun, um die unabhängig Veränderliche x statt x' in der Formel erscheinen zu lassen, aus den folgenden Werthepaaren: (x2+1,354 [x=-16,518 , 1 x=-17,8 X₂ = +4,2 x + 15,538 \x3 = + 16,3 eine empirische Formel x' [x₁ = +22,630 1 x₁ X₁ = +20,3 = (x) in bekannter Weise aufzustellen, und g(x) statt x' in die obige Formel zu setzen, wodurch: y = 4,809 +0,141 p (x) · wird. Es wäre jetzt eigentlich überflüssig, das Beispiel weiter zu ver- folgen, da das noch Nöthige als bekannt vorauszusetzen ist. Trotzdem aber möge das Beispiel zu Ende geführt werden. Nachdem weder die Werthe von x' noch jene von x nach einer Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 263 bekannten Reihe fortschreiten, so müsste, um die Untersuchung der Versuchswerthepaare in Bezug auf das zwischen x' und y bestehende Abhängigkeitsgesetz vornehmen zu können, die Zuflucht zur graphi- schen Interpolation genommen werden. Um dies hier zu umgehen, wolle die Form der fraglichen Function p(x) willkürlich gewählt, also etwa: x' = a + bx + cx² gesetzt werden. Die Constanten dieser Formel hat man bekanntlich nach den folgenden allgemeinen Normalgleichungen: '(x) = Σ) (a)+b.(x)+c. Σ(x²) (xx)=a.(x)+6. (x²)+c. (³) Σ(0) C. Σ (x² x') = a· Σ (x²)+b⋅Σ(x³), + c·Σ (24) C zu berechnen. Es sind nun von früher (Seite 44, wo t statt x steht) folgende Werthe bekannt: und Σα) = 4α, Σ) - 23,0, Σ(*) = 1012,26, = (x)=7133,77, () = 341161,2374. Neu berechnet müssen werden: Σ(α) = 23,004, Σωω) = 1012,3656 (x)=23,004,(xx) = (2x)=8244,20927. Die speciellen Normalgleichungen lauten daher: 23,00400 1012,36560 = 4,00 a 23,00 b + 1012,2600 c = 23,00a1012,26 b + 7133,7700.c 8244,20927 - und geben: a = - 1012,26a7133,77 b + 341161,2374. c 3,26941839, b = +0,980134385, c=+0,01337461. Man hat somit vorerst die empirische Formel: x': = - - 3,2694+0,980134 x + 0,01337461x2, also durch Substitution: y = 4,809 +0,141 (- 3,2694 +0,980134x+0,01337461x2), • oder wenn die Klammern beseitigt werden: y= 4,348 +0,138199 x + 0,0018858-x². 264 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Zu dieser Formel hätte man immerhin direct gelangen können, wenn man schon ursprünglich die empirische Formel nach der Form: y=A+Bx+ Ca² aufgestellt hätte, was nebenbei bemerkt auf Seite 44 geschehen ist. Daselbst findet sich, wenn x und y statt t resp. p geschrieben werden, die Formel: = 4,3586+0,1383x+0,001842 x2, welche der Haupsache nach mit der vorstehenden übereinstimmt. Die geringen Unterschiede zwischen beiden Formeln rühren ein- fach davon her, dass bei der Berechnung der Constanten der ersteren Formel eine grössere Anzahl von Decimalen berücksichtigt wurde. Sie wird in Folge dessen auch etwas bessere Resultate wie die zweite Formel zu geben vermögen. für: Man erhält aus der Formel: y = 4,348 +0,138199 x + 0,0018858. x2 x₁=-17,8, X₂+4,2, Xg=+16,3, als zugehörig: y₁ = 2,48555, y= 4,96169, y= 7,10167, y₁ = statt: Y1 Y₁ = 2,48, Y₂ = Y2 5,00, Y3 = x+20,3 7,93055 7,00, Y4= 8,00, also folgende Differenzen zwischen den analogen Rechnungs- und Ver- suchswerthen: d=0,00555, 8=-0,03831, d=+0,10167, 8--0,06945. Die algebraische Summe derselben ist: während auf Seite 45 erhalten wurde. (8') = -0,00054, Σ(8) = + 0,01 Das im Vorstehenden behandelte specielle Beispiel hatte den Zweck: a) die zuletzt besprochene Formelverbesserungsmethode leicht ver- ständlich zu machen; b) zu zeigen, dass durch diese Methode thatsächlich eine Besserung erzielt werden kann; c) die Aufmerksamkeit darauf zu lenken, dass die Form der für x zu substituirenden Function von x [nämlich (x)] mit Ueberlegung gewählt werden muss, wenn man nicht auf eine Formel kommen will, Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 265 zu der man (allerdings nicht einfacher) schon direct hätte gelangen können, oder welche nicht besser wie die zu verbessernde Formel wird. So würde zum Beispiel schon eine einfache Ueberlegung von vorn- herein absehen lassen, dass die Formel: y = 4,809 + 0,141 x, deren Constante mittelst der Methode der kleinsten Quadrate berechnet worden sind, principiell nicht verbessert werden kann, wenn für x die Function (x) = a + bx gesetzt wird, weil dann: oder: y = 4,809 +0,141 (a + bx), y = (4,809 + a)+(0,141b)x, also eine Formel mit den Constanten: (4,809a) und 0,1416 erhalten würde (wo a und b selbstverständlich erst zu berechnen wären), deren Form mit jener übereinstimmt, welche die zu verbessernde Formel besitzt. Nachdem aber letztere infolge Zuhilfenahme der Methode der kleinsten Quadrate bereits die besten Werthe der Constanten enthält, so kann die erwartetermassen verbesserte Formel nicht noch bessere Werthe derselben enthalten. Es muss somit die neue Formel mit der alten identisch werden, was bedingt: a=0 und b = 1. Stellt man ganz ähnlich wie früher aus den bekannten Werthe- paaren: [x=-16,518 [x=+1,354 (x=+15,538 lx₁ =-17,8 \x₂ =+4,2 \ x=+16,3 " (x=+22,630 1x₁ = +20,3 die empirische Formel: x'= q(x), jetzt aber nach der Form: x'= a + bx X auf, so erhält man aus den zwei bekannten Normalgleichungen: Σω = Σ) +1.Σ), (α'α) = α·Σ) +1.Σ(*), (deren Symbolwerthe sich bereits auf Seite 263 angegeben finden): also: a = 0,000459 und b = 1,000094, x= 0,000459 +1,000094 x2. · Dass hier a nicht gleich Null, sondern nur nahezu Null, b nicht gleich 1, sondern nur nahezu 1 wird, hat seinen Grund offenbar darin, dass die zu verbessernde Formel: 266 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. y= 4,809 +0,141x' die Constanten nicht mit voller Schärfe, nämlich nicht mit allen er- hältlichen Decimalen enthält. Es wird daher, wenn man den Werth von x' substituirt: oder: y = 4,809 +0,141 (0,000459 + 1,000094 x), 1 y = 4,80906 + 0,14101.x, d. i. eine Formel erhalten, welche mit der zu verbessernden nahezu identisch, aber doch soweit besser ist, als überhaupt eine Besserung durch Berücksichtigung einer grösseren Anzahl von Decimalen erzielt werden kann. Nachdem beim Uebergang von der Formel: y= f[x] auf die Formel: y = f[9(x)] die Form der Hauptsache nach erhalten bleibt, was sich ja auch an den beiden speciellen Formeln: y = 4,809 +0,141 x und y = 4,809 +0,141 p(x) respective • • • y = 4,809 +0,141 (- 3,2694 +0,980134x + 0,01337461 x2) auf Seite 261 etc. zeigt, so mögen Formeln, welche aus Grundformeln durch Substitution einer Function von x für x abgeleitet worden sind, modificirte Grundformeln genannt werden. Es bildet somit ein charakteristisches Merkmal dieser Formeln ihre Form, welche der Hauptsache nach mit der einer der einfachen Grundformeln übereinstimmen muss. Man ist häufig genöthigt zu modificirten Grundformeln greifen zu müssen, wenn die unabhängig Veränderliche x im Winkelmaasse aus- gedrückt erscheint. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die Abhängigkeit der Meeres- oder Bodentemperatur, der Schneegrenze etc. von der geographischen Breite durch eine empirische Formel zum Ausdruck gebracht werden soll. Kann nämlich kein einer der Grundformeln entsprechendes Gesetz zwischen den Werthen der abhängig Veränderlichen y und den zu- gehörigen im Gradmaasse ausgedrückten Werthen der unabhängig Ver- änderlichen x = 9° aufgefunden werden, so hätte man zu untersuchen, ob dies nicht geschehen kann, wenn an die Stelle des x = 9° eine der trigonometrischen Functionen des Winkels gesetzt wird. 1 Ist dies der Fall, so hat man die Formel nach der für das be- stehende Gesetz abgeleiteten Formel in bekannter Weise aufzustellen und es besteht dann nur insofern gegen früher ein Unterschied, als jetzt Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 267 statt x die bezügliche trigonometrische Function von x in der Grund- formel erscheint. ... Würde man z. B. finden, dass zwischen den Werthen der abhängig Veränderlichen y und den Sinussen der zugehörigen Winkel x = = 9° das im Punkte 3) ausgesprochene Gesetz (genau oder mindestens an- genähert) besteht, würden also die Sinusse der Winkel 91, 92, 93, *** ❤n mindestens annähernd eine arithmetische Reihe erster Ordnung bilden, wenn die zu diesen Winkeln gehörigen y (das sind y, beziehungsweise Y2, Y3 bis yn) nach eben einer solchen Reihe fortschritten, so ver- träten die Sinusse die Stelle der x, und es nähme dann die für das Gesetz 3) entwickelte Formel y = a + bx offenbar die Form: ... y=a+b. sin qa ዎ an. Es ist bekannt, dass bei wachsendem Winkel die trigonometrischen Functionen nicht fortwährend zu wachsen oder abzunehmen vermögen, da beim Uebergang des Winkels von einem in den nächsten Qua- dranten auf die Zunahme eine Abnahme und umgekehrt, sowie auch oft ein Zeichenwechsel der trigonometrischen Function erfolgt. Bei von Null aus wachsendem Winkel vermögen bekanntlich: a) Sinusse nur so lange nach einer und zwar steigenden Reihe fortzuschreiten, als der Winkel 90 Grad nicht übersteigt, da sodann der positive und positiv bleibende Sinus der Länge nach abzunehmen beginnt. b) Cosinusse nur so lange nach einer und zwar fallenden Reihe fortzuschreiten, als der Winkel 180 Grad nicht übersteigt, da sodann der bereits negative und noch negativ bleibende Cosinus der Länge nach abzunehmen beginnt; c) Tangenten nur so lange nach einer und zwar steigenden Reihe fortzuschreiten, als der Winkel 90 Grad nicht übersteigt, da sodann die positive Tangente negativ zu werden, überdies der Länge nach abzunehmen beginnt; Andere trigonometrische Functionen finden nicht leicht Verwen- dung, da sie ja die Reciprokwerthe der vorgenannten sind. Bei der Wahl der trigonometrischen Function, welche x mit Er- folg vertreten soll, ist noch weiter zu berücksichtigen, dass beim Wachsen des Winkels von 0 bis 90°: a) Sinusse anfänglich rascher wie später wachsen ; b) Cosinusse anfänglich langsamer wie später abnehmen; c) Tangenten anfänglich langsamer wie später wachsen. Man ist im Stande, das Fortschreiten der trigonometrischen Func- tion mit dem Winkel oft in gewünschter Weise zu regeln durch die 268 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Einführung der halben oder doppelten Winkel, welche beispielsweise dann zu erfolgen hat, wenn ein Zeichenwechsel der Function verhindert, resp. bewirkt werden soll. In jedem vorliegenden Falle kann auf Grund entsprechender Er- wägungen, für welche das unmittelbar Vorhergehende Anhaltspunkte liefert, beurtheilt werden, welche trigonometrische Function x mit Er- folg zu vertreten im Stande sein dürfte. Hat man nun irgend eine trigonometrische Function von x [etwa f(x)] für x gesetzt, und eine bereits modificirte, weil f(x) statt x ent- haltende Grundformel y F[f(x)] aufgestellt, welche aber noch nicht völlig entspricht, so kann man diese Formel nach dem auf Seite 260 etc. entwickelten Verfahren neuerlich modificiren, wodurch sie in: übergeht. = y = F{f[x (x)]} Ein Beispiel möge das Vorstehende noch besser erläutern. Man hat folgende Werthe für die Temperatur des Wassers an der Oberfläche des atlantischen Oceans unter verschiedenen (nördlichen) Breitegraden gefunden: P1 = 0° nördl. Breite, t₁ = 25,9° Cels. - ❤2 = 120 P3 - 24º P4 36⁰ = = ❤5 480 1. Diff. 2. Diff. 0,4 و" ta = 25,50 2,7 3,1 22 tz tg = 22,4° 0,3 3,4 ts = 19,00 1,6 5,0 t = 14,00 ф Es ist die Beziehung zwischen der Temperatur t und der Breite o möglichst angenähert durch eine empirische Formel: darzustellen. t = F(9) Da die Breitengrade nach einer arithmetischen Reihe fortschreiten, überdies ein Theil derselben (12, 24, 48, zu denen noch 6º gefügt werden kann, da unter 6º Breite die Temperatur sicherlich nicht wesent- lich anders wie 25,7° sein wird) auch eine geometrische Reihe bildet, so ist so lange keine graphische Interpolation erforderlich, als man hofft die Breite im Gradmaass (mithin als qº) in die Formel einführen zu können. Nachdem sich aber diese Hoffnung nicht bewährt, weil sich als- bald zeigt, dass die Temperaturen t nicht einmal annähernd, weder in Hinsicht auf die arithmetische noch geometrische Reihe der Breiten- grade, eine der bekannten Reihen bilden, also die gewünschte Formel nach keiner der Grundformeln aufgestellt werden kann, so muss man Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 269 untersuchen, ob etwa eine der drei trigonometrischen Functionen der Breite ዎ nach einer bekannten Reihe fortschreitet, wenn man die Tem- peraturen nach einer arithmetischen oder geometrischen Reihe fort- schreiten lässt. Zu dem Zwecke dieser Untersuchung ist nun die graphische Inter- polation nicht mehr zu entrathen. Trägt man die gegebenen Breitengrade (einfach als Zahlen be- trachtet) als Abscissen, die zugehörigen Temperaturen als zugehörige Ordinaten in ein rechtwinkliges Coordinatensystem ein, und verbindet die dadurch festgelegten Punkte zur (Beziehungs-)Curve, so können der dadurch entstandenen Figur die nach einer arithmetischen (wenn noth- wendig auch die nach einer geometrischen) Reihe fortschreitenden Tem- peraturen als Ordinaten, sowie die zugehörigen Breitegrade als Abscissen entnommen werden. Durch eine auf carrirtem Papier, aus freier Hand ausgeführte der- artige graphische Interpolation wurden folgende Werthe erhalten: t₁ = 25°, 9₁ = 14,0 Diff. t₂ = 24°, = 240, 92 = 19,0 5,0 3,8 tỷ =23, 3 = 22,8 3,2 t₁ = 220, 9₁ = 26,0 3,2 t =21, = 29,2 3,3 to' = 20º, 9% = 32,5 3,5 t = 19°, 9₁ = 36,0 2,8 to' = 180, 9g = 38,8 2,5 1 to' = 17º, 9' = 41,3 2,4 tio=160, 910=43,7 2,2 t=150, 911'= 45,9 2,1 t₁₂ = 140, 912=-48,0 Es frägt sich jetzt zunächst, welche trigonometrische Function der Winkel o' etwa nach einer arithmetischen oder einer geometrischen Reihe fortschreitet. Hält man vorerst, was am einfachsten wäre, die arithmetische Reihe 270 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. im Auge, so braucht man, weil die Winkeldifferenzen immer kleiner werden, offenbar eine trigonometrische Function, welche: entweder bei den grösseren Winkeln rascher wie bei den kleineren wächst, oder bei den grösseren Winkeln rascher wie bei den kleineren abnimmt, damit die aufeinander folgenden Werthe der trigonometrischen Func- tion im ersteren Falle eine steigende, im letzteren eine fallende arith- metische Reihe zu bilden vermögen. Da sich die geographische Breite nur zwischen 0 und 90° (hier eigentlich nur zwischen 0 und 48°) bewegt, so sind eine der zwei aus- gesprochenen Bedingungen jedenfalls zu erfüllen im Stande: a) die Tangente des halben und einfachen Winkels; b) der Cosinus des halben, einfachen und doppelten Winkels; c) die Quadrate dieser Functionen. Die Sinusse des einfachen Winkels, welche allenfalls noch in Be- tracht kämen, erscheinen nicht geeignet, weil der Sinus wie schon erwähnt bei den grösseren Winkeln langsamer wie bei den kleineren wächst. Sucht man nun mit Hilfe einer Tafel, welche die Werthe der trigonometrischen Functionen von Minute zu Minute enthält (z. B. Christian Gottlob Tröbst, Tafel der Sinus, Tangenten und Secanten, Verlag von Carl Hochhausen in Jena) die nachstehenden Werthe auf, was sehr rasch geschieht: Diff. Diff. tg i = 0,123 91 COS - 0,992 2 44 6 tg 92 0,167 ዎ2 COS = 0,986 2 2 35 6 P3 2 tg = 0,202 93 COS = €0,980 2 29 6 tg 94 94 = = 0,231 COS = 0,974 2 2 30 6 tg % = 0,261 ዎ COS = = 0,968 2 2 30 8 tg Фо = = 0,291 COS ½ = 0,960 2 2 34 9 tg 9₂ = 0,325 2 97 COS = = 0,951 2 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 271 Diff. Diff. 27 တ P8 tg == = 0,352 98 COS 2 2 25 tg Фа 2 = = 0,377 Pa COS 2 24 tg 910' 1 = 0,401 910 COS 2 2 22 tg 911 = 0,423 911 COS = 0,943 = = 0,936 = 0,928 = = 0,921 = 7 8 7 2 22 7 tg 912 = = 0,445 912' COS = 2 , = 0,914 2 Diff. Diff. tg 92 0,249 tg 9₁ = 0,249 0,344 cos q₁ = 0,970 95 24 1= 76. cos 9₂ = 0,946 24 tg 93 = 0,420 cos 93 = 0,922 68 23 tg 9₁ = 0,488 71' cos 94 8 9 = 0,899 26 tg 9 = 0,559 cos 95 = 0,873 78 320i 30 tg = 0,637 cos y = 0,843 tg 9₂ = 0,727 310 90 34 cos 97 = 0,809 77 30 tg øg = 0,804 cos og' = € 0,779 75 28 tg 99 = €0,879 cos 9,' = 0,751 77 28 tg 910=0,956 76' cos 910=0,723 25 tg 9₁1'= 1,032 cos 911=0,698 79 29 9 cos 912=0,669, tg 912= 1,111 so ersieht man sogleich, dass der Cosinus des halben Winkels am besten entspricht, und dass die Aufsuchung der Werthe für cos 29', 27 Sp tg² 9', to² 9 tg2 cos² q', cos² und cos² 2 q' möglicherweise über- flüssig ist. 2 Nimmt man jetzt vorläufig an, dass die Cosinusse der halben Winkel nach einer arithmetischen Reihe (mit der Differenz 8) fort- schreiten, wenn die zugehörigen Temperaturen desgleichen eine solche Reihe (mit der Differenz d) bilden, so besteht das Gesetz 3) und es 272 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. ist die auf Seite 148 hiefür abgeleitete Grundformel ya+b.x zur Anwendung zu bringen. Es wird dann nach dieser Formel x hier: t = a + b cos ф 2 Zufolge der auf der angegebenen Seite vorfindlichen Formeln besitzen die Constanten nachstehende Werthe: dy · X1 a = y1 - d • und b - Z/ d y d' wo: in Bezug auf die y- resp. t'-Reihe: das erste Glied y₁ = t = 25° und die Differenz dy = d= 1, - 0,992 und die (mittlere) Differenz in Bezug auf die x- resp. (cos 2)-Reihe: das erste Glied dx=8 P1 x₁ X1 = COS = a= 25 - 1 0,0071 2 0,0071, also: × 0,992 = sind. Die Formel lautet dann: 1 - - 114,795, b 1 = 140,845 0,0071 t = - 114,795 140,845 cos ф 2 Man hätte selbstverständlich bessere (auch von den Fehlern der graphischen Interpolation unbeeinflusste) Werthe für die Constanten erhalten durch Berechnung derselben aus den ursprünglich gegebenen Versuchswerthepaaren mittelst der bekanntlich zur Formel: gehörigen Normalgleichungen: 2 t = a + b cos ዎ . Σ Σ (1 cos ) - = Σας ф COS ф +b. (cos 2), (cos 2). 22) = a. (cos 2) + b⋅ Um sich vorerst einen Aufschluss über die Genauigkeit der Formel: ф t = - 114,795 + 140,845 cos 2 zu verschaffen, mögen die ursprünglich gegebenen Versuchswerthe aus derselben berechnet werden. Die Formel gibt für: 0, 92 12, P1 als zugehörig: statt: 93-24, t = 26,0, t = 25,3, t = 23,0, 94 =36, 95-48 tg = 23,0, t = 19,1, t = 13,9 t₁ = 25,9, t₂ = 25,5, t = 22,4, t₁ = 19,0, t = 14,0. Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 273 Unter der Annahme, dass die Versuchswerthe richtig seien, haften sodann den Rechnungswerthen folgende Fehler an: d₁ = 0,1, d=0,2, d'=+0,6, 8=+0,1, d=0,1, von welchen ausschliesslich nur d,' besonders hervortritt. Dieser Fehler kann aber (allerdings nur auf Kosten der übrigen, jedoch relativ kleinen Fehler) dadurch entsprechend ermässigt werden, dass man die negative Constante der Formel numerisch um 0,2 ver- grössert, also: t = - ф 114,995 + 140,845 cos 2 setzt, da dann sämmtliche Rechnungswerthe gegen früher offenbar um je 0,2 kleiner werden, also auch die Fehler derselben eine Aenderung erleiden, welche 0,2 beträgt. Es nehmen somit die Fehler d", welche beziehungsweise den oben mit d' bezeichneten analog sind, folgende Werthe an: d"=-0,1, d,"=0,4, d."=+0,4, 8"--0,1, 8"--0,3 und es tritt jetzt, wie man sieht, keiner derselben mehr besonders hervor. Bedenkt man, dass der Natur der Sache nach im vorliegenden Falle eine besonders genaue Wiedergabe der Versuchswerthe nicht er- forderlich ist, überdies eine bessere Formel ja erhalten werden könnte durch Berechnung der Constanten (aus den ursprünglich gegebenen Versuchswerthepaaren) nach der Methode der kleinsten Quadrate, näm- lich auf Grund der vorstehenden Normalgleichungen, so ergiebt sich, dass hier eine neuerliche Modification der bereits erhaltenen Formel eigentlich entbehrt werden kann. Sie wird aber trotzdem im Folgenden besprochen werden, um das auf Seite 268 bezüglich einer neuerlichen Modification Erwähnte noch an einem Beispiel zu erläutern. Man hat, um die Modification vorzunehmen, vor Allem für t die in der Versuchsreihe enthaltenen Temperaturen in die zu modificirende specielle Formel zu setzen und die zugehörigen Winkel daraus zu be- rechnen. Da nun (wenn man bei der zuerst erhaltenen Formel bleibt) aus: t'= - ф 114,795 140,845 cos 2 (wo jetzt t' statt t geschrieben wurde, weil vorstehende Formel die Temperaturen nur annähernd richtig gibt): wird, so erhält man für: ф t' + 114,795 140,845 COS 1 2 Steinhauser, empirische Formeln. 18 274 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. t₁ = 25,9, t₂ = 25,5, t = 22,4, t 19,0, t = 14,0 als zugehörig: COS = 0,9989, cos = 0,9961, cos 0,9499, cos 2 beziehungsweise statt: P3 = = 0,9741, 2 COS 1 = ዎ2 2 94 = 2 95 - 0,9144 ዎ1 COS = = 1,0000, cos 92 0,9945, cos 93 1 €0,9781, 2 2 2 94 COS 1 0,9510, cos ❤5 = = 0,9135. 2 2 Nachdem, um aus der obigen Formel die Temperaturen richtig zu erhalten, in dieselbe statt der Werthe cos gesetzt werden müssen, da ohne Zweifel: ф die Werthe cos 27 ф 2 - t = 114,795 + 140,845 • cos ф ist, 2 so braucht man jetzt eine Function von cos folg zu vertreten vermag. ф 2' welche cos mit Er- ф 2 ф Schreibt man vorübergehend (der Einfachheit wegen) y' statt ф 2' COS und y statt cos so ist, um zur gewünschten Function zu 2 gelangen, in bekannter Weise eine empirische Formel y' = f(y) aus folgenden Werthepaaren aufzustellen: Jy₁ = 1,0000 \í=0,9989′ \ =0,9961 Y4 = [ys= 0,9781 Jy2 = 0,9945 y= ly' \ =0,97413 0,9510 [95=0,9135 ly₁ = 0,9499' \y=0,9144 Setzt man jetzt, wenn: 8' y' = f(y) resp. cos 2 ?= f (cos 2/2) ф ф 2 wäre, letzteren Werth für cos in die bereits richtige nur noch o' statt ф enthaltende Formel ein, so erhält man die neuerlich modificirte und die Versuchswerthe richtig wiedergebende Formel: t — — 114,795 + 140,845 ⋅f (cos 2) - oder: t = - 114,795 140,845 y'. • Einer einfachen Ueberlegung zufolge kann behauptet werden, dass die in der vorstehenden Reihe der Werthepaare enthaltenen Werthe von y' aus den zugehörigen Werthen von y durch keine der einfachen Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 275 Grundformeln vollkommen genau wiedergegeben werden können, weil die Werthe der y' bald grösser bald kleiner wie die zugehörigen Werthe der y sind. Es ist daher eine vollständige Uebereinstimmung zwischen den analogen Rechnungs- und Versuchswerthen nicht zu erwarten. Die Einführung von y statt p' in die die Versuchswerthe richtig wiedergebende Formel: t = - 114,795 140,845 cos . ф 2 könnte aber auch noch dadurch versucht werden, dass man, anders vorgehend, anstatt des Winkels eine im Allgemeinen willkürliche, ф 2 doch passend gewählte Function des Winkels setzt, etwa: ф ዎ 2 (2+a) oder (m. 2 (m. 2 - a) etc., wo dann a und m erst zu bestimmende Constante bedeuten. Es würde dann, wenn man bei der ersteren dieser Functionen verbleibt (welche einfacher ist, aber auch einen geringeren Erfolg ver- spricht) allgemein: ф 2 & + a α ф 2 Sucht man jetzt zu den auf Seite 273 angegebenen Werthen von COS die zugehörigen Winkel, so werden: ф 2 20-41-2,683, 92-50-4-5,667, P3 =130-4-13,667, 2 2 2 ΦΑ 18° 13' 18,217, 95' - 23°53' 23,883, = ф ф + α = 2 2 2 und es ergeben sich nach der allgemeinen nachstehende zur Berechnung von a dienende Bedingungsgleichungen: 2,683 0,000+2,683 2 Gleichung: oder α - ф ф 2 2 α α = 5,667 6,000 0,333 α = 13,667 - 12,000 12,000+ 1,653 α= 18,216-18,000 = + 0,216 α= 23,883 +24,000 = 0,117, aus welchen 5α = +4,102, also: α 0,820 Grade folgt. Es geht daher die obige Formel: 18* 276 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. t = - 114,795 + 140,845 cos • Φ 2 über in: - t = — 114,795 + 140,845 cos und es giebt dann selbe für: 93 = 24, (+0,82) 9₁ = 0, 92 = 12, 94-36, 95 = t=26,03, to= 25,06, statt: = 48 t= 22,54, t=18,52, t = 13,04 t₁ = 25,9, t₂ = 25,5, Wenngleich hier die Modification offenbar misslungen ist, weil es tg = 22,4, t₁ = 19,0, tz= 14,0. nicht gelang den Werth den Werth 2 durch (2+ a) so genau zu ersetzen, dass ф (2+) statt cos ዎ 2 in der obigen Formel mit Erfolg auch hätte cos gesetzt werden können, so ist doch ein Weg angedeutet, auf welchem man möglicherweise und zwar ohne besondere Mühe in manchen Fällen zum Ziel gelangen kann. Wollte man hingegen den Winkel a und zwar ausgehend von der Annahme, dass derselbe klein sei, mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate berechnen, so hätte man mit Bezug auf die obigen Werthepaare die allgemeinen Gleichungen: y COS und y' = cos ( 1 + α) = ዎ 2 ዎ 2 +α). Entwickelt man jetzt nach dem genügend bekannten Verbesserungs- verfahren y' nach der Taylor'schen Reihe unter der Voraussetzung, dass a sehr klein sei, so wird: dy dy y' = y + • α und weil Φ ф 2 sin ist, d d 2 2 y' - y = — a sin ዎ 2 Denkt man sich nach dieser Gleichung die nachstehenden Be- dingungsgleichungen: Y2 - Y2 a sin 91 2' = - a sin ዎ2 27 Yś — Y5 = - a sin 95 2 aufgestellt, so folgt aus denselben die Normalgleichung: Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 277 und aus dieser: (-9) sina sin² 2} {'- y) sin 2} ф α= Σε Σ{ sing Da nun nach obigen Werthepaaren und mit Rücksicht auf die zugehörigen Breitegrade: 1 yi-y₁ = 0,0011, Y2 - Y₂ = 0,0016, ys'-ys = -0,0040, Y3 sin 21 = sin 0° = 0,00000, 93 1 sin 12° -0,20791, 2 sin 92 2 = sin 6° = 0,10453, sin Ys - Ys = - - 0,0011, sin 94 = sin 180 = 0,30902, sin 9/5 ዎ = sin 24° 0,40674, 2 Y5y5 = +0,0009, {'- y) sin 2} sin2 P Σ{sin 2 = - = - 0,00065, + 0,31507 sind, so wird: α= - - 0,00065 +0,31507 - +0,00206 Grad. Es geht daher vorerst die obige Formel: ф y' = cos (2 + α) in: y' = cos (+0,00206), dann aber t in: = t-- 114,795 + 140,845 cos (+0,00206) über, und man erhält hieraus für: 9₁ = 0, 92 = 12, 93 = 24, 94 = 36, 95 = 48 als zugehörig: t = 19,15, t = 13,87 t₁ = 26,05, t₂ = 25,28, to= 22,97, t = 19,15, statt: t₁ = 19,00, t = 14,00. t₁ = 25,90, t = 25,50, t = 22,40, t₁ = ф Wenngleich auch hier wegen ungeeignetem Ersatz von durch 2 ф +a) die Modification keinen sonderlichen Erfolg aufweist, so sind ( 2 + α) 278 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. die Resultate doch entschieden besser wie jene, welche unmittelbar vorher erhalten worden sind. Ohne auf die Sache weiter eingehen zu wollen, mögen nur noch einige Formelformen mit trigonometrischen Functionen angeführt werden, welche eine mehrfache Verwendung gefunden haben. In denselben ist unter f(x) eine der trigonometrischen Functionen des Winkels x zu verstehen, statt dessen mitunter auch der halbe (2) oder doppelte (2x) Winkel mit Vortheil eingeführt werden kann. y=a+b·f(x), y=a+b·f(x+c), y=a+b·f(x)+c[f(x)]², y=a+b. f(x+c) + d. f(x+e), y=a+b·f(x)+c. f(2x), y=a+b. f(x+c)+d⋅f (2x+e) u.s. w. х JC -90 Fig. 13. y 2 y Fig. 14. => 22 X +1 +90 +180 1 22 Π х Man vermag sich bei jeder dieser Formeln über die Aenderungen zu orientiren, welche im Allgemeinen der Werth y erleidet, während der Winkel ein gewisses Intervall durchläuft, wenn man die Art und Weise berücksichtigt, in der sich die betreffenden, in der Formel erscheinenden trigonometrischen Functionen mit dem Winkel ändern. Es ist daher auch möglich sich von vornherein ein Urtheil darüber zu bilden, welche der Formelformen etwa befähigt sein dürfte, eine gegebene Reihe von Versuchswerthen wiederzugeben. Die den vor- stehenden Gleichungen entsprechenden Curven stehen in einer mehr Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 279 weniger complicirten Beziehung entweder zur sogenannten Sinus- oder Cosinus- oder Tangentenlinie, von deren Form beziehungsweise die Fi- guren 13, 14 und 15 eine allgemeine Vorstellung geben. Es sind hierin entsprechend den Gleichungen: y= sin x, y = cos x, y = tg x, wo die Winkel im Bogenmaass ausgedrückt zu denken sind, die Bogen- längen der von Null aus wachsenden positiven und negativen Winkel als Abscissen, die Längen der zugehörigen Sinusse beziehungsweise Cosi- nusse und Tangenten hingegen als zugehörige Ordinaten aufgetragen, und zwar nach Maass- stäben, deren Einheiten die Halbmesser jener Kreise bilden, welchen die Längen der Bögen beziehungsweise der tri- gonometrischen Func- tionen entnommen wor- den sind. Es sollten bei den 30 Fig. 15. y х -45 -90 +45 +90 y genannten Curven die Abscissen und Ordinaten offenbar nach einem und demselben Maassstab aufgetragen werden. Da aber in früheren Fällen aus bekannten Gründen fast aus- nahmslos die Abscissen und Ordinaten nach verschiedenen Maassstäben aufgetragen wurden, so ist auch hier bei der bisherigen Gepflogenheit geblieben worden, was allerdings zur Folge hat, dass die Figuren 13, 14 und 15 keine naturgetreuen Darstellungen der genannten Curven sind. Betrachtet man beispielsweise die bereits bekannte Formel: y=a+b sin x, A so ergibt sich der Zusammenhang zwischen der ihr entsprechenden Curve und der Sinuslinie sehr leicht, wenn man durch Transformation der Coordinaten eine Vereinfachung der Gleichung eintreten lässt. Verschiebt man die Abscissenaxe des Systems, auf welches man die der Gleichung entsprechende Curve bezogen denkt, parallel zu sich bleibend nach aufwärts um a, so werden sämmtliche Ordinaten um a verkürzt, und es ist dann die Gleichung der aufs neue System be- zogenen Curve offenbar: y = b. sin x. 280 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Es sind somit die Ordinaten der fraglichen Curve das bfache der analogen Ordinaten der Sinuslinie, wenn, wie bei letzterer, die den Winkeln entsprechenden Bogenlängen als Abscissen aufgetragen wor- den sind. Die der Gleichung ya+b sin x entsprechende Curve stellt dann eine in gewissem Verhältnis überhöhte Sinuslinie dar, im Gegen- satze zu Figur 13, welche diese Linie gedrückt erscheinen lässt. Nach der Abschweifung, welche die Besprechung jener empiri- schen Formeln verursachte, die trigonometrische Functionen der im Winkelmaass ausgedrückten unabhängig Veränderlichen enthalten, möge wieder zur Modification der empirischen Formeln zurückgekehrt werden. Dieselbe kann nämlich noch von einem anderen Gesichtspunkte aus vorgenommen werden. Schreitet die abhängig oder unabhängig Veränderliche (y oder x) nach einer jener Reihen fort, welche bei der Ableitung der Grund- formeln berücksichtigt wurden, so bilden die zugehörigen Werthe der unabhängig resp. abhängig Veränderlichen (x oder y) in den meisten der vorkommenden Fälle nicht einmal angenähert eine dieser Reihen. Würde man aber trotzdem die Reihe dieser zugehörigen Werthe als eine gewisse der berücksichtigten Reihen (z. B. als eine arithme- tische oder geometrische Reihe etc.) annehmen, so wäre dann wohl die Grundformel zweifellos bestimmt, nach der man die empirische Formel aufzustellen hätte, diese selbst vermöchte aber sicher nicht in gewünschtem Grade zu entsprechen. Man könnte nun zu dem Glauben verleitet werden, dass es zweck- mässig sei, eine möglichst grosse Anzahl von Reihengattungen bei der Ableitung der Grundformeln zu berücksichtigen, um zu möglichst vielen solcher Formeln zu gelangen. Bedenkt man aber, dass die Aufstellung einer empirischen Formel im Allgemeinen dann schon mühsam wird, wenn die Form gegeben ist, um so mühsamer aber werden muss, auf je mehr Gesetze man die Versuchswerthe untersuchen soll, um eine geeignete Formelform zu finden, so wird es begreiflich, dass man leichter zum gewünschten Ziele gelangt, wenn man die Zahl der Grundformeln beschränkt, dafür aber annähernd passende Grundformeln in geeigneter Weise zu modifi- ciren sucht. Dies kann nun in manchen Fällen mit sehr gutem Erfolg dadurch geschehen, dass man vor Allem ausfindig macht, in welcher Art und Weise die von einer der Veränderlichen gebildete Reihe, deren Bildungs- gesetz man nicht kennt, von der ihr am nächsten kommenden be- kannten Reihe abweicht, um sich ein Urtheil darüber bilden zu können, Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 281 wie etwa die Form der zur Anwendung kommen sollenden Grund- formel am besten zu ändern sei. Betrachtet man, um gleich ein Beispiel vor Augen zu haben, die auf Seite 154 angeführten, von den zusammengehörigen Werthen der Veränderlichen x und y gebildeten Reihen: = x4=30, X540 u. S. W., x₁ = 0, x2 = 10, Xg= 20, y₁ = 4,53, y=9,13, y= 17,39, y=31,60, 5=54,96 u. s. w., so wird wohl alsbald erkannt, dass die Reihe der x eine mit der con- stanten Differenz d 10 fortschreitende arithmetische Reihe ist, die der y hingegen mit keinem sie bezeichnenden Namen belegt werden kann, weil die Art ihrer Fortschreitung keiner der bekannten Reihen entspricht. Wollte man sie aber dennoch der Hauptsache nach als eine arithmetische Reihe erster Ordnung betrachten, um eine empirische Formel in der Form der dem Gesetze 3) nach Seite 148 entsprechen- den Formel: y=a+b⋅ x aufstellen zu können, worin die Constanten: dy a = yı · xX1 und b = dr dy dy sind, so hätte man vorerst, um von der Wahrheit nicht allzusehr ab- zuweichen, die Differenz dy der y-Reihe nicht als eine constante, sondern als eine mit x wachsende Grösse anzusehen. Da nun d, in den Werthen von a und b erscheint, so hörten auch diese auf Constante zu sein. Es würde dann bei wachsendem x das a ab-, das b jedoch zu- nehmen, also (was mehr weniger willkürlich ist) etwa: a = (m-nx) und b (p + qx) = zu setzen sein, wo m, n, p und q wieder Constante bedeuten. Die obige Formel gienge dann durch diese Art der Modification über in: oder: y = (m-nx) + (p + qx)⋅ x = m - nx + px + qx², y = m + (p—n). x + qx², y = A + Bx + Сx², endlich: wenn mA, p-n= B und q = C gesetzt werden. Man ist somit durch die Modification der Formel: auf die Formel: y=a+b.x y= A + Bx + Cx² gelangt, welche bekanntlich bessere Werthe wie die erstere geben muss. 282 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Zu dieser Formel wäre man allerdings auch schon direct gelangt, wenn man die Reihe der y als eine arithmetische Reihe zweiter Ord- nung angesehen hätte. Man gelangt jedoch nicht immer durch eine derart durchgeführte Modification auf bekannte Formelformen, da die Functionen von x, welche man für die Constanten setzen kann, sehr mannigfaltig sind. Hätte man in dem soeben behandelten Beispiel etwa: a = = p q+x und b = (m+nx) gesetzt, wo ja auch bei wachsendem x das a ab- das b zunimmt, so wäre: y = p q+x + (m + nx)·x, oder: p y +mx + nx² q+x geworden. Diese bei der Berechnung der Constanten allerdings ziem- lich grosse Mühe verursachende Formel stimmt mit keiner der Grund- formeln überein. Wird die besprochene Reihe der y, nämlich: y₁=4,53, y=9,13, y=17,39, y=31,60, y=54,96 u. s. w., was der Wahrheit besser entspricht, als eine geometrische Reihe an- gesehen, um die empirische Formel in der Form der dem Gesetze 6) auf Seite 156 entsprechenden Formel: y = 10(a+bx) aufstellen zu können, wo die Constanten: a = logy₁log e und b = log e d sind, so hätte man, um der Wahrheit noch näher zu kommen, den Exponenten e der y-Reihe nicht als eine constante, sondern offenbar als eine bei wachsendem x abnehmende Grösse anzusehen. Da nun e sowohl in dem Werthe von a als b erscheint, so hörten auch diese auf Constante zu sein. Es würde dann bei wachsendem x das a zu-, das b jedoch abnehmen müssen, also etwa a = (m + nx) und b zu setzen sein, wo = m, n, p und q wieder Constante bedeuten. р q+x Die obige Formel gienge dann durch Modification über in: p.x (m+nx + P+x) y=10 oder: Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 283 endlich: y = 10m (10"). (10)+, XC y = A. Bx · B. C₁+x, wenn 10m = A, 10" = B und 10P 11 C gesetzt werden. Die an den vorstehenden Beispielen erläuterte Art der Modifica- tion besteht somit darin, dass für eine oder mehrere Constanten Func- tionen von x gesetzt werden, um dem eigenthümlichen Gesetze der Fort- schreitung der y mit den x besser Rechnung zu tragen. Es vermögen daher auch durch eine derartige Modification erhal- tene Formeln, innerhalb eines verhältnismässig grösseren Intervalles, brauchbare Werthe zu geben. Durch Modification einer gewissen Grund- formel, auf die soeben besprochene Art, kann man die bekannten, zur Berechnung von Spannkraftstabellen benutzten Formeln: entstanden denken. X y = m₁⋅ na + ßx, von Roche, • X y = m₂ · n² + rx, von August, X y = mz · no + x von Magnus Es kann vor Allem gezeigt werden, dass die Formel: y=mn, in welcher vorläufig nur x statt der in den vorstehenden Formeln vor- kommenden Functionen von x erscheint, dem auf Seite 142 angeführten Gesetz 6) entspricht, welchem zufolge die Veränderliche y nach einer geometrischen Reihe (mit dem Exponenten e) fortschreitet, wenn die unabhängig Veränderliche x nach einer arithmetischen Reihe erster Ordnung (mit der constanten Differenz d) wächst. Für dieses Gesetz wurde aber die Formel: y = 10(a+bx) abgeleitet, wo den Constanten folgende Werthe zukommen: α= log Y₁ X1 - log e und b d = log e d Die Formel kann nun auch, wie folgt, geschrieben werden: loge a y = 10". (100) * = m · = m. (10 d )x, 10ª Wo m 10 eine Constante bedeutet, nämlich die Spannkraft des Wasserdampfes bei 0°, weil für x=0 offenbar yo Lässt man die Temperatur x mit der Differenz 1 statt d fort- = =m wird. 284 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. schreiten, so bilden die zugehörigen Spannkräfte (annähernd) eine geo- metrische Reihe, deren Exponent dann nicht mehr e, sondern eine hievon abweichende Grösse, etwa n ist. Wird daher in der Formel n statt e und 1 statt d gesetzt sowie bedacht, dass in Bezug auf gemeine Logarithmen 10log n -n ist, so folgt: y = m · (10logn)∞ = m · nº. In dieser Formel bedeuten dann: m die Spannkraft des Wasserdampfes bei 0°; n den Exponenten jener geometrischen Reihe, nach welcher die Spannkräfte (annähernd) fortschreiten, wenn die Tem- peraturen von Grad zu Grad wachsen. Geht man jetzt zurück auf die Formel: = y = 10(a+bx) 10a. (106) und berücksichtigt man zugleich, dass hierin nach Seite 283: Ɑ= (m+nx) und b = р q+x man bei gesetzt werden sollen, so kann die spätere Arbeit bei der Constanten- berechnung nicht unwesentlich erleichtert werden, wenn wachsendem x nicht a zu- und b abnehmen, sondern blos b abnehmen und a constant sein lässt. Es ist dies insofern statthaft, als ja ohne Zweifel annähernd die- selbe Wirkung erzielt werden kann, wenn man statt: a zu- und b abnehmen zu lassen, a constant und b dafür weniger abnehmen lässt. Es wird dann: endlich: 10 х x y= 10.107+ oder y -10°. (10)+", 20 no+z, y = m. no + x, wenn 10a = m, 10º = n und q = 8 gesetzt werden. Man ersieht hieraus, dass die Magnus'sche Formel dadurch er- halten werden kann, dass man die Grundformel y = 10(a+b) durch Substitution einer Function von x für eine der Constanten modificirt. Es möge noch aus den bekannten (von Magnus herrührenden) Ver- suchswerthepaaren: Jx₁ = 0 \=4,525 \ [x2 = 23,85 ly₂ = 22,24' Jx5 = 100,87 JX3 lys \འJ° - 779,73 und = = = 52,12 (4 91,34 101,40' ly₁ = 553,03' [x6 = 100 โy = 760 โya Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 285 nach der Form: x y = a.bd +x eine empirische Formel aufgestellt werden, welche zur Berechnung der Spannkraft y des Wasserdampfes bei den verschiedenen Temperaturen x dienen soll. Da die Form der Formel bereits gegeben ist, so handelt es sich nur mehr um die Berechnung der Constanten derselben. Diese kann (aus gewissen bekannten Gründen eigentlich nicht zum Vortheil für die Formel) dadurch wesentlich erleichtert werden, dass man die genaue Wiedergabe des ersten und letzten Versuchs- werthes (nämlich y, resp. ye) von Seite der Formel verlangt, da dann allsogleich: für x₁ = 0, Y₁ = a b°, also α a=y₁ = 4,525 und 100 für x6 = 100, y = a b +100 also die jedenfalls zu erfüllende Bedingungsgleichung: 100 760 = 4,525.6+10 folgt. Aus dieser wird, weil: folglich: 8+ 100 100 log 760 4,525 760 100 log 4,525 1 +100 log b, log b oder log (1895) 760 4,525/ +100 760 100 b = 4,525/ 8+100 100 = log b ist: Führt man diesen Werth und den von a in die allgemeine Formel x y=a.b + ein, so wird: oder: y = 4,525 · (17,696) 4,525 +100 x 100 8+x 8x+100 x 7601008+100 x y = 4,525. (1,696) 4,525/ Setzt man jetzt den eine Function von x darstellenden Ausdruck: so ist: ❤ (x) 1 8x+100x 1008+100 x = x', 286 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. und es wird hieraus: x' y = 4,525 (17606)" 4,525 log y log 4,525 - log 760-log 4,525 Es lassen sich demnach sehr leicht und einfach aus den noch nicht berücksichtigten Werthen von y, nämlich aus y=22,24, y=101,4 553,03, die zugehörigen Werthe von x' berechnen. und Y4 = Man erhält aus der Formel: für Y2 22,24, als zugehörig: x 0,3107665, وو x2 = : x = 0,6068770, "" Y3 - 101,40, 27 29 Y4 = 553,03, 27 = 27 y5 779,73, 27 وو وو : x = 0,9379539, : x=1,0050021. Man hat jetzt offenbar aus folgenden in überschüssiger Anzahl vorhandenen Gleichungen: 8. x2 + 100 x2 = X2, 100 + 100 x2 8.x3+100x3 100 + 100 x 8.x4 +100 x4 • 100 + 100x4 8.x + 100 x 100 8+ 100x5 1 XA, = x = nach der Methode der kleinsten Quadrate die Constante d zu berechnen. Da diese Gleichungen auch, wie folgt, geschrieben werden können: d (100 x - x2) = 100 x₂ (1 - x2), X2 8 (100 xg - — xg) = 100 xg (1 - xg), d (100 x - x) = 100 x 100 x₁ (1-x), 8 (100 x - x5) = 100 x (1-x), so ist die Constante d offenbar aus der Normalgleichung: 8. ((100 x' - x)²)=(100 x (1 - x') (100 x' — x)} Σ zu berechnen. Letztere gibt vorerst: δ Σ{ 100 m (1 (100 x (1x) (100 x' - x)} x' Σ{ (100 κ' - 2)} - und weil folgende zusammengehörige Werthe von x und x': Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 287 x2=23,85 x = 52,12 x=0,3107665'x3' zu berücksichtigen sind: - = [24-91,34 0,6068770' x = 0,9379539' JX5 100,87 \x₁ = 1,0050021' 30844,3731414 d = 131,79559 234,03191, ferner: log b = 8+100 100 .log 760 4,525 334,03191 100 2,2251950=7,43286. Weil nun mit Bezug auf gemeine Logarithmen offenbar: ist, so wird schliesslich: b - 107,43286 7,43286 x y= 4,525 10234,03191+x Magnus erhielt hingegen die Formel: 7,4475 x y = 4,525. 10234,69 + x Die geringen Differenzen in den Werthen der Constanten erklären sich einfach aus dem Umstande, dass Magnus der Formelaufstellung folgende seiner Versuchswerthe zu Grunde legte: X1 = x2 = 11,34, Y2 X2 X3 X4 = = 11,98, ys 23,85, YA = = 0,, 91= = 4,525, 9,43, X7 = 54,74, Y7 74,83, ys 114,65 9,88 " X9 = 22,24 و X10 = " X11 X12 X8 = = 82,25, Y9 - - 90,80, 310 542,54 91,81, y₁₁ = 563,50 100,00, 12 760,00, = 284,97 387,15 = 760,00 durch die Formel genau x5 = 44,90, у5 = 71,20 x = 45,70, y = 73,74, X6 von welchen y₁ = 4,525 und 12 yı wiedergegeben werden. Das im Vorstehenden behandelte Beispiel ist besonders lehrreich, weil es deutlich zeigt, dass in gewissen Fällen eine wesentliche Ver- einfachung der Formeln, sowie der Berechnung der Constanten er- reicht werden kann, wenn man: a) die Bedeutung der einzelnen Constanten zu erforschen sucht. So hat z. B. in der Magnus'schen Formel bekanntlich die Con- stante a die Bedeutung der Spannkraft des Dampfes bei 0°, die Con- stante b hingegen die Bedeutung des Exponenten jener geometrischen Reihe, nach der die Spannkräfte fortschreitend gedacht werden, wenn die Temperaturen von Grad zu Grad wachsen. 288 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. b) die Bedingung setzt, dass gewisse Versuchswerthe von der Formel genau wiedergegeben werden sollen. Es wird dann immerhin nöthig, diese Versuchswerthe von den ihnen anhaftenden Beobachtungsfehlern möglichst zu befreien, was durch vielfache Wiederholung des betreffenden Versuches erzielt werden kann. Man hat sich hier ins Gedächtniss zurückzurufen, dass nach Seite 96 durch die p²malige Wiederholung des Versuches der mittle- ren Fehler des Mittels eine pmalige Verkleinerung erfährt. Magnus hat den Werth y₁ = 4,525 als Mittel von sieben wieder- holten Versuchen erhalten, Regnault hingegen hat die Spannkraft des Wasserdampfes bei 0° gar 63 mal bestimmt. Es ist daher anzunehmen, dass der Werth für die Spannkraft des Wasserdampfes bei Null, wie ihn Regnault angegeben hat, mit einem V63, d. i. nahezu 8mal kleineren mittleren Fehler behaftet ist, wie der einer jeden einzelnen Beobachtung. Wollte man die zuletzt besprochene und an einem Beispiel er- läuterte Art der Modification auch auf die Seite 272 erscheinende Formel: t = - 114,795 + 140,845 cos resp. y=a+b.x anwenden, wo: gp х = COS folglich: a Y1 = 2 ዋ 2 - d y dx • COS 91 2 und b = dy dx sind, so wäre vor Allem zu bedenken, dass die Differenz de der Reihe, nach welcher x resp. cos ዋ fortschreitet, nicht constant ist, sondern 2 ф 2 ent- nach Seite 270 mit 0,006 beginnt, auf 0,009 steigt, um wieder bis 0,007 abzunehmen. Diesem Umstande zufolge sollen auch a und b keine constanten, sondern solche Grössen sein, welche sich mit cos sprechend ändern. Betrachtet man die für a und b angegebenen Werthe, in denen da erscheint, so sieht man bald, dass bei wachsendem Winkel a zuerst zu-, dann ab-, b zuerst ab-, dann zunehmen soll. Setzt man daher, weil der Winkel sich zwischen O und 24° bewegt, 2 a = m. sin (78 + 2) und b-n-p sin (78+2) ф : 2 so hat man Werthe, welche sich offenbar in besprochenem Sinne ändern, weil der Sinus über 90°, d. i. sobald zwölf Grade überschreitet, ф 2 wieder abzunehmen beginnt. Ob jedoch diese Aenderung ausreichend ist, das wird freilich erst die Zukunft lehren. Es geht daher die Formel: Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. 289 durch Modification über in: ዎ y=a+b cos 2 y = sin (78+2)+ [n − p sin (78+)] c = m. sin (78 - 2 cos 2, oder wenn man wieder gewohnheitshalber die Constanten mit und c bezeichnet: y = a sin (78 + 2) — e sin (78 + C +2) ф ф COS + b cos 2 ф 2 a, b Die Normalgleichungen, welche zur Berechnung der Constanten dienen, lauten demnach: Σ{y sin (18+))=Σ(sin (18+)}- - C Σ 2 sin (78+) cos+b.(sin (78+) cos}, Σ{y sin (18+) Σ{y cos - C. ф COS 2 ф 2 - 2 (sin² (78+) cos+b.(sin (78+) cos), Σ{sin ф =α asin² (78+) cos 1- ) - (cos² 2 } ф Σ(sin (78 + 7) cos ф {sin (78+2) cos² 2 2 + b ф 2 2 Will man jetzt die Formel aus den ursprünglich gegebenen Ver- suchswerthen aufstellen, denen zufolge bei 2 10, ❤2 2 1 6, 93 2 = 12, P4 2 95 - 18, - 24 2 die zugehörigen Temperaturen: t₁ = 25,9, t₂ = 25,5, t = 22,4, t = 19,0, t = 14,0 t5 betrugen, so müssen vorerst die nachstehenden Werthe der Symbole berechnet werden, in welchen allgemein y für t steht: ф Σ{y sin (78 + )) = 105,68434 · 2 ysin (78+) cos) 102,94044 2 2 Σ{y cos Φ = 104,03066 2 · Σ(sin (78 + 2) cos {sin² (78+2)} ф ф = 2} = 4,78480 = Σ(sin (78 + 2) cos Steinhauser, empirische Formeln. = 4,89172 ф 2} = 4,73331 19 290 Ueber die Verbesserung empirischer Formeln. Σ (sin (18+) 8. COS2 9 2 } = 4,58494 sin (78+) cos 2-4,63447 Σ cos 91 = 2 4,68495. Es gehen dann die allgemeinen Normalgleichungen in folgende specielle über: 105,68434 4,89172 a 4,73331c + 4,78480b 102,94044 = = -- 4,73331c+4,78480b 4,73331a-4,58494c+4,63447b 104,03066 = 4,78480 a 4,78480a-4,63447c+4,684956, aus welchen sich folgende Werthe der Constanten ergeben: a= 115,211578, b = +46,051025, c = - 94,843235. Die specielle empirische Formel lautet dann: y = - 115,211578 sin (78+2)+ 94,843235 sin (78+) ф +46,051025 cos 2 ф COS + 2 und gibt für: 91 2 ❤2 2 =0, -6, -12, ዎs 94 = = 18, Ф5 24 2 2 2 als zugehörig: y₁ = 26,126, y₂ = 25,026, y = 22,604, y = 18,923, y y= 14,122 statt: t₁ = 25,9, t₂ = 25,5, tg = 22,4, t₁ = 19,0, t = 14,0. Es betragen daher die Differenzen zwischen den analogen Rech- nungs- und Versuchswerthen: d₁ = y₁ — t₁ = +0,226 d₂ = y₂ — t₂ = -0,474 - d₂ = ys - tz = +0,204 d₁ = ys — t s = — 0,077 85 = yz - tz = +0,122 und die algebraische Summe derselben: Σ (6) = + 0,001 . Die Resultate der Formel sind thatsächlich etwas zufriedenstellender, wie die auf Seite 272 erhaltenen, da sich die Fehler besser ausgleichen und der grösste derselben jetzt nur mehr 0,474 beträgt. Zusammenstellung der abgeleiteten Grundformeln. 291 Schlussbemerkungen. Aus all dem Vorhergehenden dürfte man entnommen haben, 1) dass die Aufstellung empirischer Formeln nach willkürlicher Form, wie sie im ersten Capitel dieses Buches gelehrt wurde, im All- gemeinen nur dann angezeigt sein wird, wenn man: a) keinen sonder- lichen Grad der Genauigkeit fordert, b) die Formel nur innerhalb eines verhältnismässig geringen Umfanges braucht oder endlich c) nach Seite 72 aus der Gestalt der Beziehungscurve einen günstigen Erfolg zu erhoffen vermag; 2) dass die Aufstellung empirischer Formeln nach begründeter Form immer zu beginnen hat mit der Untersuchung der Versuchswerthe auf die Grundgesetze, und zwar wenn nöthig unter Zuhilfenahme der graphischen Interpolation. Erweist sich keine der Grundformeln als für den vorliegenden Fall geeignet, so ist zunächst die Modification der passendsten Grundformel zu versuchen und erst in letzter Linie die Combination von Grundformeln ins Auge zu fassen, da diese zumeist eine grössere Mühe verursacht; 3) dass die Verbesserung der Formeln durch die Verbesserung ihrer Constanten immer dann zu erfolgen hat, wenn man eine Näherungs- formel ohne die geringste Formänderung verbessern, oder dem Ein- fluss Rechnung tragen will, den die Hinzufügung eines neuen Formel- gliedes auf sämmtliche Constante ausübt, von welchen nur Näherungs- werthe vorhanden sind. Der bequemen Uebersicht wegen folge noch eine: Zusammenstellung der abgeleiteten Grundformeln. Gesetz No. der gleichzeitigen Fortschrei- tung beider Veränderlichen x und y. Reciprocitätsgesetz, mo- dificirtes. Formel, welche das Gesetz zum Ausdruck bringt. y = a + h - Die Formel Curve, welche der For- mel entspricht. auf Seite findet sich 1 Hyperbel 111 C- х 2 Proportionalitätsgesetz. y = bx Gerade 146 3 Y y arithm. Reihe 1. Ordng., X 1. y = a + bx Gerade 32 u. 148 ንን 29 X 1. 4 y arithm. Reihe 2. Ordng., y = a + bx + cx² Parabel 44 u. 151 29 دو 20 5 y arithm. Reihe 3. Ordng., Parabolische 67 X 1. y=a+bx+cx²+dx³ دو Curve 3. Ordnung und 153 19* 292 Zusammenstellung der abgeleiteten Grundformeln. No. der gleichzeitigen Fortschrei tung beider Veränderlichen x und y. welche das Gesetz zum Ausdruck bringt. Gesetz Formel, Curve, welche der For- mel entspricht. Die Formel findet sich auf Seite 6 y geometrische Reihe, y = 10(a+bx) 156 oder: Logarithm. und x arithm. Reihe 1. Ordn. Linie log y = a + bx 155 y arithm. Reihe 1. Ordng., Logarithm. 7 x geometrische Reihe. y=a+b.log x Linie 170 8y geometrische Reihe, y=10(a+b logx) oder: Potenzcurve 173 XC 29 29 logy=a+blog x y arithm. Reihe 2. Ordng, y=a+blogx+clog bes. Namen. 9 x geometrische Reihe. 10 Erste Differenzreihe der y eine geometr. Reihe, x arithm. Reihe 1. Ordng. y=a+box Logarithm. Linie 182 führt keinen 178 11 Erste Differenzreihe der x y=a+blog (x-c) Logarithm. y arithm. Reihe 1. Ordng., eine geometr. Reihe. y geometrische Reihe, 12 Erste Differenzreihe der x eine geometrische Reihe. Linie logy=a+blog (x-c) führt keinen oder: y=10(a+blog (x-c)} 193 200 besonderen und Namen 204 13 Erste Differenzreihe der y eine geometr. Reihe, y=a+bclog x 216 وو x geometrische Reihe. 14 Erste Differenzreihen der x und y geometr. Reihen. Reihe der mten Wurzeln 15 aus den y arithm. Reihe, x arithm. Reihe 1. Ordng. Erste Differenzreihe der Logarithmen von y eine geometrische Reihe, x arithmetische Reihe 1. Ordnung. 16 y=a+b(cx+ d)e y = (a + bx)c log y=a+box oder: y=10(a+bc) 10241 DEC 21 1921 وو وو وو 221 223 225 und 226 BOUND JUL 7 1950 UNIV. OF MICH. LIBRARY UNIVERSITY OF MICHIGAN 3 9015 07314 9836